http://geometrie.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=%2Awuhu%2AGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-28T21:50:30ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.21.2http://geometrie.zum.de/wiki/Winkelmessung_WS_11/12Winkelmessung WS 11/122012-01-28T16:06:56Z<p>*wuhu*: /* Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) */</p>
<hr />
<div>== Das Winkelmaß ==<br />
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
|- <br />
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels<br />
|- <br />
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180<br />
|}<br />
<br />
=== Das Winkelmaßaxiom ===<br />
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====<br />
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.<br />
<br />
bedeutet zwischen 0 und 180, dass die Zahlen 0 und 180 dazugehören oder dass man sie ausschließen kann? Denn es gibt keinen Winkel, der 0 ° hat. Könnte man dann dieses Axiom als Begründung hierfür( kein Winkel ist 0° groß) nehmen? --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 19:38, 11. Jan. 2012 (CET)<br />
<br />
====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====<br />
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
== Winkelkonstruktion ==<br />
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===<br />
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====<br />
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math><br />
<br />
::Müsste <math>\ \omega</math> oben nicht ohne Betragsstriche stehen und unten im Applet entsprechend ohne Gradangabe? --[[Benutzer:*wuhuh*|*wuhu*]] 17:06, 28. Jan. 2012 (CET)<br />
<br />
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<br />
== Winkeladdition ==<br />
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====<br />
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.<br />
<br />
<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==== Satz V.2 ====<br />
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.<br />
<br />
==== Beweis von Satz V.2 ====<br />
<br /><br /><br />
Vor.:<math>P</math> im inneren<math> \angle ASB</math> <br /><br />
<math>P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}</math> <br /><br />
Beh.:<math>\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right|</math><br /><br />
<br />
{| class="wikitable sortable" <br />
!Überschrift 1!!Überschrift 2<br />
|- <br />
| (1)<math>P</math> im inneren<math> \angle ASB</math>und<br /><math>P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}</math> || Vor.<br />
|- <br />
| (2)<math>\left|\angle ASP \right|+ \left|\angle PSB\right| =\left|\angle ASB \right|</math> || Winnkeladditionsaxiom<br />
|-<br />
| (3)<math>\left|\angle ASB \right|- \left|\angle ASP\right| =\left|\angle PSB \right|</math> || (2) Rechen in R<br />
|-<br />
| (4)<math>\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right| </math> <br />q.e.d. || Winkelmaßaxiom, (3) muss einen reelle Zahl zw. 0 und 180 ergeben und kann somit nicht negativ sein.<br />
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:43, 12. Dez. 2011 (CET)<br />
<br />
== Rechte Winkel ==<br />
<br />
==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====<br />
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====<br />
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====<br />
::Nebenwinkel sind supplementär.<br />
<br />
==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====<br />
::Es gibt rechte Winkel.<br />
<br />
==== Beweis von Satz V.3 : ====<br />
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.<br />
<br />
Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.<br />
<br />
Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.<br />
<br />
Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.<br />
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<br />
<br />
Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.<br />
