http://geometrie.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=ApfelkernGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T14:17:08ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.21.2http://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._14.1Lösung von Aufg. 14.12011-02-06T14:30:01Z<p>Apfelkern: </p>
<hr />
<div>Eine Gerade t, die einen Kreis K in genau einem Punkt B berührt (lat. tangere: berühren), heißt Tangente des Kreises K im Punkt B. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:03, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
In einer Definition, darf man nicht "genau dann" verwenden, das impliziert die Existenz und Eindeutigkeit in einem Satz.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 08:46, 6. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k und eine Gerade g.<br /><br />
Eine Gerade g ist Tangente t des Kreises k, wenn t den Kreis k in genau einem Punkt berührt.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:51, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
@Hasekm: Auf welche Definition ist deine Antwort bezogen? Die von Halikarnaz müsste doch stimmen, oder? Berührung in genau einem Punkt muss doch rein, oder nicht?</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2Lösung von Aufg. 14.22011-02-05T15:36:59Z<p>Apfelkern: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn die Gerade g senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k im Berührungspunkt A.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
<br />
Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._13.2Lösung von Aufg. 13.22011-01-30T13:54:38Z<p>Apfelkern: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.<br />
<br />
<br />
Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) <br />
Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks. <br />
Hier meine Idee:<br />
<br />
Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB<br />
<br />
Beh.: o.B.d.A. Iα’I=IβI+IγI<br />
<br />
1) IαI+IβI+IγI=180________________Innenwinkelsatz<br />
<br />
2) IαI+IάI=180___________________Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel<br />
<br />
3) ά= IβI+IγI_____________________1),2), Rechnen in R<br />
<br />
4) Behauptung stimmt_____________3)<br />
<br />
Konstruktive Kritik bitte ;-)<br />
<br />
Also ich glaube die Lösung ist richtig so, aber vielleicht solltest du deinen Schritt 3) etwas genauer erläutern:<br />
<br />
(3.1) IαI = 180-IβI-IγI _____________Rechnen im R<br />
<br />
(3.2) ά= 180 - (180-IβI-IγI)____________ Rechnen im R<br />
--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:36, 28. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Wahrscheinlich hast du recht. Danke für den Vorschlag.</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._13.1Lösung von Aufg. 13.12011-01-30T13:53:28Z<p>Apfelkern: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.<br />
<br />
Könnte es so gehen?<br />
<br />
Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB<br />
<br />
Beh.: IαI+IβI+IγI=180<br />
<br />
1) IαI+IάI=180_________Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom<br />
<br />
2) IβI+IγI=ά___________starker Außenwinkelsatz (oder darf ich den noch gar nicht nehmen???)<br />
<br />
3) IαI+IβI+IγI=180_____1),2), Rechnen in R<br />
<br />
4) Behauptung stimmt___3)<br />
<br />
<br />
Ich glaub das geht nicht, weil du den Innenwinkelsatz brauchst, um den starken Außenwinkelsatz zu beweisen! Dann kannst du den starken Außenwinkelsatz nicht in dem Beweis nehmen!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:38, 28. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
Idee 2<br />
VSS : Dreick ABC mit α,β,γ y als Innenwinkel<br /><br />
Beh: IαI+IβI+IγI=180<br /><br />
<br />
1. Konstruiere eine Parallele zu AB durch C (Satz über die Existenz von Parallelen und Euklidisches Parallelenaxiom)<br /><br />
<br />
2. IαI = Iα´I (Wechselwinkelsatz)<br /><br />
3. IβI = Iβ´I (Wechselwinkelsatz)<br /><br />
4. IβI + IγI = I<math>\delta </math>I (Winkeladditionsaxiom)<br /><br />
5. I<math>\delta </math>I + IαI = 180 ( Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom)<br /><br />
6. IαI+IβI+IγI=180 (2,3,5, rechnen in R)<br />--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:28, 26. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
Sommer80 stimme ich zu, ganz oben stimme ich auch zu und TAB muss ich widersprechen, da ich der Meinung bin, dass man den schwachen Außenwinkelsatz auch ohne die Innenwinkelsumme nur über Wechselwinkel beweisen kann.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:37, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
Danke euch beiden.</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._13.1Lösung von Aufg. 13.12011-01-25T18:46:50Z<p>Apfelkern: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.<br />
<br />
Könnte es so gehen?<br />
<br />
Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB<br />
<br />
Beh.: IαI+IβI+IγI=180<br />
<br />
1) IαI+IάI=180_________Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom<br />
<br />
2) IβI+IγI=ά___________starker Außenwinkelsatz (oder darf ich den noch gar nicht nehmen???)<br />
<br />
3) IαI+IβI+IγI=180_____1),2), Rechnen in R<br />
<br />
4) Behauptung stimmt___3)</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._13.2Lösung von Aufg. 13.22011-01-25T18:46:06Z<p>Apfelkern: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.<br />
<br />
<br />
Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) <br />
Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks. <br />
Hier meine Idee:<br />
<br />
Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB<br />
<br />
Beh.: o.B.d.A. Iα’I=IβI+IγI<br />
<br />
1) IαI+IβI+IγI=180________________Innenwinkelsatz<br />
<br />
2) IαI+IάI=180___________________Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel<br />
<br />
3) ά= IβI+IγI_____________________1),2), Rechnen in R<br />
<br />
4) Behauptung stimmt_____________3)<br />
<br />
Konstruktive Kritik bitte ;-)</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._13.1Lösung von Aufg. 13.12011-01-25T18:28:56Z<p>Apfelkern: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.<br />
<br />
Könnte es so gehen?<br />
<br />
Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB<br />
<br />
Beh.: IαI+IβI+IγI=180<br />
<br />
1) IαI+IάI=180_________Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom<br />
<br />
2) IβI+IγI=ά___________starker Außenwinkelsatz (oder darf ich den noch gar nicht nehmen???)<br />
<br />
3) IαI+IβI+IγI=180_____1),2)<br />
<br />
4) Behauptung stimmt___3)</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/Der_Innenwinkelsatz_f%C3%BCr_DreieckeDer Innenwinkelsatz für Dreiecke2011-01-25T18:11:34Z<p>Apfelkern: /* Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke) */</p>
<hr />
<div>== "Der Abreißbeweis" ==<br />
Diskutieren Sie Sinn und Unsinn des folgenden "Beweises":<br />
<br />
http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/innenwinkelsumme.swf<br />
<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 13.3]]<br />
<br />
== Ein echter Beweis ==<br />
===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====<br />
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CAB</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. <br />Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz XII.4 (Innenwinkelsatz für Dreiecke) =====<br />
[[Lösung von Aufgabe 13.2]]</div>Apfelkernhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._12.6Lösung von Aufg. 12.62011-01-25T16:47:30Z<p>Apfelkern: /* Aufgabe 12.6 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.6 ==<br />
Beweisen Sie den Stufenwinkelsatz.<br />
<br />
<u>Vor</u>: a//b<br /><br />
<u>Beh:</u> <math>\alpha </math> <math>\cong</math><math>\beta </math><br /><br />
<br />
<u>Annahme</u>: <math>\alpha </math> ist nicht kongruent zu <math>\beta </math><br /><br />
<br />
1) Es existiert genau eine Gerade h für die gilt:___________________________WInkelkonstruktionsaxiom<br /><br />
<math>\alpha1 </math> <math>\cong</math><math>\beta </math><br /><br />
2) h//b________________________Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und 1) <br /><br />
3) Die Gerade b hat zwei Parallelen a und h______________________ Vor. und 2) Widerspruch zum EPA<br /><br />
4) a=h___________________________2)<br /><br />
5) Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
6) Behauptung stimmt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:57, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
Musst du für diesen Beweis nicht erstmal die Umkehrung des Stufenwinkelsatz beweisen...das haben wir ja noch nicht gemacht?!<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Möglichkeit, könnte das gehen?<br />
<br />
Vor.: aIIb<br />
<br />
Beh.: IαI = IβI<br />
<br />
1) aIIb_____________________________Vor.<br />
<br />
2) IαI+IάI=180_______________________1), Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel<br />
<br />
3) IάI=Iβ’I___________________________Stufenwinkelsatz<br />
<br />
4) IβI+Iβ’I=180_______________________1), Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel<br />
<br />
5) IαI+I β’I=180______________________2),3),4)<br />
<br />
6) IαI=IβI___________________________5)<br />
<br />
7) Behauptung stimmt</div>Apfelkern