Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 4: Unterschied zwischen den Versionen

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Wenn ein alle drei Punkte A,B,C eines Dreiecks auf dessen Umkreis k liegen und die Basis <math>\overline{AB}</math> ein Druchmesser von k ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 11:06, 5. Feb. 2013 (CET)
  
 
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Version vom 5. Februar 2013, 12:06 Uhr


THales 00.png THales 01.png
Abbildung 02 Abbildungs 03

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe a

Es sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M, auf k seien drei nichtkollineare Punkte A, B, C gegeben.
Voraussetzung 1: M \in \overline{AB},
Voraussetzung 2: A, B, C \in k,
Behauptung |\gamma|=|\angle ACB|=90°
Für den folgenden Beweis beziehen wir uns auf Abb. 03. Hier wurde der Durchmesser \overline{CD} eingezeichnet und zum Viereck \overline{ACBD} ergänzt. Die Korrektheit dieser Konstruktion muss nicht begründet werden. Ergänzen Sie das folgende Beweisfragment:

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Lösung User ...

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB} ...Vor., Definition Abstand eines Punktes von k zu M (Radius eines Kreises)
(II) |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180° ...Vor., Sehnenviereckskriterium (?)
(III) \varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2 ... Vor., Def. Scheitelwinkel, (I), SWS
(IV) \overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD} ... (III), Def. Dreieckskongruenz
(V) \delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2 ... (IV), (II), Rechnen in R
(VI) |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180° ... (V), Rechnen in R
(VIII) |\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90° ... (VI), Rechnen in R
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB} ...
(II) |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180° ...
(III) \varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2 ...
(IV) \overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD} ...
(V) \delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2 ...
(VI) |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180° ...
(VIII) |\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90° ...
(VII) 2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180° ...

Aufgabe b

Formulieren Sie den unter a) bewiesenen Satz in allgemeinerer Form unter Verwendung der Begriffe Dreieck und Umkreis in der Form Wenn-Dann.

Lösung User ...

Wenn ein alle drei Punkte A,B,C eines Dreiecks auf dessen Umkreis k liegen und die Basis \overline{AB} ein Druchmesser von k ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck. --...lw)... 11:06, 5. Feb. 2013 (CET)

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