<br />
In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.<br />
<br />
==== Satz V.4 : ====<br />
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.<br />
<br />
==== Beweis von Satz V.4 : ====<br />
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.<br /><br />
<br />
<br /> {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}<br />
<br />
== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==<br />
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====<br />
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)<br />
<br />
Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?<br />
<br />
<br />
===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====<br />
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br /><br />
Ergänzen Sie:<br />
<br />
<br />
==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:<br />
}<br />
- Sie ist reflexiv.<br />
+ Sie ist symmetrisch.<br />
- Sie ist transitiv.<br />
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.<br />
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.<br />
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.<br />
</quiz><br />
<br />
===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====<br />
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.<br />
<br />
===== Beweis von Satz V.5 =====<br />
Aufgabe_Tutorium<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>*wuhu*http://geometrie.zum.de/wiki/Winkelmessung_WS_11/12Winkelmessung WS 11/122012-01-28T16:06:37Z<p>*wuhu*: /* Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) */</p>
<hr />
<div>== Das Winkelmaß ==<br />
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
|- <br />
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels<br />
|- <br />
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180<br />
|}<br />
<br />
=== Das Winkelmaßaxiom ===<br />
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====<br />
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.<br />
<br />
bedeutet zwischen 0 und 180, dass die Zahlen 0 und 180 dazugehören oder dass man sie ausschließen kann? Denn es gibt keinen Winkel, der 0 ° hat. Könnte man dann dieses Axiom als Begründung hierfür( kein Winkel ist 0° groß) nehmen? --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 19:38, 11. Jan. 2012 (CET)<br />
<br />
====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====<br />
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
== Winkelkonstruktion ==<br />
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===<br />
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====<br />
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math><br />
<br />
::Müsste <math>\ \omega</math> oben nicht ohne Betragsstriche stehen und unten im Applet entsprechend ohne Gradangabe? --[[Benutzer:*wuhuh*|*wuhuh*]] 17:06, 28. Jan. 2012 (CET)<br />
<br />
<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
== Winkeladdition ==<br />
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====<br />
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.<br />
<br />
<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIe40TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VlLcuM2EF1nToHiIpspU/yTqkie8kw2rprErpEzi+wgEpIQ8zckaEu+QU6RM/hzDh0iJ0kDICVS9Ee07Bm5KlyYJgA2Gu/1625Jgw/zKEQXJMtpEg8VXdUURGI/CWg8HSoFmxx4yofDd4MpSaZknGE0SbIIs6FiqobCxwt6+O6nQT5LLhEOxZKvlFwOlQkOc6KgPM0IDvIZIawxjos5DSnOFifjv4jP8vWENHIcpwXswrICxvwo+Ezz6rEnNkxDyn6lFzQgGQoTf6g4NrgO/30lGaM+DoeKpckRY6gYG5MwZPLZWZLRqyRmfPna+ARGEMrpFYE3NT426ImDDkjhhzSgOOaHEX7AIoQuacBm4IJjgUlCpzPw1bI0ac1PkiwYLXJGIjT/k2QJzLkc54V8MDSLP+XgFuxna2Kq/iSskIsRYQxYyRGekzVe04wGjYfj/GMSrofShMbsE05ZkQlKzXJoxBZ8A9gr4/4exdOQlGM6ID4j/vk4mY8EBropTZ8tUvGKcGg8/ZSESYYyjq4NC8r7WN7FGu7papUm1mhiRWmDG13N631DrBD3sbyLVSGNpWvlyfXq1LpWbUNzxAc4jBCJq8OHeEyAWQUVMWWfqweIgPP1UfkLvxfRGCRQj4GVTf2lbA56G9EzOCdZTEIZIzFwWyRFji54LMq9hCMB8WkEj3JCL73jdP0BDsjRgEwzUjkuBSQBE7ONONwYHvQqJ7gPOfjqM8gEcB7Gz8KFykAkQyVSp6qCAsz4KFdCSCICMmEiJkRIrbA5UlY5IRHyroRczq9Rhul740NEEg7TGYaRSgIhXoDY60cS9k4mk5wwNB8qB7oH0gF5ebXp35KgiQOOAU9xSJBkyu1zxlJCJNmsDHKUwn5CMjUyBIY538tVbbHXgalqjoKuZO4Ui6S+eGIQ25ol+RKwJ6Ab/SjoTF0cR3deHzpdNQ2JnaFyrb8Udh9/WNjJUNBeHzpb1SV0uup5Wv3Su+HoJ1GE4wDFOIJ9RfYX6FFedxHWuIgR1nlAImxwbCVwBavml7fSZmmpxY1IUSvsYTV/H5wpKlyAe9PTXMPwXMeydLNfVvZn8adrVWFZ86dvyZ9hyWi0H+NvXYTYDHJ9THJI7caaOEly5q8x5y6VGTlMLr+QSUjmAmg5XSsLD7DyBS82OBlJTtpk4Me5yMBShSJWtj7Ow1TUgvMhLWlbK6mF9TreDyxVpnST33mAu6plGrW4b/UIj5yHfIvlmlxWahpBF+lTtoIz5NI7jhnUbSLqYLscnxOS8j7oJD7LcJzzdnhnPo9afI6353P8lvgEUVrNtCXTmaPqK349R3P7q8vbZ34fq0an37UavVK98VTN2qgyC5G6N1jcpfg8KIvTliz87WXhv7AsoDsOqMQTlp+Uq5fX6D1a3qB///4HyYL42gkREqFTSsY12hwYlurqrrPPounaerTDYHndqfW4brceNnw6Nx3HtXUA0bE6tB67xEH3JuUF2hB3xy7kPoJOn+oNbzoRdNMmyHT7rqvZtmlDl2h5fed/hup1Z55mYJefsTz+GZkzyAAwUR71529Fwn6RfxXUa1HA4AWl+fb3AHjnVJgznLFTXmCQbChs2b0bqtP4GP40XEYF181z4DLeKFxO+fGx73VDyyzRkhAtr4clVltAZe7cCb0cAAeg537z8qr4sbohYjURuemAiLVfiBglAlo3AOxKQLfPEZC9RxiALOxmUJR9rtExpzjNmLjtEBPOHuEBMdHs+zXNrhBxm0C53QByN9LI+066cfcLI6f5FZxVplbT3IylbRFa3tVLOPRF9whpo3e62/Z7tV27C69y7e45avfeeLk0H/m2tY5dr/4rivjdsPzh9PA/UEsHCMM6q7lzBQAAah0AAFBLAQIUABQACAAIAIe40TzDOqu5cwUAAGodAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAArQUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==== Satz V.2 ====<br />
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.<br />
<br />
==== Beweis von Satz V.2 ====<br />
<br /><br /><br />
Vor.:<math>P</math> im inneren<math> \angle ASB</math> <br /><br />
<math>P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}</math> <br /><br />
Beh.:<math>\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right|</math><br /><br />
<br />
{| class="wikitable sortable" <br />
!Überschrift 1!!Überschrift 2<br />
|- <br />
| (1)<math>P</math> im inneren<math> \angle ASB</math>und<br /><math>P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}</math> || Vor.<br />
|- <br />
| (2)<math>\left|\angle ASP \right|+ \left|\angle PSB\right| =\left|\angle ASB \right|</math> || Winnkeladditionsaxiom<br />
|-<br />
| (3)<math>\left|\angle ASB \right|- \left|\angle ASP\right| =\left|\angle PSB \right|</math> || (2) Rechen in R<br />
|-<br />
| (4)<math>\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right| </math> <br />q.e.d. || Winkelmaßaxiom, (3) muss einen reelle Zahl zw. 0 und 180 ergeben und kann somit nicht negativ sein.<br />
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:43, 12. Dez. 2011 (CET)<br />
<br />
== Rechte Winkel ==<br />
<br />
==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====<br />
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====<br />
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====<br />
::Nebenwinkel sind supplementär.<br />
<br />
==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====<br />
::Es gibt rechte Winkel.<br />
<br />
==== Beweis von Satz V.3 : ====<br />
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.<br />
<br />
Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.<br />
<br />
Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.<br />
<br />
Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.<br />
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<br />
<br />
Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.<br />
<br />
In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.<br />
<br />
==== Satz V.4 : ====<br />
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.<br />
<br />
==== Beweis von Satz V.4 : ====<br />
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.<br /><br />
<br />
<br /> {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}<br />
<br />
== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==<br />
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====<br />
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)<br />
<br />
Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?<br />
<br />
<br />
