http://geometrie.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=PrincipellaGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T07:33:13ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.21.2http://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Definitionen_von_StudentenDiskussion:Definitionen von Studenten2010-07-29T21:20:15Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>HILFE: Wer kann uns sagen wie ein Kreis im Raum definiert wird bzw. gibt es einen Unterschied zwischen der Definition des Kreises im Raum und der Definition einer Kugel--[[Benutzer:Summer|Summer]] 13:28, 29. Jul. 2010 (UTC)?<br />
<br />
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_6.7 <br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:20, 29. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Der_Zentriwinkel-PeripheriewinkelsatzDer Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz2010-07-28T23:58:34Z<p>Principella: /* Beweis */</p>
<hr />
<div>== Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
===Definition (Zentriwinkel, Mittelpunktswinkel)===<br />
Ist M der Mittelpunkt des Kreises k, so bezeichnet man einen Winkel <math> \angle AMB </math> als den zughörigen Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel).<br />
<br />
=== Definition (Peripheriewinkel) ===<br />
Sei k ein Kreis und alpha ein Winkel. Alpha ist Peripheriewinkel von k, wenn sein Scheitelpunkt auf dem Kreis k liegt und seine beiden Schenkeln den Kreis k in jeweils einem weiteren Punkt schneiden.<br />
<br />
=== Satz:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) === <br />
(abgeändert) Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß, wie sein zugehöriger Zentriwinkel.<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:59, 23. Jul. 2010 (UTC): Vorsicht mit den Artikeln: Wie viele Zentriwinkel sind einem Peripheriewinkel zugehörig? In der Definition war es korrekt.<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
<br />Ich hab mir Gedanken zu den Fallunterscheidungen gemacht, komme aber irgendwie nicht weiter. Ich stelle meine Notizen mal hier ein, kann mir jemand weiter helfen?<br />
<br />
[[Bild:Teil_1.jpg]]<br />
<br /><br />[[Bild:Teil_2.jpg]]<br />
<br />
--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 13:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />Jaaaaaaaaa :-) Ich glaube, ich hatte gerade DIE Eingebung, zumindest bezüglich der Fallunterscheidungen ;-).<br />Und zwar:<br />
Laut dem Peripheriewinkelsatz sind alle Peripheriewinkel eines Kreises über einer Sehne gleich groß. Ich kann also sagen, dass ich den Scheitelpunkt des Peripheriewinkels so wähle, dass er auf der Mittelsenkrechten der Sehne liegt. Damit würden zumindest die Fälle 2 und 5 wegfallen.<br />Hm, naja, ob es allerdings viel hilft? Denn schließlich wären ja gerade Fall 3 und 4 die "unmöglichen Beweise"... Egal, Hauptsache Eingebung :-)<br />--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 12:45, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Überlegung--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Könnte ich nicht Fall 1 so umändern, dass Fall 5 daraus wird: Wegen dem Satz "Peripheriewinkel über ein und derselben Sehne sind kongruent zueinander". Dann könnte man wie bei Fall 5 weiter argumentieren und man hätte auch schon Fall 2 drin.<br />
# Fall 3 und 4 sind nicht beweisbar, wegen unserem Winkelmaß zwischen 0 und 180.<br />
# zu Fall 2: könnte man nicht hier auch wieder eine Strecke <math> \overline {CM} </math> konstruieren, wodurch wieder eine ähnliche Beweisführung wie bei Fall 1 eintritt?<br /><br />
Mal so ne blöde Frage zwischendurch: Haben wir schon bewiesen, dass der Radius immer gleich groß bleibt!?<br />
<br />
Ich glaub wir haben den Radius schon indirekt durch unsere Definition des Kreises festgelegt. Es kann keinen Punkt eines Kreises k geben der einen anderen Abstand zum Mittelpunkt von k hat als der Rest der Punkte von k (nach Def. Kreis), denn sonst wäre es kein Kreis mehr...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:40, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
OK, ich bin soweit durch mit meinem Beweis - fängt an mit Basiswinkelsätzen, dem starken Außenwinkelsatz und dem Winkeladditionsaxiom zum Schluss...<br />
Aber wie kann man jetzt zahlenmäßig beweisen, dass der Zentriewinkel doppelt so groß ist, wie der zugehörige Peripheriewinkel!??--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:41, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich gehe mal davon aus, dass du gezeigt hast, dass <math> \gamma </math> und sein Basiswinkel, ich nenne ihn mal <math> \gamma'</math> kongruent sind. Dann weiß du nach dem starken Außenwinkelsatz dass <math> \delta = \gamma + \gamma' </math> gilt. Da jetzt <math> \gamma'\cong \gamma</math> gilt, folgt <math> \delta = 2 \gamma </math>.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Alles klar, bin etwas durcheinandergekommen, weil ich die Winkelbezeichnungen, <ABM z.B. benutze und nicht alpha und beta... Kann ich dann einfach bei der Klausur die Winkel in meiner Skizze benennen und mich dann auf die Skizze berufen oder ab wann sollte man sich für alpha und beta bzw. <AMP und so weiter entscheiden!?<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 07:57, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Gestern hat Herr Schnirch bestätigt, dass man sich auf eine Skizze beziehen kann. Und dann würde ich auch mit alpha, beta weiterarbeiten. Zum einen weniger zum schreiben und zum anderen einfach übersichtlicher/leichter nachvollziehbar. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:31, 28. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Beweisidee zu Fall 2 (Skizze):<br />
<br />
Du benennst den Schnittpkt von den Strecken MB und AC, sagen wir P ist der Schnittpkt.<br />
<br />
Der Winkel APB ist Außenwinkel von den Dreiecken APM und PBC. Mit dem starken Außenwinkelsatz bekommst du 2 Gleichungen für den Winkel APB, die du gleichsetzen kannst...<br />
<br />
Tipp: Du brauchst die kongruenten Winkel des gleichschenkligen Dreiecks AMC<br />
<br />
Sorry wegen meinem Schreibstil :)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 23:58, 28. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Auftrag_der_Woche,_Quiz_der_Woche,_%C3%9Cbungsaufgaben_etc.Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.2010-07-28T21:29:56Z<p>Principella: /* Woche 8 */</p>
<hr />
<div>== Wöchentlich ==<br />
=== Woche 1===<br />
19.04.10 bis 25.04.10<br />
* [[Auftrag der Woche 1]]<br />
=== Woche 2===<br />
26.04.10 bis 02.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 2]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Übung)]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Tutorium)]]<br />
*[[Quiz der Woche 2]]<br />
=== Woche 3===<br />
03.05.10 bis 09.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 3]]<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10.pdf|Übung_3}}<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_3}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_3.pdf|Aufgaben_Tutorium_3}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_3.pdf|Lösungen_Tutorium_3}}<br />
<br />
=== Woche 4===<br />
10.05.10 bis 16.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 4]]<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10.pdf|Übung_4}}<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_4}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_4.pdf|Aufgaben_Tutorium_4}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_4.pdf|Lösungen_Tutorium_4}}<br />
<br />
=== Woche 5===<br />
17.05.10 bis 01.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 5]]<br />
* {{pdf|Übungen_5_SoSe10.pdf|Übung_5a (für die Übungen am Di. 18.05.10)}}<br />
* {{pdf|Übungen_5_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung5a}}<br />
* [[Übung_5]] (für die Übungen am Fr. 21.05. und Di. 01.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_5.pdf|Aufgaben_Tutorium_5}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_5.pdf|Lösungen_Tutorium_5}}<br />
* [[Quiz der Woche 5]]<br />
<br />
Bei Ü5a muss in bei der ersten Aufgabe bei a und b noch ergänzt werden:<br />
"oder keine von beiden".<br />
<br />
=== Woche 6===<br />
31.05.10 bis 08.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 6]]<br />
* [[Übung_6]] (für die Übungen am Fr. 04.06. und Di. 08.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_6.pdf|Aufgaben_Tutorium_6}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_6.pdf|Lösungen_Tutorium_6}}<br />
* [[Quiz der Woche 6]]<br />
* {{pdf|Lösungen_Übung_6.pdf|Lösungen zur Übungsserie 6 im pdf-Format}}--[[Benutzer:Bino37|Bino37]] 11:12, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Woche 7===<br />
07.06.10 bis 15.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 7]]<br />
* [[Übung_7]] (für die Übungen am Fr. 11.06. und Di. 15.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_7.pdf|Aufgaben_Tutorium_7}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_7.pdf|Lösungen_Tutorium_7}}<br />
* [[Quiz der Woche 7]]<br />
<br />
=== Woche 8===<br />
14.06.10 bis 22.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 8]]<br />
* [[Übung_8]] (für die Übungen am Fr. 18.06. und Di. 22.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_8.pdf|Aufgaben_Tutorium_8}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_8.pdf|Lösungen_Tutorium_8}}<br />
Lösung von Tutoriumsaufgabe 8.1. ist falsch! (Siehe Schritt 2)<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:42, 3. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Warum?<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 13:39, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Weil wir abwechselnd von der offenen und der geschlossenen Halbebene sprechen und die Definition der einen mit der anderen begründen, das dürfen wir selbstverständlich nicht!!!<br />
<br />
Herr Schnirch hat den Beweis geführt indem er erst die Konvexität der offenen Halbebene bewiesen hat und das eine Gerade konvex ist einfach "trivial". <br />
Dann hat er gesagt dass die Vereinigungsmenge dieser Punktmengen (also der offenen HE und der Trägergeraden) auch konvex ist mit Begründung = "Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist auch konvex" (habe ich auf jeden Fall so verstanden und ich würde mich auch über eine Berichtichtigung freuen!!!).<br />
Unserer Vorstellung nach stimmt es in diesem Fall, aber die Begründung ist absoluter Quatsch weil die Vereinigungsmenge etwas ganz anderes als die Schnittmenge ist und es gibt unzählige Beispiel bei denen die Vereinigungsmenge zweier konvexer Punktmengen nicht konvex ist!!!!!!!!!<br />
D.h. diese Beweisführung zeigt uns nur das die offene HE konvex ist und ich habe bis jetzt auch keinen Beweis gefunden der die Konvexität der geschlossenen HE zeigt. Brauchen wir aber wahrscheinlich auch nicht so dringend...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:24, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* [[Quiz der Woche 8]]<br />
<br />
=== Woche 9===<br />
21.06.10 bis 29.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 9]]<br />
* [[Probeklausur]] (für die Übungen am Fr. 25.06. und Di. 29.06.10) (Wir werden an diesen Terminen in der Übung jeweils eine Probeklausur schreiben und diese anschließend besprechen!)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_9.pdf|Aufgaben_Tutorium_9}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_9.pdf|Lösungen_Tutorium_9}}<br />
* [[Quiz der Woche 9]]<br />
<br />
=== Woche 10===<br />
28.06.10 bis 06.07.10<br />
<br />
* [[Übung_10]] (für die Übungen am Fr. 02.07. und Di. 06.07.10) <br />
* [[Aufgaben_Tutorium_10]]<br />
* [[Quiz der Woche 10]]<br />
<br />
=== Woche 11===<br />
05.07.10 bis 13.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 11]]<br />
* [[Übung_11]] (für die Übungen am Fr. 09.07. und Di. 13.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_11.pdf|Aufgaben_Tutorium_11}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_11.pdf|Lösungen_Tutorium_11}}<br />
* [[Quiz der Woche 11]]<br />
<br />
=== Woche 12===<br />
12.07.10 bis 20.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 12]]<br />
* [[Übung_12]] (für die Übungen am Fr. 16.07. und Di. 20.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_12.pdf|Aufgaben_Tutorium_12}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_12.pdf|Lösungen_Tutorium_12}}<br />
* [[Quiz der Woche 12]]<br />
<br />
=== Woche 13===<br />
19.07.10 bis 27.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 13]]<br />
* [[Übung_13]] (für die Übungen am Fr. 23.07. und Di. 27.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_13.pdf|Aufgaben_Tutorium_13}}<br />
* [[Quiz der Woche 13]]<br />
<br />
=== Woche 14===<br />
26.07.10 bis 30.07.10<br />
* [[Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur]]<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_14.pdf|Aufgaben_Tutorium_14}}</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Auftrag_der_Woche,_Quiz_der_Woche,_%C3%9Cbungsaufgaben_etc.Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.2010-07-28T21:28:58Z<p>Principella: /* Woche 8 */</p>
<hr />
<div>== Wöchentlich ==<br />
=== Woche 1===<br />
19.04.10 bis 25.04.10<br />
* [[Auftrag der Woche 1]]<br />
=== Woche 2===<br />
26.04.10 bis 02.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 2]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Übung)]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Tutorium)]]<br />
*[[Quiz der Woche 2]]<br />
=== Woche 3===<br />
03.05.10 bis 09.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 3]]<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10.pdf|Übung_3}}<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_3}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_3.pdf|Aufgaben_Tutorium_3}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_3.pdf|Lösungen_Tutorium_3}}<br />
<br />
=== Woche 4===<br />
10.05.10 bis 16.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 4]]<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10.pdf|Übung_4}}<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_4}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_4.pdf|Aufgaben_Tutorium_4}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_4.pdf|Lösungen_Tutorium_4}}<br />
<br />
=== Woche 5===<br />
17.05.10 bis 01.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 5]]<br />
* {{pdf|Übungen_5_SoSe10.pdf|Übung_5a (für die Übungen am Di. 18.05.10)}}<br />
* {{pdf|Übungen_5_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung5a}}<br />
* [[Übung_5]] (für die Übungen am Fr. 21.05. und Di. 01.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_5.pdf|Aufgaben_Tutorium_5}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_5.pdf|Lösungen_Tutorium_5}}<br />
* [[Quiz der Woche 5]]<br />
<br />
Bei Ü5a muss in bei der ersten Aufgabe bei a und b noch ergänzt werden:<br />
"oder keine von beiden".<br />
<br />
=== Woche 6===<br />
31.05.10 bis 08.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 6]]<br />
* [[Übung_6]] (für die Übungen am Fr. 04.06. und Di. 08.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_6.pdf|Aufgaben_Tutorium_6}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_6.pdf|Lösungen_Tutorium_6}}<br />
* [[Quiz der Woche 6]]<br />
* {{pdf|Lösungen_Übung_6.pdf|Lösungen zur Übungsserie 6 im pdf-Format}}--[[Benutzer:Bino37|Bino37]] 11:12, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Woche 7===<br />
07.06.10 bis 15.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 7]]<br />
* [[Übung_7]] (für die Übungen am Fr. 11.06. und Di. 15.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_7.pdf|Aufgaben_Tutorium_7}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_7.pdf|Lösungen_Tutorium_7}}<br />
* [[Quiz der Woche 7]]<br />
<br />
=== Woche 8===<br />
14.06.10 bis 22.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 8]]<br />
* [[Übung_8]] (für die Übungen am Fr. 18.06. und Di. 22.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_8.pdf|Aufgaben_Tutorium_8}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_8.pdf|Lösungen_Tutorium_8}}<br />
Lösung von Tutoriumsaufgabe 8.1. ist falsch! (Siehe Schritt 2)<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:42, 3. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Warum?<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 13:39, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Weil wir abwechselnd von der offenen und der geschlossenen Halbebene sprechen und die Definition der einen mit der anderen begründen, das dürfen wir selbstverständlich nicht!!!<br />
Herr Schnirch hat den Beweis geführt indem er erst die Konvexität der offenen Halbebene bewiesen hat und das eine Gerade konvex ist einfach "trivial". <br />
Dann hat er gesagt dass die Vereinigungsmenge dieser Punktmengen (also der offenen HE und der Trägergeraden) auch konvex ist mit Begründung = "Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist auch konvex" (habe ich auf jeden Fall so verstanden und ich würde mich auch über eine Berichtichtigung freuen!!!).<br />
Unserer Vorstellung nach stimmt es in diesem Fall, aber die Begründung ist absoluter Quatsch weil die Vereinigungsmenge etwas ganz anderes als die Schnittmenge ist und es gibt unzählige Beispiel bei denen die Vereinigungsmenge zweier konvexer Punktmengen nicht konvex ist!!!!!!!!!<br />
D.h. diese Beweisführung zeigt uns nur das die offene HE konvex ist und ich habe bis jetzt auch keinen Beweis gefunden der die Konvexität der geschlossenen HE zeigt. Brauchen wir aber wahrscheinlich auch nicht so dringend...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:24, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* [[Quiz der Woche 8]]<br />
<br />
=== Woche 9===<br />
21.06.10 bis 29.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 9]]<br />
* [[Probeklausur]] (für die Übungen am Fr. 25.06. und Di. 29.06.10) (Wir werden an diesen Terminen in der Übung jeweils eine Probeklausur schreiben und diese anschließend besprechen!)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_9.pdf|Aufgaben_Tutorium_9}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_9.pdf|Lösungen_Tutorium_9}}<br />
* [[Quiz der Woche 9]]<br />
<br />
=== Woche 10===<br />
28.06.10 bis 06.07.10<br />
<br />
* [[Übung_10]] (für die Übungen am Fr. 02.07. und Di. 06.07.10) <br />
* [[Aufgaben_Tutorium_10]]<br />
* [[Quiz der Woche 10]]<br />
<br />
=== Woche 11===<br />
05.07.10 bis 13.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 11]]<br />
* [[Übung_11]] (für die Übungen am Fr. 09.07. und Di. 13.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_11.pdf|Aufgaben_Tutorium_11}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_11.pdf|Lösungen_Tutorium_11}}<br />
* [[Quiz der Woche 11]]<br />
<br />
=== Woche 12===<br />
12.07.10 bis 20.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 12]]<br />
* [[Übung_12]] (für die Übungen am Fr. 16.07. und Di. 20.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_12.pdf|Aufgaben_Tutorium_12}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_12.pdf|Lösungen_Tutorium_12}}<br />
* [[Quiz der Woche 12]]<br />
<br />
=== Woche 13===<br />
19.07.10 bis 27.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 13]]<br />
* [[Übung_13]] (für die Übungen am Fr. 23.07. und Di. 27.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_13.pdf|Aufgaben_Tutorium_13}}<br />
* [[Quiz der Woche 13]]<br />
<br />
=== Woche 14===<br />
26.07.10 bis 30.07.10<br />
* [[Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur]]<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_14.pdf|Aufgaben_Tutorium_14}}</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Auftrag_der_Woche,_Quiz_der_Woche,_%C3%9Cbungsaufgaben_etc.Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.2010-07-28T21:24:56Z<p>Principella: /* Woche 8 */</p>
<hr />
<div>== Wöchentlich ==<br />
=== Woche 1===<br />
19.04.10 bis 25.04.10<br />
* [[Auftrag der Woche 1]]<br />
=== Woche 2===<br />
26.04.10 bis 02.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 2]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Übung)]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Tutorium)]]<br />
*[[Quiz der Woche 2]]<br />
=== Woche 3===<br />
03.05.10 bis 09.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 3]]<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10.pdf|Übung_3}}<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_3}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_3.pdf|Aufgaben_Tutorium_3}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_3.pdf|Lösungen_Tutorium_3}}<br />
<br />
=== Woche 4===<br />
10.05.10 bis 16.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 4]]<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10.pdf|Übung_4}}<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_4}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_4.pdf|Aufgaben_Tutorium_4}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_4.pdf|Lösungen_Tutorium_4}}<br />
<br />
=== Woche 5===<br />
17.05.10 bis 01.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 5]]<br />
* {{pdf|Übungen_5_SoSe10.pdf|Übung_5a (für die Übungen am Di. 18.05.10)}}<br />
* {{pdf|Übungen_5_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung5a}}<br />
* [[Übung_5]] (für die Übungen am Fr. 21.05. und Di. 01.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_5.pdf|Aufgaben_Tutorium_5}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_5.pdf|Lösungen_Tutorium_5}}<br />
* [[Quiz der Woche 5]]<br />
<br />
Bei Ü5a muss in bei der ersten Aufgabe bei a und b noch ergänzt werden:<br />
"oder keine von beiden".<br />
<br />
=== Woche 6===<br />
31.05.10 bis 08.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 6]]<br />
* [[Übung_6]] (für die Übungen am Fr. 04.06. und Di. 08.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_6.pdf|Aufgaben_Tutorium_6}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_6.pdf|Lösungen_Tutorium_6}}<br />
* [[Quiz der Woche 6]]<br />
* {{pdf|Lösungen_Übung_6.pdf|Lösungen zur Übungsserie 6 im pdf-Format}}--[[Benutzer:Bino37|Bino37]] 11:12, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Woche 7===<br />
07.06.10 bis 15.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 7]]<br />
* [[Übung_7]] (für die Übungen am Fr. 11.06. und Di. 15.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_7.pdf|Aufgaben_Tutorium_7}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_7.pdf|Lösungen_Tutorium_7}}<br />
* [[Quiz der Woche 7]]<br />
<br />
=== Woche 8===<br />
14.06.10 bis 22.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 8]]<br />
* [[Übung_8]] (für die Übungen am Fr. 18.06. und Di. 22.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_8.pdf|Aufgaben_Tutorium_8}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_8.pdf|Lösungen_Tutorium_8}}<br />
Lösung von Tutoriumsaufgabe 8.1. ist falsch! (Siehe Schritt 2)<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:42, 3. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Warum?<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 13:39, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Weil wir abwechselnd von der offenen und der geschlossenen Halbebene sprechen und die Definition der einen mit der anderen begründen, das dürfen wir selbstverständlich nicht!!!<br />
Herr Schnirch hat den Beweis geführt indem er erst die Konvexität der offenen Halbebene bewiesen hat und das eine Gerade konvex ist einfach "trivial". <br />
Dann hat er gesagt dass die Vereinigungsmenge dieser Punktmengen (also der offenen HE und der Trägergeraden) auch konvex ist mit Begründung = "Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist auch konvex" (habe ich auf jeden Fall so verstanden und ich würde mich auch über eine Berichtichtigung freuen!!!).<br />
Diese Begründung ist absoluter Quatsch weil die Vereinigungsmenge etwas ganz anderes als die Schnittmenge ist und es gibt unzählige Beispiel bei denen die Vereinigungsmenge zweier konvexer Punktmengen nicht konvex ist!!!!!!!!!<br />
D.h. diese Beweisführung zeigt uns nur das die offenen HE konvex ist und ich habe bis jetzt auch keinen Beweis gefunden der die Konvexität der geschlossenen HE zeigt. Brauchen wir aber wahrscheinlich auch nicht so dringend...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:24, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* [[Quiz der Woche 8]]<br />
<br />
=== Woche 9===<br />
21.06.10 bis 29.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 9]]<br />
* [[Probeklausur]] (für die Übungen am Fr. 25.06. und Di. 29.06.10) (Wir werden an diesen Terminen in der Übung jeweils eine Probeklausur schreiben und diese anschließend besprechen!)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_9.pdf|Aufgaben_Tutorium_9}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_9.pdf|Lösungen_Tutorium_9}}<br />
* [[Quiz der Woche 9]]<br />
<br />
=== Woche 10===<br />
28.06.10 bis 06.07.10<br />
<br />
* [[Übung_10]] (für die Übungen am Fr. 02.07. und Di. 06.07.10) <br />
* [[Aufgaben_Tutorium_10]]<br />
* [[Quiz der Woche 10]]<br />
<br />
=== Woche 11===<br />
05.07.10 bis 13.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 11]]<br />
* [[Übung_11]] (für die Übungen am Fr. 09.07. und Di. 13.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_11.pdf|Aufgaben_Tutorium_11}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_11.pdf|Lösungen_Tutorium_11}}<br />
* [[Quiz der Woche 11]]<br />
<br />
=== Woche 12===<br />
12.07.10 bis 20.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 12]]<br />
* [[Übung_12]] (für die Übungen am Fr. 16.07. und Di. 20.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_12.pdf|Aufgaben_Tutorium_12}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_12.pdf|Lösungen_Tutorium_12}}<br />
* [[Quiz der Woche 12]]<br />
<br />
=== Woche 13===<br />
19.07.10 bis 27.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 13]]<br />
* [[Übung_13]] (für die Übungen am Fr. 23.07. und Di. 27.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_13.pdf|Aufgaben_Tutorium_13}}<br />
* [[Quiz der Woche 13]]<br />
<br />
=== Woche 14===<br />
26.07.10 bis 30.07.10<br />
* [[Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur]]<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_14.pdf|Aufgaben_Tutorium_14}}</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Auftrag_der_Woche,_Quiz_der_Woche,_%C3%9Cbungsaufgaben_etc.Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.2010-07-28T21:24:07Z<p>Principella: /* Woche 8 */</p>
<hr />
<div>== Wöchentlich ==<br />
=== Woche 1===<br />
19.04.10 bis 25.04.10<br />
* [[Auftrag der Woche 1]]<br />
=== Woche 2===<br />
26.04.10 bis 02.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 2]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Übung)]]<br />
*[[Übungsaufgaben (Tutorium)]]<br />
*[[Quiz der Woche 2]]<br />
=== Woche 3===<br />
03.05.10 bis 09.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 3]]<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10.pdf|Übung_3}}<br />
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_3}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_3.pdf|Aufgaben_Tutorium_3}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_3.pdf|Lösungen_Tutorium_3}}<br />
<br />
=== Woche 4===<br />
10.05.10 bis 16.05.10<br />
* [[Auftrag der Woche 4]]<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10.pdf|Übung_4}}<br />
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_4}}<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_4.pdf|Aufgaben_Tutorium_4}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_4.pdf|Lösungen_Tutorium_4}}<br />
<br />
=== Woche 5===<br />
17.05.10 bis 01.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 5]]<br />
* {{pdf|Übungen_5_SoSe10.pdf|Übung_5a (für die Übungen am Di. 18.05.10)}}<br />
* {{pdf|Übungen_5_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung5a}}<br />
* [[Übung_5]] (für die Übungen am Fr. 21.05. und Di. 01.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_5.pdf|Aufgaben_Tutorium_5}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_5.pdf|Lösungen_Tutorium_5}}<br />
* [[Quiz der Woche 5]]<br />
<br />
Bei Ü5a muss in bei der ersten Aufgabe bei a und b noch ergänzt werden:<br />
"oder keine von beiden".<br />
<br />
=== Woche 6===<br />
31.05.10 bis 08.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 6]]<br />
* [[Übung_6]] (für die Übungen am Fr. 04.06. und Di. 08.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_6.pdf|Aufgaben_Tutorium_6}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_6.pdf|Lösungen_Tutorium_6}}<br />
* [[Quiz der Woche 6]]<br />
* {{pdf|Lösungen_Übung_6.pdf|Lösungen zur Übungsserie 6 im pdf-Format}}--[[Benutzer:Bino37|Bino37]] 11:12, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Woche 7===<br />
07.06.10 bis 15.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 7]]<br />
* [[Übung_7]] (für die Übungen am Fr. 11.06. und Di. 15.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_7.pdf|Aufgaben_Tutorium_7}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_7.pdf|Lösungen_Tutorium_7}}<br />
* [[Quiz der Woche 7]]<br />
<br />
=== Woche 8===<br />
14.06.10 bis 22.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 8]]<br />
* [[Übung_8]] (für die Übungen am Fr. 18.06. und Di. 22.06.10)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_8.pdf|Aufgaben_Tutorium_8}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_8.pdf|Lösungen_Tutorium_8}}<br />
Lösung von Tutoriumsaufgabe 8.1. ist falsch! (Siehe Schritt 2)<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:42, 3. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Warum?<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 13:39, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Weil wir abwechselnd von der offenen und der geschlossenen Halbebene sprechen und die Definition der einen mit der anderen begründen, das dürfen wir selbstverständlich nicht!!!<br />
Herr Schnirch hat den Beweis geführt indem er erst die Konvexität der offenen Halbebene bewiesen hat und das eine Gerade konvex ist einfach "trivial". <br />
Dann hat er gesagt dass die Vereinigungsmenge dieser Punktmengen (also der offenen HE und der Trägergeraden) auch konvex ist mit Begründung = "Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist auch konvex" (habe ich auf jeden Fall so verstanden und ich würde mich auch über eine Berichtichtigung freuen!!!).<br />
Diese Begründung ist absoluter Quatsch weil die Vereinigungsmenge etwas ganz anderes als die Schnittmenge und es gibt unzählige Beispiel bei denen die Vereinigungsmenge zweier konvexer Punktmengen nicht konvex ist!!!!!!!!!<br />
D.h. diese Beweisführung zeigt uns nur das die offenen HE konvex ist und ich habe bis jetzt auch keinen Beweis gefunden der die Konvexität der geschlossenen HE zeigt. Brauchen wir aber wahrscheinlich auch nicht so dringend...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:24, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* [[Quiz der Woche 8]]<br />
<br />
=== Woche 9===<br />
21.06.10 bis 29.06.10<br />
* [[Auftrag der Woche 9]]<br />
* [[Probeklausur]] (für die Übungen am Fr. 25.06. und Di. 29.06.10) (Wir werden an diesen Terminen in der Übung jeweils eine Probeklausur schreiben und diese anschließend besprechen!)<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_9.pdf|Aufgaben_Tutorium_9}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_9.pdf|Lösungen_Tutorium_9}}<br />
* [[Quiz der Woche 9]]<br />
<br />
=== Woche 10===<br />
28.06.10 bis 06.07.10<br />
<br />
* [[Übung_10]] (für die Übungen am Fr. 02.07. und Di. 06.07.10) <br />
* [[Aufgaben_Tutorium_10]]<br />
* [[Quiz der Woche 10]]<br />
<br />
=== Woche 11===<br />
05.07.10 bis 13.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 11]]<br />
* [[Übung_11]] (für die Übungen am Fr. 09.07. und Di. 13.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_11.pdf|Aufgaben_Tutorium_11}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_11.pdf|Lösungen_Tutorium_11}}<br />
* [[Quiz der Woche 11]]<br />
<br />
=== Woche 12===<br />
12.07.10 bis 20.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 12]]<br />
* [[Übung_12]] (für die Übungen am Fr. 16.07. und Di. 20.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_12.pdf|Aufgaben_Tutorium_12}}<br />
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_12.pdf|Lösungen_Tutorium_12}}<br />
* [[Quiz der Woche 12]]<br />
<br />
=== Woche 13===<br />
19.07.10 bis 27.07.10<br />
* [[Auftrag der Woche 13]]<br />
* [[Übung_13]] (für die Übungen am Fr. 23.07. und Di. 27.07.10) <br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_13.pdf|Aufgaben_Tutorium_13}}<br />
* [[Quiz der Woche 13]]<br />
<br />
=== Woche 14===<br />
26.07.10 bis 30.07.10<br />
* [[Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur]]<br />
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_14.pdf|Aufgaben_Tutorium_14}}</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/DefinitionenDefinitionen2010-07-28T21:06:40Z<p>Principella: /* Definition VII.4 : (Peripheriewinkel) */</p>
<hr />
<div>== Definitionen ==<br />
<br />
<br />
===== Definition des Begriffs der Relation: =====<br />
:<u>Definition: (n-stellige Relation)</u><br />
::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
<br />
:<u>Definition: (Äquivalenzrelation)</u><br />
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.<br />
<br />
=====Definition I.2: (kollinear)=====<br />
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.<br />
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''<br />
<br />
=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====<br />
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.<br />
<br />
=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====<br />
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.<br />
<br />
=====Definition I.5: (Raum)=====<br />
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
<br />
=====Definition I.6: (komplanar)=====<br />
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)<br />
<br />
=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====<br />
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.<br />
:Schreibweise: komp(g, h)<br />
<br />
=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====<br />
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.<br />
:In Zeichen: ''g''||''h''.<br />
<br />
=====Definition I.9: (windschief )=====<br />
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.<br />
<br />
=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====<br />
:Zwei Ebene ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
<br />
===== Definition II.1: (Abstand) =====<br />
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
<br />
===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====<br />
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
<br />
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====<br />
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====<br />
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====<br />
<br />
:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]<br />
<br />
<br />
::Eine informelle Definition:<br />
<br />
::<u>Definition: Halbgerade <math>AB^+</math></u><br />
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.<br />
<br />
::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.<br />
<br /><br />
::<u>Definition: Halbgerade <math>AB^+</math></u><br />
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math><br />
<br />
::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]<br />
<br />
<br />
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.<br />
<br />
::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:<br />
<br />
::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math><br />
<br />
::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====<br />
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g<br />
<br />
da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Fehlt dann bei der Definition von gQ- nicht die Trägergerade g? g gehört doch im Falle der geschlossenen Halbebenen zu beiden HE dazu?<br />
<br />
<br />
::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
<br />
===== Definition V.1: (Winkel)=====<br />
<br />
:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben. <br />
<br />
oder<br />
<br />
:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.<br />
<br />
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====<br />
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math><br />
<br />
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====<br />
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.<br />
<br />
<br />
Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden. <br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:10, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====<br />
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.<br />
<br />
Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Schenkel haben und die anderen 2 Schenkel eine Gerade bilden.<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:14, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====<br />
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====<br />
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====<br />
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====<br />
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)<br />
<br />
===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====<br />
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br /><br />
Ergänzen Sie:<br />
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====<br />
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn <br />
<br />
::# <math>m \perp AB</math><br />
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
<br />
===== Definition VI.2 =====<br />
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.<br />
<br />
===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====<br />
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.<br /><br />
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math><br />
<br />
===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====<br />
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.<br /><br />
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math><br />
<br />
===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====<br />
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen <br />
<br />
:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math><br />
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math><br />
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math><br />
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math><br />
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math><br />
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math><br />
::gelten,<br /><br />
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.<br />
<br />
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====<br />
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.<br />
<br />
[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]<br />
<br />
Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.<br />
<br />
--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===== Definition VII.4 : (Peripheriewinkel) =====<br />
Ein Winkel heißt Peripheriewinkel, wenn der Scheitel des Winkel Element eines Kreises ist, und die beiden Schenkel den Kreis jeweils in genau einem (weiteren!) Punkt schneiden.<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:42, 28. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T22:22:06Z<p>Principella: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales (+ Umkehrungen), Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten (Winkel oder?) im Sehnenviereck <br />
<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
Neuer Vorschlag: <br />
<br />
Absolute Geometrie: <br />
<br />
...<br />
→ WSW- Kongruenzsatz <br />
→ SSS- Kongruenzsatz<br />
→ Basiswinkelsatz und seine Umkehrung<br />
→ Mittelsenkrechtenkriterium<br />
→ Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
→ schwacher Außenwinkelsatz<br />
→ Lemmas + Korollare<br />
→ gr. Winkel - gr. Seite Beziehung + Umkehrung<br />
→ Umkehrung Stufenwinkelsatz <br />
→ Umkehrung Wechselwinkelsatz <br />
→ Umkehrung Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
→ Satz über Existenz von Parallelen<br />
<br />
Nur euklidische Geometrie: <br />
<br />
→ Stufenwinkelsatz <br />
→ Wechselwinkelsatz <br />
→ Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
→ starker Außenwinkelsatz<br />
→ Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck <br />
→ Höhenpktsatz<br />
→ Satz(Schnittpkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks)<br />
→ Winkelhalbierendekriterium!?<br />
→ Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck (wird mit dem EP begründet!)<br />
→ Satz(Schnittpkt Seitenhalbierende eines Dreiecks)<br />
→ Satz über gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck <br />
→ Satz des Thales + Umkehrungen<br />
→ Zentri- Periperiewinkelsatz<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T22:21:25Z<p>Principella: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales (+ Umkehrungen), Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten (Winkel oder?) im Sehnenviereck <br />
<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
Neuer Vorschlag: <br />
<br />
Absolute Geometrie: <br />
<br />
...<br />
→ WSW- Kongruenzsatz <br />
→ SSS- Kongruenzsatz<br />
→ Basiswinkelsatz und seine Umkehrung<br />
→ Mittelsenkrechtenkriterium<br />
→ Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
→ schwacher Außenwinkelsatz<br />
→ Lemmas + Korollare<br />
→ gr. Winkel - gr. Seite Beziehung + Umkehrung<br />
→ Umkehrung Stufenwinkelsatz <br />
→ Umkehrung Wechselwinkelsatz <br />
→ Umkehrung Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
→ Satz über Existenz von Parallelen<br />
<br />
Nur euklidische Geometrie: <br />
<br />
→ Stufenwinkelsatz <br />
→ Wechselwinkelsatz <br />
→ Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
→ starker Außenwinkelsatz<br />
→ Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck <br />
→ Höhenpktsatz<br />
→ Satz(Schnittpkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks)<br />
→ Winkelhalbierendekriterium!?<br />
→ Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck (wird mit dem EP begründet!)<br />
→ Satz(Schnittpkt Seitenhalbierende eines Dreiecks)<br />
→ Satz über gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck <br />
→ Satz des Thales + Umkehrungen<br />
→ Zentri- Periperiewinkelsatz<br />
→ Absolute Geometrie: <br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T22:19:46Z<p>Principella: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales (+ Umkehrungen), Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten (Winkel oder?) im Sehnenviereck <br />
<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
Neuer Vorschlag: <br />
<br />
Absolute Geometrie: <br />
<br />
...<br />
→ WSW- Kongruenzsatz <br />
→ SSS- Kongruenzsatz<br />
Basiswinkelsatz und seine Umkehrung<br />
Mittelsenkrechtenkriterium<br />
Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
schwacher Außenwinkelsatz<br />
Lemmas + Korollare<br />
gr. Winkel - gr. Seite Beziehung + Umkehrung<br />
Umkehrung Stufenwinkelsatz <br />
Umkehrung Wechselwinkelsatz <br />
Umkehrung Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
Satz über Existenz von Parallelen<br />
<br />
Nur euklidische Geometrie: <br />
<br />
Stufenwinkelsatz <br />
Wechselwinkelsatz <br />
Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
starker Außenwinkelsatz<br />
Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck <br />
Höhenpktsatz<br />
Satz(Schnittpkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks)<br />
Winkelhalbierendekriterium!?<br />
Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck (wird mit dem EP begründet!)<br />
Satz(Schnittpkt Seitenhalbierende eines Dreiecks)<br />
Satz über gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck <br />
Satz des Thales + Umkehrungen<br />
Zentri- Periperiewinkelsatz<br />
Absolute Geometrie: <br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T22:16:36Z<p>Principella: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales (+ Umkehrungen), Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten (Winkel oder?) im Sehnenviereck <br />
<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
Neuer Vorschlag: <br />
<br />
Absolute Geometrie: <br />
<br />
...<br />
- WSW- Kongruenzsatz <br />
- SSS- Kongruenzsatz<br />
- Basiswinkelsatz und seine Umkehrung<br />
Mittelsenkrechtenkriterium<br />
Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
schwacher Außenwinkelsatz<br />
Lemmas + Korollare<br />
gr. Winkel - gr. Seite Beziehung + Umkehrung<br />
Umkehrung Stufenwinkelsatz <br />
Umkehrung Wechselwinkelsatz <br />
Umkehrung Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
Satz über Existenz von Parallelen<br />
<br />
Nur euklidische Geometrie: <br />
<br />
Stufenwinkelsatz <br />
Wechselwinkelsatz <br />
Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
starker Außenwinkelsatz<br />
Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck <br />
Höhenpktsatz<br />
Satz(Schnittpkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks)<br />
Winkelhalbierendekriterium!?<br />
Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck (wird mit dem EP begründet!)<br />
Satz(Schnittpkt Seitenhalbierende eines Dreiecks)<br />
Satz über gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck <br />
Satz des Thales + Umkehrungen<br />
Zentri- Periperiewinkelsatz<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T22:15:57Z<p>Principella: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales (+ Umkehrungen), Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten (Winkel oder?) im Sehnenviereck <br />
<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
Neuer Vorschlag: <br />
<br />
Absolute Geometrie: <br />
<br />
...<br />
WSW- Kongruenzsatz <br />
SSS- Kongruenzsatz<br />
Basiswinkelsatz und seine Umkehrung<br />
Mittelsenkrechtenkriterium<br />
Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
schwacher Außenwinkelsatz<br />
Lemmas + Korollare<br />
gr. Winkel - gr. Seite Beziehung + Umkehrung<br />
Umkehrung Stufenwinkelsatz <br />
Umkehrung Wechselwinkelsatz <br />
Umkehrung Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
Satz über Existenz von Parallelen<br />
<br />
Nur euklidische Geometrie: <br />
<br />
Stufenwinkelsatz <br />
Wechselwinkelsatz <br />
Satz über entgegengesetzt liegende Winkel <br />
starker Außenwinkelsatz<br />
Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck <br />
Höhenpktsatz<br />
Satz(Schnittpkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks)<br />
Winkelhalbierendekriterium!?<br />
Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck (wird mit dem EP begründet!)<br />
Satz(Schnittpkt Seitenhalbierende eines Dreiecks)<br />
Satz über gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck <br />
Satz des Thales + Umkehrungen<br />
Zentri- Periperiewinkelsatz<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T22:00:36Z<p>Principella: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales (+ Umkehrungen), Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten (Winkel oder?) im Sehnenviereck <br />
<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
Euklidische fehlt: Satz(Schnittpkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks), Höhenpktsatz, Satz(Schnittpkt Seitenhalbierende eines Dreiecks), Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck (wird mit dem EP begründet!)<br />
...Kann das Winkelhalbierendekriterium wirklich in der absoluten bewiesen werden?<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T21:58:03Z<p>Principella: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales (+ Umkehrungen), Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten (Winkel oder?) im Sehnenviereck <br />
+++ Satz(Schnittpkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks), Höhenpktsatz, Satz(Schnittpkt Seitenhalbierende eines Dreiecks)<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
Kann das Winkelhalbierendekriterium wirklich in absoluten bewiesen werden? <br />
Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck wird mit dem EP begründet!<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .<br />
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T21:01:39Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T21:00:40Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
<br />
Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:59:58Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:59:04Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:58:20Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke PQ und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:55:05Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
gQ- ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke PQ und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke PQ hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:54:47Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
gQ- ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke PQ und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke PQ hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:53:43Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
_______________________________________________________________________________________________________________________<br />
Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
gQ- ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke PQ und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke PQ hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:53:12Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
gQ- ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke PQ und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke PQ hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:52, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_von_StudentenDefinitionen von Studenten2010-07-27T20:52:55Z<p>Principella: /* Def geschlossene Halbebene */</p>
<hr />
<div>== Höhe eines Dreiecks ==<br />
<br />
# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl...<br />--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll <u>die</u> Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?<br />
<br />
# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Stufenwinkel ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.<br />
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.<br />
<br />
<br />
:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?<br />
Wie wäre das?<br />
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.<br />
<br />
== Innenwinkel eines Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
<br />
<br />
:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==<br />
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.<br />
<br />
==Definition Halbkreis==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.<br />
<br /><br /><br />
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.<br />
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.<br />
<br /><br /><br />
ODER:<br />
<br /><br />
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.<br />
<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Kontraposition==<br />
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).<br />
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.<br />
<br />
<br />Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...<br />
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.<br />
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Punkte für Halbebenen erschaffen ==<br />
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Frage:</u><br /><br />
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??<br />
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?<br />
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)<br />
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.<br />
<br />
<u>Antwort:</u><br /><br />
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung.<br /><br />
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.<br />
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). <br /><br />
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.<br />
<br />
<br />
== Sehnenviereck ==<br />
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert:<br /><br />
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck.<br /><br />
<br />
Meine Frage:<br /><br />
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. <br /><br />
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==<br />
<br />
So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!<br />
<br />
Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck, <br />
<br />
nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck<br />
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen<br />
<br />
== Def gleichschenkliges Trapez ==<br />
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Def geschlossene Halbebene ==<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:<br />
gQ- ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke PQ und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.<br />
D.h. mit dieser Definition sind alle Punte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke PQ hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.<br />
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest diese Punkte mit dieser Definition eigentlich schon dabei...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:52, 27. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Der_Zentriwinkel-PeripheriewinkelsatzDer Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz2010-07-26T19:40:16Z<p>Principella: /* Beweis */</p>
<hr />
<div>== Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
===Definition (Zentriwinkel, Mittelpunktswinkel)===<br />
Ist M der Mittelpunkt des Kreises k, so bezeichnet man einen Winkel <math> \angle AMB </math> als den zughörigen Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel).<br />
<br />
=== Satz:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) === <br />
(abgeändert) Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß, wie sein zugehöriger Zentriwinkel.<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:59, 23. Jul. 2010 (UTC): Vorsicht mit den Artikeln: Wie viele Zentriwinkel sind einem Peripheriewinkel zugehörig? In der Definition war es korrekt.<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
<br />Ich hab mir Gedanken zu den Fallunterscheidungen gemacht, komme aber irgendwie nicht weiter. Ich stelle meine Notizen mal hier ein, kann mir jemand weiter helfen?<br />
<br />
[[Bild:Teil_1.jpg]]<br />
<br /><br />[[Bild:Teil_2.jpg]]<br />
<br />
--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 13:22, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />Jaaaaaaaaa :-) Ich glaube, ich hatte gerade DIE Eingebung, zumindest bezüglich der Fallunterscheidungen ;-).<br />Und zwar:<br />
Laut dem Peripheriewinkelsatz sind alle Peripheriewinkel eines Kreises über einer Sehne gleich groß. Ich kann also sagen, dass ich den Scheitelpunkt des Peripheriewinkels so wähle, dass er auf der Mittelsenkrechten der Sehne liegt. Damit würden zumindest die Fälle 2 und 5 wegfallen.<br />Hm, naja, ob es allerdings viel hilft? Denn schließlich wären ja gerade Fall 3 und 4 die "unmöglichen Beweise"... Egal, Hauptsache Eingebung :-)<br />--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 12:45, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Überlegung--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
# Könnte ich nicht Fall 1 so umändern, dass Fall 5 daraus wird: Wegen dem Satz "Peripheriewinkel über ein und derselben Sehne sind kongruent zueinander". Dann könnte man wie bei Fall 5 weiter argumentieren und man hätte auch schon Fall 2 drin.<br />
# Fall 3 und 4 sind nicht beweisbar, wegen unserem Winkelmaß zwischen 0 und 180.<br />
# zu Fall 2: könnte man nicht hier auch wieder eine Strecke <math> \overline {CM} </math> konstruieren, wodurch wieder eine ähnliche Beweisführung wie bei Fall 1 eintritt?<br /><br />
Mal so ne blöde Frage zwischendurch: Haben wir schon bewiesen, dass der Radius immer gleich groß bleibt!?<br />
<br />
Ich glaub wir haben den Radius schon indirekt durch unsere Definition des Kreises festgelegt. Es kann keinen Punkt eines Kreises k geben der einen anderen Abstand zum Mittelpunkt von k hat als der Rest der Punkte von k (nach Def. Kreis), denn sonst wäre es kein Kreis mehr...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:40, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.1Diskussion:Lösung von Aufgabe 7.12010-07-26T15:16:03Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br /><br />
Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> <br /><br />
<br />
So steht es in der Lösung. Aber wie kann ich von dieser Voraussetzung ausgehen? Meines Erachtens ist die Voraussetzung, dass eine Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert und damit fertig, oder? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 09:05, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
P.S. Natürlich ist <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> logisch, aber kann man denn von logischen Dingen ausgehen, ohne zu Begründen?<br />
<br />
Ich würde diesen Schritt einfach mit Definition Halbgerade begründen, da steckt es ja mit drin:<br />
<br />
<u>'''Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>'''</u><br />
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:16, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.1Diskussion:Lösung von Aufgabe 7.12010-07-26T15:15:19Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br /><br />
Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> <br /><br />
<br />
So steht es in der Lösung. Aber wie kann ich von dieser Voraussetzung ausgehen? Meines Erachtens ist die Voraussetzung, dass eine Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert und damit fertig, oder? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 09:05, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
P.S. Natürlich ist <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> logisch, aber kann man denn von logischen Dingen ausgehen, ohne zu Begründen?<br />
<br />
Ich würde diesen Schritt einfach mit Definition Halbgerade begründen, da steckt es ja mit drin:<br />
<u>'''Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>'''</u><br />
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:L%C3%B6sung_von_Aufgabe_7.1Diskussion:Lösung von Aufgabe 7.12010-07-26T15:14:11Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br /><br />
Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> <br /><br />
<br />
So steht es in der Lösung. Aber wie kann ich von dieser Voraussetzung ausgehen? Meines Erachtens ist die Voraussetzung, dass eine Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert und damit fertig, oder? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 09:05, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
P.S. Natürlich ist <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> logisch, aber kann man denn von logischen Dingen ausgehen, ohne zu Begründen?<br />
<br />
Ich würde diesen Schritt einfach mit Definition Halbgerade begründen, da steckt es ja mit drin:<br />
"Gegeben seien zwei verschiedene Punkte \ A und \ B. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden \ AB^+ versteht man die Strecke \overline{AB} vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man \overline{AB} über \ B hinaus verlängert".<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:14, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:DreieckskongruenzDiskussion:Dreieckskongruenz2010-07-26T14:55:14Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>In der Quiz-Aufgabe heißt es:<br />
<br />
"Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander."<br />
<br />
Diese Antwort ist richtig, aber müsste es nicht heißen :"''Eine'' Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander."??<br />
<br />
--[[Benutzer:Mirasol|Mirasol]] 08:05, 6. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /> Hä?--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 18:39, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
:)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 14:55, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:DreieckskongruenzDiskussion:Dreieckskongruenz2010-07-26T14:55:01Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>In der Quiz-Aufgabe heißt es:<br />
<br />
"Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander."<br />
<br />
Diese Antwort ist richtig, aber müsste es nicht heißen :"''Eine'' Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander."??<br />
<br />
--[[Benutzer:Mirasol|Mirasol]] 08:05, 6. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /> Hä?--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 18:39, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
:)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 14:55, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Quiz_der_Woche_12Diskussion:Quiz der Woche 122010-07-26T14:51:39Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Was ist ein symmetrischer Drachen?<br />
In der Definition Drachen heißt es "die Diagonalen halbieren einander". Das trifft auf Drachen die ich kenne nicht zu. Aber es gibt ja den Hinweis auf symmetrischen Drachen. Ist der symmetrische Drachen schlicht eine Raute??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 13:53, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Welche Definition des Drachen meinst du? Bei einer steht nur dass die eine Diagonale die andere halbiert, was bei symmetrischen Drachen immer der Fall ist, d.h. sie halbieren sich nicht unbedingt gegenseitig...<br />
Und schiefe Drachen gibts bei uns ja nicht, aber bei denen muss sich glaub ich gar nichts halbieren!?<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 14:51, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Quiz_der_Woche_12Diskussion:Quiz der Woche 122010-07-26T14:49:20Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Was ist ein symmetrischer Drachen?<br />
In der Definition Drachen heißt es "die Diagonalen halbieren einander". Das trifft auf Drachen die ich kenne nicht zu. Aber es gibt ja den Hinweis auf symmetrischen Drachen. Ist der symmetrische Drachen schlicht eine Raute??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 13:53, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Welche Definition des Drachen meinst du? Bei einer steht nur dass die eine Diagonale die andere halbiert, was bei symmetrischen Drachen immer der Fall ist, d.h. sie halbieren sich nicht unbedingt gegenseitig...<br />
Und asymmetrische Drachen gibts bei uns ja nicht, aber bei denen muss sich glaub ich gar nichts halbieren!?<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 14:49, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Halbebenen_oder_das_Axiom_von_PaschHalbebenen oder das Axiom von Pasch2010-07-24T20:32:20Z<p>Principella: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */</p>
<hr />
<div>= Halbebenen und das Axiom von Pasch =<br />
== Halbebenen ==<br />
=== Analogiebetrachtungen ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center><br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center><br />
<br />
|-<br />
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAC+LwjwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3V3rbttGFv69fQpCKIp2GzNzv6B2iyipXTduE8PZYrHdbkFJtMxYFlWKSuwUfaN9in2yPTND6kpRoi4xlSAAw+FwNPN955w558xwcvzd/V3PexcmwyjunzSwjxpe2G/HnajfPWmM0usj1fju28+Ou2HcDVtJ4F3HyV2QnjSoTxqmfBR9+9nfjoc38Xsv6Nkqv0Th+5PGddAbhg1vOEjCoDO8CcN0pjwY3Ue9KEgeXrXehu10OHngGjnvD0bwK2kygrL2XeciGua3T+0PDnpR+iJ6F3XCxOvF7ZOG4NB1+NcvYZJG7aB30mDIlZCTBpl7CEXUPL2Jk+hD3E9N9Unj11DiecPoQwhvIlN2/NQO9DgctXtRJwr6ZjC2H1DJ895HnfQGmtQCmgyj7k3qft221o7jpHP1MEzDO+/+X2ES2+74EiGJCVcaSSp4w3twjzDV8EjAaBTFlFMNGEKHoSdM+5ohgSWXEmuJmXlp+TP72+G7qzBNgcuhF9yHE5S7SdSZuTkfNuPepGgQR/30eTBIR4kVBJoVXaUP5ucAucSM8lm/2wuzMgI83YTt21Z8f2WRw9Q1/eZhYF+xHWp1n8e9OPESAwIMoJtdW+5q65iejmshWwfZGlkbptHxc6yJrWGvLXe1tXpR33UtGznOR41R/jPR0DMF0LiR3/Hge0ErBHloeKN+lF7kNyA3t9lQsXvh59FdCxRnWnLGbeJdtXn8dE7mjm/DpB/2nGT1gdtRPBp674wEu9+yHemE7egObt2DDJLA0PUP6IAr7YTdJMw77tTOAWafzkjvXPHx07wTpg9D6Gs7BfsB40nNWIx6p6BaJ407v+s3vE6QmlKjP73wLgTlSq1MWJEaY/OsMbYksTUKufpnzycow+NC+bCSFPQGNwGU+NkAesEDmIjpIdn2foo7swMN+gCYHQVo6sA0YCgZhGEnM4tpJsfeAJq0WjGFt4Vp6N2fNI6wz0ANhdCMYcww0wz01JUrKSiVQlNCCGXQ/gfXtm3CKZixJ7ZbNGPfIbYCu+angR3yFZrgpgjmDjqwlkJIKQXjgmtNlK4GXTu+uwv6Ha8f3EE3LsAyWLwiM8l4ATKy5wXYwOgwGqX5g65rKmtggQVjZMYgdxuzdie9AfXuh0PQZj6B4OkmTHFsqTKXily9ur4ehqkBV2oHpi5jckqOAXSCFBeYUCEIRZzY94lPFJEYI66IoDDXWCqITylBhDAMj7hQnM1b4RI0wj/6rs7Q2cLoDmb3dpRW0YDLT0UDxKykZxpAfSy0AI9AY4KQNlxspwDNaAggxcm6itCqoAit5YpAyhRhdq5czRjanK8pOS8Q6Icl4v/BmnEuucbAEVYCc8pkiaTPD3ddSZ/l67yfgk8AEM2R1XVktRbIel5O1qzmPF/UnHWIEMwyYS4td9kBF9jXGKScEMUUk4wi6sgQPuOaMkop14ghTS0X3JcU7sDyCM4IEpRvog0voh74J8V6gM1gvIBkkM6A/OyLYBAPv/kdVwF78tKjmqtpyLEvmdRgdQBABDbcIc4AW8yUoBCiICIq+iprIHy5GuHLTRC+XI5wVfuyI4i1DxYdIMYaMwouoAOYgCHhmAnCGYMoUG7l0hQi3FyNcHMThJt1k2EQYSQzcK1/nTkqTEokmcZIEcTYVlNmuZFYw0qQTawEqQvCYCWYz4TWglGisEL5LEmljyVCGCuNBBgQyfdnKNawFJVQvqwbylr7UjEIGAXThIDsZpYCcZ8KDTYEwWOpMNufqVjDVlTCuFk3jDGmEGSOA0yQWAsyZeB5cIEQxO4CohixDcSvkvQm7sb9oFcQal4uc9raFTzs9iF52EsCySLH2zjY0pcYiDCGnGKETRJg3w52KWGZlW8vENapQFjnkAgrjoiWBEQwLzCMsWaUY3AWhXhctprL2AorsBV+smxBhEWUJooq8JeQZvoj8LUsfG07qjoLVL2oMsO8qFH4ykxuQAiYPmBi4Vpyls/gPsza8JdKCGKBDr7D+HUFvOECvN9Xgff7+sCrfI441kjB/C0ZyHWWVxe+UAyBU8rgD+VM7RDcn6IkWUiSdZfZmMB5OxUsTf7GAdmbhcwYW5IYztxU6iOttWKUco4Y5/ufzpdpRMfxNsXSDHunVfTitD56AYQIzbhSHEvQD5OCz4Iz6mPElJIEIgrgbJdZs2UYh+UYn1XB+Kw+GGPiUyWIEJwwopHUeWymfA1xmUYamxQPZWyHGL+Oew/g5xT7o6cuTjuDCy1K2P8SQbPtW5zx8Tt29a9d/a69ZxCHrM79uE7kmI/b3YXJmloDmWYQczq93jVttnAVBpcvHg3Drrmb2OHfdzOgYoksGc/GEsmMI8eIUIQppoR0mXLswwQINlZReMaVduKofMo4kRLEkUkkd7ViYeWtZ1azxtYgivuLmxFuw3BgdoG86r9Jgv7QbCFydaY2OazJ0/WBsbQ4WapHmSwfgaruwanU0YJO8XzrxpxW0WzRmxGozLhJ7Suk1eGS1aonWZPdC9lCICXrUVkx51Rp+8KjU7n+0gRZY2WCVnHJJi/VJJ97RMzWCMwJ1loKgpXMdBbmPDq1DYuqnSfNT1djfLrJ+trpVutr+/B+CfE5VlhQs8UUE0UzbeRU+1SC3mAO8YUget/L8merIT/bBPKz+kGumI8pByNl1obHIR3jwpeAqsncmbgD7xvx5mrEm5sYkmbdDAnIONNEaI2FFBwwdnZE+EgBD5wTjSkG0B91FZltYqtZXSB+zFXk0zVQPt1khfN0qxXO/eQqkE844MgYk9p+QmBdHyEBUGxT0EbQd5kmLTPWpZCfbQL5Wf0gZ8TE2MZ1FBBCTBL/hEtfwwOEGVz2P0FWWcivZEyadTMmH2Mhf0vXegNjXRd0D8Kt3sBM18ZiHKBLvYGJrg/cB+dOb2Cc62I8PoYrvWRtJAPCrZCMb8hEIN1qyZLVqXxtY7qVYBwauvWT6Xa64xuzkrIeb8WrKVstA8+wPPNZSb8TuY9SoPqrrPb//vsivIbf6Px69VulVB2tIg8Vll5mYu8tR//xksUKrIRSnAowHVrahT+T15c+WBEMgm+XY5WbHsGaEx8CHooxIpQilENZy/TiihWY3YnqhKxiSb3y/u5deV/00m+8MVF7XwMwIaqZkQmTlDABJssSy7hvJgMC1HIiNSNuwYZRDm4oAT+JgxQogQ+X2O4+iN07XfNqmH9dMa+H2YoN0synwnxdB7O7ofhw+WptxddjrbHNqRdGPPfECvXriAlfMMSYguiZQrjBdrVf8SOszBRuHptxUbrLQseNA8h6eYJrh5FbfZxTiPNpOc6nm+J8ujXOe9kDRpT0tbF2oCFSYLfcyRhMTpTDJEa0yYns9LvJQtTPylE/2xT1s5qiLnzKkTTfnWGGpHROIISZPuPm22Blgh+2yxi+EPVmOerNTVFv1tGmLESXRcGl3MqglAaXBSFmQaBZEG6uFXQWhJ7TrV8vtt6dK5qEotsHpKtcDLS7sLQsKC07/oLwKoJUOSzdCwK7OdqjilvMl7jFMtv/UiVAnR9yzfzi64Mmbt4/Jqws/DxiRCCfwzyPNQIvipZuGKw5cd1DJm5e4VRxOohm+lYlDq05ba1Dpm3tcLQwGuX6cGib9exeb+TN5Uf2ZRyYS+WNnEdYZZtqSw+i2uVxbBBpYk0VFiY4Eiw/UQkJzcG+gmJSIbMtvRs6jFeZTsw6jK+dG3e54PIF5T7Zgiuyi4PFVjpg5+Xe+44+BceTbT4QBOnshDcC5YRpiYgxnVQz55cIn4MthQiWaGpOWyrbYF3lULGPkPtZcWZTsCATV1UCs6u11XdtrjfX7RK+fw5+tvza6wd3LVIvvmC77gcJ0Gr6nQ3pTXifQp/gwUnjiz9GcfpN9/I/f379l/u3fX8WsRReaMy+vR1o5Qtn6+sKL8MuGl4Eb8J/zopZdiTtMEyi67zT7nha0cjlO9sYP0yDJH1t0HVQXXhfe18efQlO4ldPPOTLrzZIL1wuSyxcVk8pXC5LJjzS4Uzm40klpVQwQ0jBtRD5h1QYa6k5o+DSSUlIxfmhWIDJggAfVRDg9fe7VQ+x1xdfVivxLZO1H1ZJ2RJPs3anQh7ZynaeRLs7NPZ89RlpBwcQ3iVAP34q8OwFnZefGjqVlWudpPEPbu48z/cP/eiSti8X5tIs8Upc/RtXO3K137q07u2qibYwlUt2vKuoyGmcPsM95xMX8EmX87l+wuFmjwPaecSTCxeaF656LmCXIx8dEvJoTq2PyCFD//aQoD/6pKT+9pBO58ml/igXe1Zv6Gfn0OdQmMRRZz6R5ma2X3944sFE+sT78Yn38rdxl/JaF1Xi0IsNvZdK2whKprsizrDK1YVs5qC14rgXBhMP4NwOEt4chQss7dFKTCc4JolfnJ2Zg4kohSUYWJ/Oln3+7/hdmBjJ/fNZ86/P1wuy6UyQPdXE68u/Pl8/2t7+y9R6pIGyLMf0WdOSIZbZZyaZMPuGNKfmeCM0c7bsNNZPp/+nF3Of/5dQ3/4fUEsHCM8TtlY4DQAARGoAAFBLAQIUABQACAAIAC+LwjzPE7ZWOA0AAERqAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAcg0AAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
|}<br />
{|class="wikitable center"<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ G</math> ist eine Gerade<br />
| <math>\ G</math> ist eine Ebene<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center><br />
<br />
|-<br />
| eindimensional<br />
| zweidimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center><br />
<br />
|-<br />
| Anfangspunkt <math>\ A</math><br />
| Trägergerade <math>\ g</math><br />
<br />
|- <br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center><br />
<br />
|-<br />
| nulldimensional<br />
| eindimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 1: </center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/><br />
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math><br />
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 2:</center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math><br />
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math><br />
<br />
|}<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.<br />
<br />
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Zu gQ+:<br />
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...<br />
