Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $\ m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $\ m$ im Punkt $\ M$ geschnitten wird. $\ m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, wenn

1. $m \perp AB$
2. $\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Beweis von Satz VI.1

Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke, die vollständig zur Ebene $\ \Epsilon$ gehören möge.

Behauptungen:

1. Es gibt in $\ \Epsilon$ genau Gerade $\ m$, die die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist.
2. Es gibt in $\ \Epsilon$ nicht mehr als eine Gerade $\ m$, die die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist.

Beweis der Existenzbehauptung:

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt $\ Q$ ein, der zur Ebene $\ \Epsilon$ aber nicht zur Geraden $\ AB$ gehören möge.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(i)	$\exist M : |AM| = |MB|$	Element
(ii)	$\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90$	Element
(iii)	$\ PM$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$	Element

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.8 die Existenz der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.8 steht momantan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.