Lösung von Aufgabe 6.4

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Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C. Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.


Inhaltsverzeichnis

Eins

Beweisschritt Begründung
(1) komp (A,B,C)
(2) A nicht identisch B
   B nicht identisch C
   C nicht identlich A || 1)nach Definition I/6 
2)nach Satz I/7


=> A, B, C sind paarweise verschieden


Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola

Zwo

Behauptung:

Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.

Vorraussetzung:

Es existiert eine Ebene E mit A, B, C \in \Epsilon

Annahme:

A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

Fall 1:

koll(A, B, C) <-> A, B, C \in Gerade g Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C \in Epsilon und (nach Fallunterscheidung) A, B, C \in g. Dann greift Axiom I/5

       Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E. 

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

Fall 2:

Je zwei Punkte sind nichtkollinear.
o.B.d.A koll(A, B) <-> A, B \in Gerade g \land C \ni Gerade g
nkoll(A, B, C)
Nun besagt Axiom I/4

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für Satz I.7

Zusatz: AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

       Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. 


(Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!)


--Heinzvaneugen