Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe 22

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Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.
Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte:
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Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
Es sei \ m eine Gerade und \overline{AB} eine Strecke, die durch \ m im Punkt \ M geschnitten wird. \ m ist die Mittelsenkrechte von \overline{AB}, wenn
  1. m \perp AB
  2. \left| AM \right| = \left| MB \right|

Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung

Es sei g eine Gerade und P\not\in g, ein beliebiger Punkt der mit g in der gleichen Ebene liegt. P' sei der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung S_{g}.
Nach der Definition Mittelsenkrechte und der Definition Geradenspiegelung ist die Spiegelgerade g Mittelsenkrechte der Strecke \overline{PP'}.


Konstruktion eines Bildpunktes P' bei der Spiegelung S_{g}(P) mit Zirkel und Lineal

Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes P' bei der Spiegelung S_{g}(P)

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Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt?
Ihre Antwort:



Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt P', den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von P bei der Spiegelung S_{g}(P)?
Wenn wir beweisen könnten, dass g tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{PP'} ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, P' tatsächlich Bildpunkt von P bei der Spiegelung S_{g}.
Nach unserer Konstruktion gilt: \left| AP \right| =\left| AP' \right| und \left| BP \right| =\left| BP' \right|. Wir können also sagen, die beiden Punkte A und B haben zu den beiden Endpunkten der Strecke \overline{PP'} nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass A und B auf der Spiegelachse g liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass g die Mittelsenkrechte von \overline{PP'} ist. Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze:

Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{PP'}gehört.)
Wenn ein Punkt \ A zu den Endpunkten der Strecke \overline{PP'} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{PP'}.
Satz VI.1 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{PP'} gehört)
Wenn ein Punkt \ A zur Mittelsenkrechten der Strecke \overline{PP'} gehört, dann hat er zu den Punkten \ P und \ P' ein und denselben Abstand.



Beweisen werden wir die beiden Sätze in der Vorlesung bzw. in der Übung!

Wir können nun die beiden Sätze VI.1 a und VI.1 b zu einem neuen Satz zusammenfassen:

Satz VI.2: (Mittelsenkrechtenkriterium)

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