Natürliche Zahlen mit Addition

Wir überprüfen ob es sich bei $[\N,+]$ um eine Gruppe handelt:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: $a=4, b=5, a+b=4+5=9 \in \N$ passt.

(2) Assoziativität

Beispiel: $a=3, b=2, c=4, (a+b)+c=(3+2)+4=5+4=9=3+6=3+(2+4)=a+(b+c)$ passt.

(3) neutrales Element

Beispiel: $a=4, n=0, a+n=4+0=4, n \in \N$ passt.

(4) inverses Element

Beispiel: $a=4, -a=-4, a+-a=4+(-4)=0, -a \notin \N$ passt nicht!

Somit handelt es sich bei $[\N,+]$ nicht um eine Gruppe.