===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====<br />
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br /><br />
Ergänzen Sie:<br />
<br />
<br />
==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:<br />
}<br />
- Sie ist reflexiv.<br />
+ Sie ist symmetrisch.<br />
- Sie ist transitiv.<br />
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.<br />
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.<br />
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.<br />
</quiz><br />
<br />
===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====<br />
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.<br />
<br />
===== Beweis von Satz V.5 =====<br />
Aufgabe_Tutorium<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>*wuhu*http://geometrie.zum.de/wiki/Strecken_WS_11/12Strecken WS 11/122012-01-28T11:58:28Z<p>*wuhu*: /* Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */</p>
<hr />
<div>= Strecken, intuitiv =<br />
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.<br />
<br />
Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.<br />
<br />
Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).<br />
<br />
Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.<br />
<br />
= Längenmessung =<br />
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==<br />
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.<br />
<br />
Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.<br />
<br />
== Die Idee der Längenmessung ==<br />
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:<br />
<br />
= Der Abstand zweier Punkte =<br />
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===<br />
<br />
<br />
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====<br />
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.<br />
<br />
===== Definition II.1: (Abstand) =====<br />
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br /><br /><br />
<br />
===== Axiom II.2: =====<br />
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.<br />
<br />
=== Die Dreiecksungleichung ===<br />
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====<br />
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren. <br />
<br />
Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.<br />
<br />
Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)<br />
<br />
<br />
Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.<br />
<br />
Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.<br />
<br />
Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:<br />
<br />
<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===<br />
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====<br />
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math><br />
<br />
::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:<br />
<br />
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math><br />
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math><br />
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br /><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.<br />
<br />
=====Übung zum Axiom=====<br />
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?<br />
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAJd6uDwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s5Vltc5tGEP7c/IobPnTaSYM53mmlZATOB884SWfsZjpNMp0TnKWrEShwOHLi/vfu3SEEQraR3bSuqy/AsuztPs++HGj0YrVI0QUtSpZnYw3rhoZoFucJy2ZjreJnz3ztxfMnoxnNZ3RaEHSWFwvCx5qlm5qQV+z5k29G5Tz/hEgqVd4y+mmsnZG0pBoqlwUlSTmnlHfkpFqxlJHi8s30DxrzcnNDGTnKlhWswosKZPEiOWbl+vJALrhMGT9kFyyhBUrzeKx5tqeJs7e04Cwm6VizDUNKzLFmOkbnJogscXeeF+xznnGhvjF+BhKESvaZwpOGkI0OZKAjWsUpSxjJRDDSD1BC6BNL+BzQM31hk7LZHJz1bVOZi/O8SE4uS04XaPUbLXLQxK5A+rK+cnxxVYJjsKJjyFvtK2mGXpxQzoGXEpEV3SA2K1jSuTgqwzzdiJY5y3hElrwqJKlWLTrhl2IBWKsQDk+yWUprmQmYz2l8Ps1XJxIFbCnTp5dL+Yh0aDqL8jQvUCHwdUChPk7VUeoITxstQ+oYUqO2IYw293FgSg15nKqj1EpZplyrI8frqLGxXoaVSAgEjJCLTfApmVLgVkNVxvjx+gJy4LwOFasHXleLKRRBOwsam/jvsjk62Mqf0TktMpqqJMmA