SoSe 2018 Lösung von Aufgabe 6.01: Unterschied zwischen den Versionen

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In einer Übung definierte eine Kommilitonin den Begriff Halbgerade <math>AB^+</math> wie folgt:<br\>
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In der Vorlesung wurde wie folgt definiert:<br\>
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Beweisen Sie:
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# Definition V <math>\Rightarrow</math> Definition Ü
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# Definition Ü <math>\Rightarrow</math> Definition V
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=Lösung 1=
 
Behauptung: Def V <=> Def Ü
 
Behauptung: Def V <=> Def Ü
  
 
zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen
 
zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen
 
Strecke AB ist größer als Strecke AP
 
Strecke AB ist größer als Strecke AP
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==Kommentar --[[Benutzer:&#42;m.g.*|&#42;m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:&#42;m.g.*|Diskussion]]) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST)==
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Hier ist Luft nach oben (freundlich ausgedrückt).
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Natürlich können wir beide Implikationen zusammenfassen zu einer Äquivalenz. Def Ü genau dann, wenn Def V.
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Dazu sind zwei Beweise zu führen.
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===Beweis 1===
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Wenn <math>P</math> ein Punkt des Strahls <math>AB^+</math> nach Def Ü ist dann ist er auch ein Punkt des Strahls <math>AB^+</math> nach Def V.
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Sei <math>P</math> ein Punkt von <math>AB^+</math> nach Def Ü.<br />
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====Voraussetzung====
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In diesem Fall gilt:<br />
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Entweder ist <math>P</math> ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> oder es gilt <math>P \in AB </math> und <math>\vert BP \vert < \vert AP \vert </math>.<br />
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Anders ausgedrückt:<br />
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=====Fall 1=====
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<math>P \in \overline{AB}</math>
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=====Fall 2=====
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<math>P \in AB \land \vert|AP\vert > \vert BP\vert</math>
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====Behauptung====
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<math>P</math> ist auch ein Punkt von <math>AB^+</math> nach Definition V, d.h.<br />
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=====Fall a=====
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<math>P</math> gehört zur Strecke <math>\overline{AB}</math>
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=====Fall b=====
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<math>\operatorname{Zw}(A,B,P)</math>
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====Der Beweis====
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Wenn Fall 1 eintritt folgt Fall a.<br />
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Es bleibt zu zeigen: <br />
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<math>P \in AB \land \vert AP\vert > \vert BP\vert \Rightarrow \operatorname{Zw}(A,B,P) </math><br />
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Ferner dürfen wir für diesen Beweis voraussetzen, dass <math>P \not \in \overline{AB}</math>, denn Fall 1 wurde schon abgearbeitet.<br />
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Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>A, B, P</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen (in der Vorlesung bewiesen).<br />
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Prinzipiell könnte also gelten:<br />
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\begin{matrix}
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\text{I} & \operatorname{Zw}(APB) \\
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\text{II} & \operatorname{Zw}(PAB) \\
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\text{III} & \operatorname{Zw}(ABP) \\
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\end{matrix}
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<math>\text{I}</math> kann nicht eintreten, denn das wäre Fall 1 und der ist schon abgearbeitet. ... den Rest können Sie alleine.
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===Beweis 2===
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Wenn <math>P</math> anch Def V zu <math>AB^+</math> gehört, dann gehört <math>P</math> auch nach Def Ü zu <math>AB^+</math>. ...
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=Lösung 2=
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Probieren Sie beide Beweise korrekt zu führen.
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Aktuelle Version vom 10. Juni 2018, 16:59 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 6.01

In einer Übung definierte eine Kommilitonin den Begriff Halbgerade AB^+ wie folgt:
AB^+:=\overline{AB}\cup\left\{P|P\in AB \wedge |AP|> |BP|\right\}
In der Vorlesung wurde wie folgt definiert:
AB^+:=\overline{AB} \cup \left\{P|\operatorname{Zw}(A,B,P)\right\} Beweisen Sie:

  1. Definition V \Rightarrow Definition Ü
  2. Definition Ü \Rightarrow Definition V

Lösung 1

Behauptung: Def V <=> Def Ü

zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen Strecke AB ist größer als Strecke AP

Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST)

Hier ist Luft nach oben (freundlich ausgedrückt). Natürlich können wir beide Implikationen zusammenfassen zu einer Äquivalenz. Def Ü genau dann, wenn Def V. Dazu sind zwei Beweise zu führen.

Beweis 1

Wenn P ein Punkt des Strahls AB^+ nach Def Ü ist dann ist er auch ein Punkt des Strahls AB^+ nach Def V. Sei P ein Punkt von AB^+ nach Def Ü.

Voraussetzung

In diesem Fall gilt:
Entweder ist P ein Punkt der Strecke \overline{AB} oder es gilt P \in AB und \vert BP \vert < \vert AP \vert .

Anders ausgedrückt:

Fall 1

P \in \overline{AB}

Fall 2

P \in AB \land \vert|AP\vert > \vert BP\vert

Behauptung

P ist auch ein Punkt von AB^+ nach Definition V, d.h.

Fall a

P gehört zur Strecke \overline{AB}

Fall b

\operatorname{Zw}(A,B,P)

Der Beweis

Wenn Fall 1 eintritt folgt Fall a.
Es bleibt zu zeigen:
P \in AB \land \vert AP\vert > \vert BP\vert \Rightarrow \operatorname{Zw}(A,B,P)
Ferner dürfen wir für diesen Beweis voraussetzen, dass P \not \in \overline{AB}, denn Fall 1 wurde schon abgearbeitet.
Von drei paarweise verschiedenen Punkten A, B, P liegt genau einer zwischen den beiden anderen (in der Vorlesung bewiesen).
Prinzipiell könnte also gelten:
\begin{matrix} \text{I} & \operatorname{Zw}(APB) \\ \text{II} & \operatorname{Zw}(PAB) \\ \text{III} & \operatorname{Zw}(ABP) \\ \end{matrix}

\text{I} kann nicht eintreten, denn das wäre Fall 1 und der ist schon abgearbeitet. ... den Rest können Sie alleine.

Beweis 2

Wenn P anch Def V zu AB^+ gehört, dann gehört P auch nach Def Ü zu AB^+. ...

Lösung 2

Probieren Sie beide Beweise korrekt zu führen.

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