Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

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Version vom 31. Mai 2017, 17:25 Uhr von Tutor: Alex (Diskussion | Beiträge)

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Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.

Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere: Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden. A: n+1 B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052,
deine Schlussfolgerung, dass  A = B ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben. Schreibe für eine gerade Zahl  k \ : \ k=2*n und für eine ungerade Zahl  l \ : \ l=2*n+1 mit  n\in\mathbb{N} .
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also  A=\{2,4,6,...\}=\{k\vert k=2*n \ mit \ n\in\mathbb{N}\} . (bei der Null können wir uns streiten ;P )
Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen:  k^2 = (2*n)^2 = 4*n^2 = 2*(2*n^2) . Es sei  m=2*n^2 , somit gilt:  k^2 = 2*m , wobei auch  m \in \mathbb{N} .
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf  l anwenden? (geht so ähnlich wie oben)
So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind  B = \{2,4,6,...\}=\{x\vert x^2 \ ist \ gerade \wedge x \in \mathbb{N}\} . Somit gilt für die Mengen  A=B

--Tutor: Alex (Diskussion) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)