Lösung von Aufgabe 8.1

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene, die durch die Gerade $\ g$ in die beiden Halbebenen $gQ^+$ und $gQ^-$ eingeteilt wird. Ferner sei $\ R$ ein Punkt der Halbebene $\ gQ^-$, der nicht auf der Trägergeraden $\ g$ liegen möge. Beweisen Sie: $\ gR^+ \equiv gQ^-$ und $\ gR^- \equiv gQ^+$

Lösung --Schnirch 13:10, 14. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung: $\ {gQ}^{+}$ und $\ {gQ}^{-}$ $R \in {gQ}^{-}$ mit $R \not \in g$
Behauptung: ${gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}$ und ${gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}$, d. h.
1) $\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}$
2) $\forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}$

zu 1)

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	nach Definition Halbebene
(II)	$\overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	nach Voraussetzung und Definition Halbebene
(III)	$\overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace$	Axiom v. Pasch
(IV)	$\ P\in {gR}^{+}$	(III) und Definition Halbebene

zu 2) analog zu 1)

Aber hier wurde doch wie in der ersten Version des Wiki-Kapitels zu den Halbebenen nicht beachtet, dass auch koll (P, R, Q) gelten könnte. Müsste man diese Fallunterscheidung nicht noch machen??? --Barbarossa 07:25, 21. Jul. 2010 (UTC)

Ich habe in der Beweisführung auch zwischen nkoll(P,Q,R) und koll(P,Q,R) unterschieden. Für koll(P,Q,R) dann noch Zw(P,Q,R) oder Zw(Q,P,R) oder Zw(Q,R,P)... ich kann doch nicht schon von vornherein koll(P,Q,R) ausschließen?!?!--Löwenzahn 09:11, 21. Jul. 2010 (UTC)