2yqvSnQhslGtJR1JaMwWcKlu1JAQQdcv4ICSJnRW0LXjqoQUYPKu0U7ELfHoYO2E8KEEX2MOvQDi4SIWUaocymSsLfSZrqGEcCEVtZDSBYVC4TInZEo12Ex+x1rTF3JZ4tvwtQIEhZ05IrOJpMs5Acm6DFJyCSXfDksafJUn3WBJBqDJSKDwlsKAoGVJqWKU15mMlmBQ1kXLIQlUiVZj7RnWHReqEc4c3fI19Fk1Sammykh0ALmwVXOscLkFofCxIIQt3TIbhOz9EIrzxYJkCcrIAtY6oTMhl7gwMQAQMVQuIYIVZAqNiq9vEmWxttPDvKwtriElWred8DlUbUbLUvY83u5uHWLUHBrOi3F3Vlq5B8/CDGv/LJWL2NZ9lYteoAf9LnlDWPRjpnRK1avYAiZpzHiDbCq4Pso4dC4qO0G/IZ1TuhST4E12WpCsFFsCpdNqdNdQ/LMsgi7BpMdqdDOr3UqK+nXUoWvT0dtsYVNNLHl8GJXk6b4X+J5vmNh2se9aTVU5tmtagW/52DI927lPjQ0jYLIPAZPHQoChB4aBbcvBputagW37DQOeZfmuhw3gxxbEfG0Cwn0ICB8LAY4OPc4ODNN0HRv7gd3gD/nv2qZnOb7tuPcaMofwJkGymG5PmXrG9CfMVOgnk1sYyaoFLVi8mTTNY8IeOFbV7tk6Fn0cO6YfOI5pDh8k+E6BhSqw6LrAwlua7TWBhdF2YKZoX9ClcOA72LUd3/naoU1uCW1yt9AmvdBcPfACzwk86L4edr3gHpHd7MLE2l7b0XdtSLo7xd0FfqNLA0ob37+0m9f86/cHN+MR9vDw/td4RD08sPnYAVktC9jKCvvrIoFNLUjH2rcfq5z/dDUJr9SZfLQLIKer1k7FvO2daz+g9hqSN8cUbsUURgNjCh9uTNE2T0Njih5KTN0x9Ipl2xPI+jGy+rtnd7+5A/rXNf09yvVOpRS6HYqeDsw594HwsyPn1gG9Iqt3kp4P6BkChFE/pl5z7fHg/VM8HHZ5GA/j4fDh8vByHdDERU9RNAj/lz38N8PtaxNwCrjCZr1NwvuUnvEr9EVdQRTfvYY28G7y4fvmPJTnSuFP9F5+SL9CaIze/4CaxzavAjsw6PBZO/Fvfn5i5TE5pb92oQNMp2WeVpyexAWl2XEeq4EvPwC6WH2UUt+hBsAc7QtztBPm3ShHw1C+7avRw0NZfQ4yrQHFJyIMB6Ec3g3lcBjK4X8PZfXJwXSDbZQP2v+OyH8E679En/8FUEsHCPM2QCGgBQAARB0AAFBLAQIUABQACAAIAJd6uDzzNkAhoAUAAEQdAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA2gUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
=== Definitionen und Sätze ===<br />
<br />
===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====<br />
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
<br />
::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
<br />
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:<br />
<br />
===== Satz II.1 =====<br />
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz II.1 =====<br />
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)<br />
<br />
<br />
===== Satz II.2: =====<br />
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz II.2 =====<br />
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)<br />
<br />
<br />
===== Satz II.3 =====<br />
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz II.3: =====<br />
::<span style="color: blue">Übungsaufgabe</span><br />
<br />
= Der Begriff der Strecke=<br />
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====<br />
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)...Die Punktmenge, die A und B sowie alle Punkte, die zwischen A und B liegen, enthält, heißt StreckeAB (weiß nicht wie der Strich über AB geht..) --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 15:00, 11. Jan. 2012 (CET)<br />
<br />
<br />
===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====<br />
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)....Der Abstand /AB/ heißt Länge der Strecke AB. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 15:00, 11. Jan. 2012 (CET)<br />
<br />
<br />
= Halbgeraden bzw. Strahlen =<br />
===== So ist es gemeint =====<br />
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird.<br /><br />
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====<br />
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie)<br />
:: Eine Halbgerade <math>\ AB^+</math> ist die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte <math>\ P</math> für die gilt: <math>\ B</math> liegt zwischen <math>\ A</math> und <math>\ P</math>. <br />
<br /><br />
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)<br />
::Eine Halbgerade <math>\ AB^- </math> ist die Vereinigung der Menge, die aus dem Punkt <math>\ A</math> besteht, mit der Menge aller Punkte <math>\ P</math> für die gilt <math>\ \operatorname{Zw}(P,A,B)</math>. --[[Benutzer:*wuhu*|*wuhu*]] 12:57, 28. Jan. 2012 (CET)<br />
<br />
===== Satz II.4 =====<br />
::Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz II.4 =====<br />
(ergänzen Sie)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>*wuhu*