Lösung von Aufgabe 5.6 P (SoSe 18)

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Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

Lösung:

a) Es existiert eine Relation zwischen zwei Punkten, entweder oberhalb der Geraden g oder unterhalb der Geraden g. Diese ist reflexiv und symmetrisch. Aus der Aufgabe b entnehmen ich, dass diese Relation ebenfalls transitiv ist. Dies können wir wenn wir einen Dritten Punkt hätten mit dem Satz von Peach begründen.
b) Reflexiv: Allquantor A,B sind Element von gA+ : A=B und B=A

  Symmetrisch: 
Transitiv:

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