Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11): Unterschied zwischen den Versionen

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(Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises))
(Definition XVIII.4: (Sehnenviereck))
 
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== Begriff des Sehnenvierecks ==
 
== Begriff des Sehnenvierecks ==
 
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
 
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>  <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .
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:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>  <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .<br /><br />
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...<math>\ A,B \in \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
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Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Eine Sehne des Kreises ist jede Strecke, deren Anfangs- und Endpunkte Element des Kreises <math>\ k</math> sind.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:49, 5. Feb. 2011 (UTC)
  
 
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
 
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
 
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.
 
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.
 
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.
 
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC)
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Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
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Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {AB}</math> ist ein Durchmesser des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A,B\in \ k</math> und <math>\ M\in \ \overline {AB}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
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Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Ferner seien <math>\ A</math> und <math>\ B </math> zwei Punkte des Kreises <math>\ k</math>. Ein Durchmesser ist die Strecke <math>\overline {AB}</math>, für die gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, M, B\right) \land \  A,B\in \ k</math>. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:43, 5. Feb. 2011 (UTC)
  
 
===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
 
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:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
 
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
 
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn  
 
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn  
<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC)
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<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
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Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A\in \ k</math> und <math> \overline {AM} \cong \overline {BM}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
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Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Jede Strecke, die den Anfangspunkt in <math>\ M </math> und den Endpunkt in einem beliebigen Punkt des Kreises <math>\ k</math> hat, nennt man Radius.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:35, 5. Feb. 2011 (UTC)
  
 
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
 
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.
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:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.<br />
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Ein Viereck ABCD, dessen Eckpunkte A, B, C, D Elemtent ein und desselben Kreises sind, nennt man Sehnenviereck.
  
 
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
 
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==

Aktuelle Version vom 5. Februar 2011, 12:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Begriff des Sehnenvierecks

Definition XVIII.1: (Kreissehne)
Es sei \ k ein Kreis. Die Strecke \ \overline{AB} ist eine Sehne des Kreises \ k : \Leftrightarrow ... A \in k und B \in k gilt --Engel82 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .

...\ A,B \in \ k.--Jbo-sax 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)

Es sei \ k ein Kreis. Eine Sehne des Kreises ist jede Strecke, deren Anfangs- und Endpunkte Element des Kreises \ k sind.--TimoRR 10:49, 5. Feb. 2011 (UTC)

Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises)
Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.

Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke \overline {AB} ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn A \in k,B \in k und die Verbindungsstrecke \overline {AB} durch M verläuft.--Engel82 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC)

Es sei \ k ein Kreis. \ M ist Mittelpunkt des Kreises \ k. Die Strecke  \overline {AB} ist ein Durchmesser des Kreises \ k : \Leftrightarrow \ A,B\in \ k und \ M\in \ \overline {AB}.--Jbo-sax 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)

Es sei \ k ein Kreis mit dem Mittelpunkt \ M . Ferner seien \ A und \ B zwei Punkte des Kreises \ k. Ein Durchmesser ist die Strecke \overline {AB}, für die gilt  \operatorname{Zw} \left( A, M, B\right) \land \  A,B\in \ k. --TimoRR 10:43, 5. Feb. 2011 (UTC)

Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises)
Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.

Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke \overline {MA} ist ein Radius des Kreises k, wenn A \in k gilt--Engel82 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC)

Es sei \ k ein Kreis. \ M ist Mittelpunkt des Kreises \ k. Die Strecke  \overline {MA} ist ein Radius des Kreises \ k : \Leftrightarrow \ A\in \ k und  \overline {AM} \cong \overline {BM}.--Jbo-sax 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)

Es sei \ k ein Kreis mit dem Mittelpunkt \ M . Jede Strecke, die den Anfangspunkt in \ M und den Endpunkt in einem beliebigen Punkt des Kreises \ k hat, nennt man Radius.--TimoRR 10:35, 5. Feb. 2011 (UTC)

Definition XVIII.4: (Sehnenviereck)
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises \ k sind, heißt Sehnenviereck.

Ein Viereck ABCD, dessen Eckpunkte A, B, C, D Elemtent ein und desselben Kreises sind, nennt man Sehnenviereck.

Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck

Die Satzfindung

sehr speziell: Quadrate

Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.

Quadrat als Sehnenviereck.png

weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke

Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.

noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze

Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

allgemeines Sehnenviereck

Ausgangslage: \ \overline{ABCD} ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt \ C auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von \ \gamma? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?


Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck