http://geometrie.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=NicolaGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T07:50:59ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.21.2http://geometrie.zum.de/wiki/Geradenspiegelungen_als_Bewegungen_mit_genau_einer_Fixpunktgeraden_(2010)Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)2010-12-25T18:20:05Z<p>Nicola: /* Beweis von Lemma 4.1 */</p>
<hr />
<div>===Satz 4.1===<br />
:: Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.<br />
<br />
=== Beweis von Satz 4.1 ===<br />
====Beweis von [[Shaun15]]====<br />
Die folgende Beweisführung wurde von User [[Shaun15]] am 02.11. in morgentlicher Frühe geführt. Vielen Dank dafür. (Aus Gründen der Übersicht habe ich ein wenig umformatiert (nur ein paar Zeilenumbrüche) . --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:21, 2. Nov. 2010 (UTC))<br />
<br />
=====1.Existenz=====<br />
Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte.<br /> Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g.<br />
Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet.<br /><br />
Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`. <br />Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|.<br /><br />
Bleibt zz: P = P`.<br /><br />
Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. <br /> <br />
Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. <br /><br />
1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder <br /><br />
2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder <br /><br />
3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|.<br /><br />
Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue.<br /><br />
Daraus folgt. P = P`<br /><br />
Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)<br />
<br />
Ich glaube der Beweis wird ab dem Zeitpunkt hinfällig, wenn man annimmt, dass <math>P \in g</math> gilt. Dadurch gilt nach Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>), dass <math>\ P </math> = <math>\ P' </math> . --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:03, 2. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
=====2.Bei einer Spiegelung gibt es höchstens eine Fixpunktgerade=====<br />
Es seien zwei Geraden g und h mit A, B Є g und C, D Є h.<br /><br />
Im Folgenden betrachten wir die Spiegelung an g.<br /><br />
Es gibt drei Fälle:<br /><br />
1. g identisch h: g = h also ein und dieselbe und somit eine Fixpunktgerade.<br /><br />
2. g parallel zu h: nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. |CD| verschieden von |C`D`|. also ist h keine Fixpunktgerade. Bleibt nur g. Also auch hier nur eine Fixpunktgerade.<br /><br />
3. g ∩ h ={P}: P ist Fixpunkt auf g und auf h. (Bew.1.Existenz) Nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. Somit ist kein weiterer Punkt von h Fixpunkt. Also bleibt g wieder einzige Fixpunktgerade.<br /><br />
<br />
===Satz 4.2===<br />
:: Wenn eine Bewegung <math>\ \phi</math> genau eine Fixpunktgerade <math>\ g</math> hat, so ist sie eine Geradenspiegelung.<br />
<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:30, 4. Nov. 2010 (UTC):<br />
Der Beweis wird einfacher, wenn man ein Teiproblem auslagert und im Rahmen eines Hilfssatzes bearbeitet:<br />
====Lemma 4.1====<br />
::Wenn ein Bewegung <math>\ \phi</math>die beiden Fixpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> besitzt, dann ist die Gerade <math>\ AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\ \phi</math>.<br />
<br />
<br />
Frage: Wenn wir die Fixpunktgeradendefinition von Tja??? verwenden ("Eine Fixgerade f einer Abbildung φ, bei der (mindestens) zwei Punkt der Fixgeraden f bei der Abbildung φ auf sich selbst abgebildet werden, heißt Fixpunktgerade."), können wir uns das Lemma sparen, oder? -[[Benutzer:Steph85|Steph85]]<br />
<br />
====Beweis von Lemma 4.1====<br />
Es sei <math>\ \phi</math> eine Bewegung mit den beiden Fixpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math>.<br />
Ferner sei <math>\ P</math> ein weiterer von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils verschiedener Punkt der Geraden <math>\ AB</math>.<br />
<br />
<u>zu zeigen:</u> Der Punkt <math>\ P</math> wird durch <math>\ \phi</math> auf sich selbst abgebildet.<br />
<br />
Es können genau drei Fälle auftreten:<br />
# <math>\ Zw(A,P,B)</math><br />
# <math>\ Zw(P,A,B)</math><br />
# <math>\ Zw(A,B,P)</math><br />
Die Abstandserhaltung von <math>\ \phi</math> sowie die Sätze [[Bewegungen_(2010)#Satz_1.3:_.28Zwischenrelation_als_Invariante_von_Bewegungen.29|1.3]] und [[Bewegungen_(2010)#Satz_1.4:_.28Geradentreue.2C_Halgeradentreue.2C_Streckentreue.2C_Schnittpunkttreue_bei_Bewegungen.29|1.4]] helfen den Beweis zu führen.<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|+ Beweis<br /><br />
<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Nr.<br />
! Beschreibung des Schrittes<br />
! Begründung der Korrektheit des Schrittes<br />
|-<br />
| 1.<br />
| Es sei P Element der Geraden <math>\overline {AB}</math><br />
| Konstruktion<br />
|-<br />
| 2.<br />
| Es gilt entweder <br />
|# <math>\ Zw(A,P,B)</math> oder<br />
|# <math>\ Zw(P,A,B)</math> oder<br />
|# <math>\ Zw(A,B,P)</math><br />
| Umkehrung der Dreiecksgleichung<br />
|-<br />
| 3.<br />
| Also gilt <math>\|AP| + |PB| = |AB|</math> oder ANALOG<br />
| (2), Definition "zwischen"<br />
|-<br />
| 4.<br />
| <math>\|AP| = |A'P'|, |PB| = |P'B'|, |AB| = |A'B'|</math><br />
| (3), Definition Bewegung<br />
|-<br />
| 5.<br />
| Also gilt: P = P'<br />
| (4), Axiom vom Lineal<br />
|-<br />
| <br />
|}<br />
P wird also auf sich selbst abgebildet; und wenn (beispielhaft) bei der Bewegung jeder Punkt der Geraden wieder auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Gerade eine Fixpunktgerade bzgl. dieser Bewegung. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 18:20, 25. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Beweis von Satz 4.2===<br />
Es sei <math>\ \phi</math> eine Bewegung.<br />
==== Voraussetzung ====<br />
::<math>\ \phi</math> hat genau eine Fixpunktgerade. Es sei dieses die Gerade <math>\ g</math>.<br />
<br />
==== Behauptung ====<br />
::<math>\ \phi</math> ist eine Geradenspiegelung.<br />
==== Beweisführung ====<br />
Wir werden zeigen, dass <math>\ \phi</math> die Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
Entsprechend [[Geradenspiegelungen#Definition_2.1:_.28Spiegelung_an_der_Geraden_.29|Definition 2.1]] haben wir folgendes zu zeigen:<br />
<br />
# Jeder Punkt von <math>\ g</math> wird durch <math>\ \phi</math> auf sich selbst abgebildet: <math>\forall P \in g: \phi (P) =P</math><br />
# Für alle Punkte, die nicht zu <math>\ g</math> gehören, gilt: Die Gerade <math>\ g</math> ist die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math>.<br />
<br />
Der Beweis von 1. ergibt sich unmittelbar aus der Voraussetzung, dass <math>\ g</math> bezüglich <math>\ \phi</math> eine Fixpunktgerade ist.<br />
<br />
Es bleibt zu zeigen:<br /><br />
Für jeden Punkt <math>\ P</math> außerhalb der Geraden <math>\ g</math> gilt: (*) <math>\ g</math> ist die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math>.<br />
<br />
Es sei <math>\ P</math> ein beliebiger Punkt, der nicht auf der Geraden <math>\ g</math> liegt.<br />
<br />
Um (*) zu beweisen werden wir wie folgt vorgehen:<br />
<br />
# Wir zeigen, dass die Gerade <math>\ g</math> und die Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math> einen gemeinsamen Schnittpunkt <math>\ M</math> haben.<br />
# Wir zeigen, dass dieser Schnittpunkt <math>\ M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math> ist.<br />
# Wir zeigen, dass die Gerade <math>\ g</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ P \phi (P)</math> steht.<br />
[[Category:Elementargeometrie]]</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/Drehungen_2010Drehungen 20102010-11-11T12:35:30Z<p>Nicola: /* Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal */</p>
<hr />
<div>== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==<br />
<br />
<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
== Konstruktionsbeschreibung ==<br />
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.<br />
<br />
Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:<br />
<br />
Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann <math> \ P \equiv P'</math><br />
<br />
<br />
Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann <br />
<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math><br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Schrittnr.<br />
! Konstruktionsschritt<br />
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes<br />
|-<br />
<br />
| (I)<br />
| Konstruktion des Strahls <math>ZQ+</math> an den Strahl <math>ZP+</math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für <PZP’erhalten bleibt.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
| (II)<br />
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>ZQ+</math> an Z ab und nenne den Punkt P’ab.<br />
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
|-<br />
| (III)<br />
| ...<br />
| ...<br />
|}<br />
<br />
==Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal==<br />
<br />
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k<sub>1</sub> um Z, der durch P geht.<br /><br />
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S.<br /><br />
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q.<br /><br />
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne,<br /><br />
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k<sub>2</sub> um Z.<br /><br />
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k<sub>1</sub> und k<sub>2</sub> benennen wir mit S<sub>1</sub> und S<sub>2</sub>.<br /><br />
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein.<br /><br />
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP<sup>+</sup> und ZS<sub>2</sub><sup>+</sup>.<br /><br />
9) S<sub>2</sub> ist P', der Bildpunkt von P.<br /><br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==<br />
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====<br />
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:<br />
# ...<br />
# ...<br />
==== Definition verstanden?====<br />
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" 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<br />
<br /><br /><br />
<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}<br />
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.<br />
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math><br />
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, R, W, B_1</math> liegen.<br />
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.<br />
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.<br />
+ (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.<br />
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z<br />
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math><br />
</quiz></div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/Drehungen_2010Drehungen 20102010-11-11T12:34:15Z<p>Nicola: /* Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal */</p>
<hr />
<div>== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==<br />
<br />
<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
== Konstruktionsbeschreibung ==<br />
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.<br />
<br />
Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:<br />
<br />
Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann <math> \ P \equiv P'</math><br />
<br />
<br />
Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann <br />
<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math><br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Schrittnr.<br />
! Konstruktionsschritt<br />
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes<br />
|-<br />
<br />
| (I)<br />
| Konstruktion des Strahls <math>ZQ+</math> an den Strahl <math>ZP+</math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für <PZP’erhalten bleibt.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
| (II)<br />
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>ZQ+</math> an Z ab und nenne den Punkt P’ab.<br />
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
|-<br />
| (III)<br />
| ...<br />
| ...<br />
|}<br />
<br />
==Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal==<br />
<br />
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k<sub>1</sub> um Z, der durch P geht.<br /><br />
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S.<br /><br />
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q.<br /><br />
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne,<br /><br />
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k<sub>2</sub> um Z.<br /><br />
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k<sub>1</sub> und k<sub>2</sub> benennen wir mit S<sub>1</sub> und S<sub>2</sub>.<br /><br />
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein.<br /><br />
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP<sup>+</sup> und ZS<sub>2</sub><sup>+</sup>.<br /><br />
9) S<sub>2</sub> ist P', der Bildpunkt von P.<br /><br />
<br />
== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==<br />
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====<br />
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:<br />
# ...<br />
# ...<br />
==== Definition verstanden?====<br />
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" 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<br />
<br /><br /><br />
<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}<br />
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.<br />
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math><br />
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, R, W, B_1</math> liegen.<br />
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.<br />
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.<br />
+ (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.<br />
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z<br />
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math><br />
</quiz></div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/Sehnenvierecke_und_der_Satz_%C3%BCber_die_gegen%C3%BCberliegenden_Winkel_im_SehnenviereckSehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck2010-07-25T19:22:49Z<p>Nicola: /* Begriff des Sehnenvierecks */</p>
<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XV.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehen des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>.<br />
wenn die Endpunkte der Strecke <math>\ \overline{AB}</math> auf dem Kreis liegen.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt zur Teilmenge hat.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XV.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
:: Der Radius ist die Strecke <math>\ \overline{MP}</math>, wenn M Mittelpunkt des Kreises k ist und P ein beliebiger Punkt von k. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XV.4: (Sehenenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Eckpunkte auf demselben Kreis k liegen.<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen desselben Kreises k sind.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" 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<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XV.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehen des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>.<br />
wenn die Endpunkte der Strecke <math>\ \overline{AB}</math> auf dem Kreis liegen.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt zur Teilmenge hat.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XV.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
:: Der Radius ist die Strecke <math>\ \overline{MP}</math>, wenn M Mittelpunkt des Kreises k ist und P ein beliebiger Punkt von k. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XV.4: (Sehenenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Eckpunkte auf demselben Kreis k liegen.<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen desselben Kreises k sind.<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_13.2Lösung von Aufgabe 13.22010-07-21T12:14:09Z<p>Nicola: /* Versuch 1 */</p>
<hr />
<div>===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====<br />
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. <br />Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.<br />
<br />
<br />
== Versuch 1 ==<br />
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math><br /><br />
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math><br />
<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> <br />
| (Euklidisches Parallelenaxiom)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel<br />
| (I), (Def. Stufenwinkel)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel<br />
| (I), (Def. Stufenwinkel)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel<br />
| (I), (Def. Scheitelwinkel)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math> <br />
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math> <br />
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math> <br />
| (VII), (V), (VI)<br />
|}<br />
-> Beh. wahr qed <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?<br />
<br />
<br />Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.<br />
<br />Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?<br />
<br />
<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur <u>eine</u> Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?<br />
<br />
Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_12.6Lösung von Aufgabe 12.62010-07-14T15:49:56Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<br />
== Versuch 1 ==<br />
VSS: Punkt <math> P </math>, Gerade <math> g </math>, <math>P \not \in g </math><br /><br />
Beh: Gerade <math> h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g </math> <math> \| </math> <math> h </math> <br />
<br />
<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> \exist Q: Q \in g </math>, <math> \exist R: R \in g </math> <br />
| (Axiom I.0)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Gerade PQ<br />
| (Axiom I.1)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>P </math> an Gerade <math>PQ </math> in der Halbebene <math>{PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>{PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>|\alpha{'}|</math> = <math>| \alpha| </math><br />
| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\alpha{'}</math> , <math> \alpha </math> sind Stufenwinkel<br />
| (III), (Def. Stufenwinkel)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>PS </math> = <math> h </math> <br />
| (Axiom I.1)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>g </math> <math> \| </math> <math> h </math> <br />
| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)<br />
|}<br />
<br />
--> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:<br />
<br />
Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.<br />
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:<br />
1.Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung<br />
2.Fall: schneidet h<br />
3.Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei<br />
Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.<br />
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.<br />
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.<br />
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_11.1Lösung von Aufgabe 11.12010-07-04T18:16:47Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Ein Dreieck mit zwei zu einander kongruenten Seiten heißt gleichschenklig. Die beiden zu einander kongruenten Seiten heißen Schenkel des g.s. Dreiecks. Die weitere dritte Seite heißt Basis. Ein Winkel heisst Basiswinkel wenn er aus einem Schenkel und der Basis gebildet wird.<br />
<br />
Es grüßt<br />
<br />
Euer Ulf<br />
<br />
Zweiter Versuch:<br />
Es sei ABC ein Dreieck. Die Strecken AB und BC sind kongruent zueinander und heißen Schenkel des Dreiecks ABC. Die ihnen gegenüberliegende Strecke AB heißt Basis. Die Winkel, die jeweils von der Basis und einer der Schenkel eingeschlossen sind, nennt man Basiswinkel. Wenn die Basiswinkel kongruent sind, dann sind die Schenkel auch kongruent. Wenn die Schenkel kongruent sind, dann ist das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck.<br />
<br />
<br />
Zum Dritten:<br />
Wenn ABC gleichschenklig ist, dann sind die Strecken AC und BC gleich lang. Die dritte Seite AB ist die Basis, die angrenzenden Winkel an diese Basiswinkel. Die Basiswinkel sind kongruent.--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 18:16, 4. Jul. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/Datei:Nicola_Mathe_skizze.odtDatei:Nicola Mathe skizze.odt2010-06-24T18:09:00Z<p>Nicola: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = ~~~
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Bild-frei}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = selbst erstellt<br />
|Urheber = [[Benutzer:Nicola|Nicola]]<br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-frei}}</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/%C3%9Cbung_8Übung 82010-06-24T17:57:04Z<p>Nicola: /* Aufgabe 8.8 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 8.1 ==<br />
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> eingeteilt wird. Ferner sei <math>\ R</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ gQ^-</math>, der nicht auf der Trägergeraden <math>\ g</math> liegen möge.<br />
Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math><br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 8.1]]<br />
<br />
== Aufgabe 8.2 ==<br />
In der Vorlesung haben wir die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen gezeigt. Verdeutlichen Sie den Zusammenhang zur Klasseneinteilung der Ebene. <br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 8.2]]<br />
<br />
== Aufgabe 8.3 ==<br />
Entwerfen Sie jeweils ein Arbeitsblatt zur induktiven Erarbeitung der Begriffe Nebenwinkel und Scheitelwinkel mit Schülern der SI.<br />
Definieren Sie die Begriffe Nebenwinkel und Scheitelwinkel dann schülergerechter als im Skript.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 8.3]]<br />
<br />
== Aufgabe 8.4 ==<br />
Definieren Sie den Begriff des Dreiecks, den Begriff des Innenwinkel eines Dreiecks und den Begriff des Inneren eines Dreiecks.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 8.4]]<br />
<br />
== Aufgabe 8.5 ==<br />
Definieren Sie: gleichschenkliges Dreieck, Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks, Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, Basiswinkel eines gleicvhschenkligen Dreiecks.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 8.5]]<br />
<br />
== Aufgabe 8.6 ==<br />
Definieren Sie die Begriffe Stufenwinkel und Wechselwinkel (an geschnittenen Geraden).<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 8.6]]<br />
<br />
== Aufgabe 8.7 ==<br />
Beweisen Sie: Das Innere eines beliebigen Dreiecks ist konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 8.7]]<br />
<br />
== Aufgabe 8.8 ==<br />
Zum Beweis des folgenden Satzes reichen unsere bisherigen Axiome und Sätze noch nicht aus. Beweisen Sie den Satz deshalb mit den geometrischen Kenntnissen, die Sie während Ihrer Schulzeit erworben haben.<br />
<br />
Satz: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck. Die Punkte <math>\ M_c, M_a, M_b</math> seien die Mittelpunkte der Seiten von <math>\overline{ABC}</math>. Das Dreieck <math>\overline{M_c M_a M_b}</math> ist gleichseitig.<br />
<br />
[[Lösung zu 8.8]]</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_8.7Lösung von Aufgabe 8.72010-06-24T17:32:20Z<p>Nicola: Die Seite wurde neu angelegt: Mal wieder formlos: 1) Das Innere eines Dreiecks ist der Durchschnitt dreier Halbebenen aA<sup>+</sup>, bB<sup>+</sup> und cC<sup>+</sup> nach Principella 2) nach Sa...</p>
<hr />
<div><br />
Mal wieder formlos:<br />
<br />
1) Das Innere eines Dreiecks ist der Durchschnitt dreier Halbebenen aA<sup>+</sup>, bB<sup>+</sup> und cC<sup>+</sup> <br />
nach Principella<br />
2) nach Satz IV.2: Halbebenen sind konvexe Punktmengen und<br />
3) nach Satz IV.3: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex<br />
also ist das Innere eines Dreiecks konvex.<br />
<br />
Falls das ausreicht, wie muss ich das jetzt schreiben?<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 17:32, 24. Jun. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_8.6Lösung von Aufgabe 8.62010-06-24T17:19:10Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Definieren Sie die Begriffe Stufenwinkel und Wechselwinkel (an geschnittenen Geraden). <br />
<br />
Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. <br /> Werden g und h von einer weiteren Geraden i geschnitten, so heißen zwei innere oder zwei äußere Winkel auf verschiedenen Seiten der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind, Wechselwinkel. <br /> Stufenwinkel heißen ein innerer und ein äußerer Winkel auf der selben Seite der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind. <br /> --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:36, 19. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
Noch ein Vorschlag für Stufenwinkel:<br />
Würde man g auf h abbilden, so sind die Winkel Stufenwinkel, die auf diese Weise aufeinander liegen würden.--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 17:19, 24. Jun. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_6.7Lösung von Aufgabe 6.72010-06-08T09:39:08Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Definieren Sie, was man unter einem Kreis <math>\ k</math> mit dem Mittelpunkt <math>\ M</math> versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)<br />
<br />
Ein Kreis sei die Menge aller Punkte P<sub>i</sub>, die den gleichen Abstand zu Punkt M haben. Diesen Punkt M nennen wir ''Mittelpunkt des Kreises''.<br />
<br />Vorraussetzung: Alle Punkte P<sub>i</sub> und der Punkt M liegen in der selben Ebene <math>\Epsilon</math>.<br />
<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]<br />
<br />
Der Kreis k beschreibt die Menge aller Punkte in einer Ebene E, die denselben Abstand vom Punkt M (oder Mittelpunkt) haben. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 09:39, 8. Jun. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/Wichtige_Begriffe_der_Geometrie_-_GlossarWichtige Begriffe der Geometrie - Glossar2010-06-06T14:05:31Z<p>Nicola: /* Satz II.4 */</p>
<hr />
<div>Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung)entstehen. Bitte ergänzen Sie!<br />
<br />
<br />
== Grundbegriffe ==<br />
<br />
<br />
<br />
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich<br />
* identitiv - antisymmetrisch, gleich<br />(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung<br />(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält<br />
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst<br />
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen<br />(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste<br />Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch<br />auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
"bitte überprüft das mal jemand ;-)"<br />
<br />
== Axiome ==<br />
<br />
* Inzidenzaxiome:<br />
=====AXIOM I/0=====<br />
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.<br />
=====AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)=====<br />
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.<br />
=====AXIOM I/2=====<br />
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.<br />
=====AXIOM I/3=====<br />
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.<br />
=====Axiom I/4=====<br />
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.<br />
=====Axiom I/5=====<br />
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.<br />
=====Axiom I/6=====<br />
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.<br />
=====Axiom I/7=====<br />
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.<br />
<br />
* Abstandsaxiome:<br />
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====<br />
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.<br />
===== Axiom II.2: =====<br />
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.<br />
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====<br />
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math><br />
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====<br />
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.<br />
<br />
== Definitionen ==<br />
=====Definition I/2: (kollinear)=====<br />
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.<br />
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''<br />
=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====<br />
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.<br />
=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====<br />
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.<br />
=====Definition I/5: (Raum)=====<br />
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
=====Definition I/6: (komplanar)=====<br />
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)<br />
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====<br />
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.<br />
:Schreibweise: komp(g, h)<br />
=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====<br />
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.<br />
:In Zeichen: ''g''||''h''.<br />
=====Definition I/9: (windschief )=====<br />
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.<br />
=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====<br />
:Zwei Ebene ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
===== Definition II.1: (Abstand) =====<br />
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
===== Definition II.1: (Zwischenrelation) =====<br />
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====<br />
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====<br />
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====<br />
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]<br />
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]<br />
===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====<br />
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
<br />
== Sätze ==<br />
=====Satz I.1=====<br />
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====<br />
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.<br />
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.<br />
===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====<br />
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.<br />
=====Satz I.5:=====<br />
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.<br />
=====Satz I.6:=====<br />
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
=====Satz I.7:=====<br />
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.<br />
===== Satz II.1 =====<br />
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.<br />
===== Satz II.2: =====<br />
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.<br />
===== Satz II.3 =====<br />
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.<br />
===== Satz II.4 =====<br />
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. <br /> Die Teilmengen <math> \ OA^+ \set minus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.<br />
<br />
===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====<br />
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/Wichtige_Begriffe_der_Geometrie_-_GlossarWichtige Begriffe der Geometrie - Glossar2010-06-06T14:05:12Z<p>Nicola: /* Satz II.4 */</p>
<hr />
<div>Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung)entstehen. Bitte ergänzen Sie!<br />
<br />
<br />
== Grundbegriffe ==<br />
<br />
<br />
<br />
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich<br />
* identitiv - antisymmetrisch, gleich<br />(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung<br />(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält<br />
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst<br />
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen<br />(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste<br />Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch<br />auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
"bitte überprüft das mal jemand ;-)"<br />
<br />
== Axiome ==<br />
<br />
* Inzidenzaxiome:<br />
=====AXIOM I/0=====<br />
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.<br />
=====AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)=====<br />
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.<br />
=====AXIOM I/2=====<br />
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.<br />
=====AXIOM I/3=====<br />
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.<br />
=====Axiom I/4=====<br />
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.<br />
=====Axiom I/5=====<br />
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.<br />
=====Axiom I/6=====<br />
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.<br />
=====Axiom I/7=====<br />
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.<br />
<br />
* Abstandsaxiome:<br />
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====<br />
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.<br />
===== Axiom II.2: =====<br />
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.<br />
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====<br />
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math><br />
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====<br />
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.<br />
<br />
== Definitionen ==<br />
=====Definition I/2: (kollinear)=====<br />
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.<br />
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''<br />
=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====<br />
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.<br />
=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====<br />
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.<br />
=====Definition I/5: (Raum)=====<br />
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
=====Definition I/6: (komplanar)=====<br />
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)<br />
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====<br />
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.<br />
:Schreibweise: komp(g, h)<br />
=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====<br />
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.<br />
:In Zeichen: ''g''||''h''.<br />
=====Definition I/9: (windschief )=====<br />
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.<br />
=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====<br />
:Zwei Ebene ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
===== Definition II.1: (Abstand) =====<br />
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
===== Definition II.1: (Zwischenrelation) =====<br />
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====<br />
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====<br />
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====<br />
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]<br />
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]<br />
===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====<br />
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
<br />
== Sätze ==<br />
=====Satz I.1=====<br />
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====<br />
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.<br />
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.<br />
===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====<br />
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.<br />
=====Satz I.5:=====<br />
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.<br />
=====Satz I.6:=====<br />
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
=====Satz I.7:=====<br />
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.<br />
===== Satz II.1 =====<br />
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.<br />
===== Satz II.2: =====<br />
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.<br />
===== Satz II.3 =====<br />
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.<br />
===== Satz II.4 =====<br />
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \set minus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.<br />
<br />
===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====<br />
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.8Lösung von Aufgabe 7.82010-06-06T13:52:40Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
Das Dreieck ABC ist die Summer der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{CA}</math>.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.10Lösung von Aufgabe 7.102010-06-06T13:52:06Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.<br />
<br />
<br />
<br />
A--M--B<br />
<br />
Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{MB}</math><br />
<br />
zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.<br />
<br />
M = Mittelpunkt, da<br />
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)<br />
<br />
<math>\overline{AM}</math> ist eindeutig für <math>\overline{AB}</math> definiert<br />
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)<br />
<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.6Lösung von Aufgabe 7.62010-06-06T13:51:36Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 7.5.<br />
<br />
Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die Punktmengen ebenfalls nicht konvex.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:51, 6. Jun. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.8Lösung von Aufgabe 7.82010-06-06T13:50:05Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
Das Dreieck ABC ist die Summer der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{CA}</math>.</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.9Lösung von Aufgabe 7.92010-06-06T13:48:48Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
<math>\overline{AB}</math> = g<br />
<br />
gC <math> \ OA^+ \ </math> := {P| Punkt, der links von g liegt}<br />
<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:48, 6. Jun. 2010 (UTC)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.10Lösung von Aufgabe 7.102010-06-06T13:41:24Z<p>Nicola: table+</p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.<br />
<br />
<br />
<br />
A--M--B<br />
<br />
Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{MB}</math><br />
<br />
zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.<br />
<br />
M = Mittelpunkt, da<br />
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)<br />
<br />
<math>\overline{AM}</math> ist eindeutig für <math>\overline{AB}</math> definiert<br />
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_6.4Lösung von Aufgabe 6.42010-06-03T18:31:26Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
<br />
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.<br />
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E<br />
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.<br />
<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| Beweisschritt || Begründung<br />
|-<br />
| (1) komp (A,B,C) <br /> (2) A nicht identisch B<br />
B nicht identisch C<br />
C nicht identlich A || 1)nach Definition I/6 <br /> 2)nach Satz I/7 <br />
|- <br />
|}<br />
<br />
<br />
=> A, B, C sind paarweise verschieden<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Kommt uns ein wenig zu kurz vor.<br />
von Maude001 und Nicola</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_6.4Lösung von Aufgabe 6.42010-06-03T18:27:08Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
<br />
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.<br />
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E<br />
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.<br />
<br />
Beweis: <br />
<br />
(1) komp (A,B,C) nach Definition I/6<br />
<br />
<br />
<br />
(2) A nicht identisch B<br />
B nicht identisch C<br />
C nicht identlich A nach Satz I/7<br />
=> A, B, C sind paarweise verschieden<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Kommt uns ein wenig zu kurz vor.<br />
von Maude001 und Nicola</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_6.4Lösung von Aufgabe 6.42010-06-03T18:25:13Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
<br />
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.<br />
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E<br />
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.<br />
<br />
Beweis: Begründung:<br />
<br />
(1) komp (A,B,C) Definition I/6<br />
(2) A nicht identisch B<br />
B nicht identisch C<br />
C nicht identlich A Satz I/7<br />
=> A, B, C sind paarweise verschieden<br />
<br />
Kommt uns ein wenig zu kurz vor.<br />
von Maude001 und Nicola</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Inzidenz_im_RaumDiskussion:Inzidenz im Raum2010-05-21T20:32:07Z<p>Nicola: Die Seite wurde neu angelegt: Fehlt Satz I/7 nicht, dass die drei Punkte komplanar sind?</p>
<hr />
<div>Fehlt Satz I/7 nicht, dass die drei Punkte komplanar sind?</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5Lösung von Aufgabe 52010-05-16T18:19:49Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Axiom I/1 sagte aus, dass es zu je zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, zu der die beiden Punkte gehören. Für die räumliche Geometrie gibt es ein analoges Axiom. Wir wollen es mit Axiom I/4 bezeichnen. Formulieren Sie dieses Axiom I/4.<br />
<br />
Lösung:<br />
<br />
Zu je drei verschiedenen Punkten, die nicht identisch sind, gibt es genau eine Ebene, auf der die drei Punkte liegen.</div>Nicolahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_3Lösung von Aufgabe 32010-05-16T18:17:18Z<p>Nicola: </p>
<hr />
<div>Die Eigenschaft der Komplanarität ist das räumliche Analogon zur Kollinearität in der Ebene. Formulieren Sie eine Definition der Relation „komplanar“.<br />
<br />
Lösung:<br />
<br />
Wenn drei Punkte in derselben Ebene liegen, dann sind sie komplanar.</div>Nicola