<br />
Zu gQ-:<br />
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. <br />
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===<br />
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====<br />
{| <br />
|-<br />
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.<br />
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]<br />
|-<br />
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.<br />
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]<br />
|}<br />
==== Offene Halbebenen ====<br />
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.<br />
<br />
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math><br />
<br />
==== Halbebenen ====<br />
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==<br />
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===<br />
===== Satz IV.1 =====<br />
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.<br />
<br />
===== Beweis des Satzes IV.1 =====<br />
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====<br />
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
<br />'''Fallunterscheidung:'''<br />
<br />Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
<br />Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung<br />
|- <br />
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)<br />
|- <br />
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).<br />
<br /> Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.<br />
|| Schritt (3) und Satz von Pasch<br />
|- <br />
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)<br />
|- <br />
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und<br />
<br /> <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)<br />
|- <br />
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)<br />
|- <br />
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}<br />
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:<br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3] <br />
|- <br />
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
<br /> Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik<br />
|- <br />
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''|| <br />
|}<br />
<br />
Stimmt das so? Nochmal geändert...<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
<br />
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.<br />
<br />
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?<br />
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann <math>\ Q_2</math> doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?<br />
Wenn nicht könnte also <math>\ Q_2</math> auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte <math>\ Q_2</math> kein "Referenzpunkt" sein...<br />
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht. <br />Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema (Fall 1) unter '''Schritt 2''' (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), '''Schritt 4''' (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von '''Schritt 8''' (auf einmal ist von disjunkten <u>offenen</u> Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt. <br />Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz.<br />--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich find du hast Recht, der Beweis sollte nur mit offenen Halbebenen geführt werden, denn nur so hat das mit de Repräsentanten überhaupt einen Sinn = Repräsentanten sind nur Repräsentanten einer offenen Halbebene, denn wenn sie Repräsentant beider Halbebenen sein könnten (im Fall der geschlossenen Halbebenen) wäre das Ganze ja sowieso quatsch...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 11:08, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Außerdem sprechen wir bei Referenzpunkten einer Halbebene von Repräsentanten einer Äquivalenzklasse und wie wir gelernt haben, müssen die drei Kriterien einer Klasseneiteilung erfüllt sein, d.h. die Teilmengen müssen auch disjunkt sein, was bei geschlossenen Halbebenen nicht gegeben ist.<br />
<br />
Ich zitiere: "Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung <br />
<br />
Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.<br />
<br />
Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“<br />
<br />
Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht."<br />
<br />
Das Ganze ist analog zur Unabhängigkeit des Referenzpunktes zweier OFFENER HALBEBENEN zu sehen...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:32, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==<br />
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''<br />
<br />
<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====<br />
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
= Konvexe Punktmengen =<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
===== Satz IV.2 =====<br />
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen<br />
<br />
===== Beweis von Satz IV.2 =====<br />
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)<br />
===== Satz IV.3 =====<br />
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.<br />
===== Beweis von Satz IV.3 =====<br />
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.<br />
<br />
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 7.5]]</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Halbebenen_oder_das_Axiom_von_PaschHalbebenen oder das Axiom von Pasch2010-07-24T20:26:07Z<p>Principella: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */</p>
<hr />
<div>= Halbebenen und das Axiom von Pasch =<br />
== Halbebenen ==<br />
=== Analogiebetrachtungen ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center><br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center><br />
<br />
|-<br />
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
|}<br />
{|class="wikitable center"<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ G</math> ist eine Gerade<br />
| <math>\ G</math> ist eine Ebene<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center><br />
<br />
|-<br />
| eindimensional<br />
| zweidimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center><br />
<br />
|-<br />
| Anfangspunkt <math>\ A</math><br />
| Trägergerade <math>\ g</math><br />
<br />
|- <br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center><br />
<br />
|-<br />
| nulldimensional<br />
| eindimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 1: </center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/><br />
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math><br />
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 2:</center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math><br />
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math><br />
<br />
|}<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.<br />
<br />
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Zu gQ+:<br />
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...<br />
<br />
Zu gQ-:<br />
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. <br />
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===<br />
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====<br />
{| <br />
|-<br />
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.<br />
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]<br />
|-<br />
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.<br />
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]<br />
|}<br />
==== Offene Halbebenen ====<br />
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.<br />
<br />
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math><br />
<br />
==== Halbebenen ====<br />
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==<br />
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===<br />
===== Satz IV.1 =====<br />
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.<br />
<br />
===== Beweis des Satzes IV.1 =====<br />
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====<br />
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
<br />'''Fallunterscheidung:'''<br />
<br />Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
<br />Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung<br />
|- <br />
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)<br />
|- <br />
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).<br />
<br /> Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.<br />
|| Schritt (3) und Satz von Pasch<br />
|- <br />
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)<br />
|- <br />
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und<br />
<br /> <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)<br />
|- <br />
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)<br />
|- <br />
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}<br />
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:<br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3] <br />
|- <br />
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
<br /> Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik<br />
|- <br />
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''|| <br />
|}<br />
<br />
Stimmt das so? Nochmal geändert...<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
<br />
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.<br />
<br />
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?<br />
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann <math>\ Q_2</math> doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?<br />
Wenn nicht könnte also <math>\ Q_2</math> auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte <math>\ Q_2</math> kein "Referenzpunkt" sein...<br />
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht. <br />Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema (Fall 1) unter '''Schritt 2''' (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), '''Schritt 4''' (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von '''Schritt 8''' (auf einmal ist von disjunkten <u>offenen</u> