Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Es genügt zu zeigen, dass <math>AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CC'}</math> ist.
  
 
====Fall 3====
 
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Version vom 24. November 2011, 11:38 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Drei nicht kollineare Punkte reichen aus

Satz:

Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.

Der Reduktionssatz

Satz: Reduktionssatz

Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen.

Beweis

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte und \varphi eine Bewegung.
A'=\varphi(A), B'=\varphi(B), C'=\varphi(C) seien die Bilder von A, B, C bei \varphi

Fall 1

A=A', B=B', C=C'

Fall 2

o.B.d.A. A=A', B=B'

Wo muss C`liegen

C' muss auf dem Kreis um A durch C liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.

C' muss auf dem Kreis um B durch C liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.

C' liegt damit in der Schnittmenge der beiden Kreise.

Warum wird C durch eine Spiegelung an AB auf C' abgebildet?

Es genügt zu zeigen, dass AB die Mittelsenkrechte von \overline{CC'} ist.

Fall 3

o.B.d.A. A=A'

Fall 4

A \not= A', B\not=B', C\not=C'

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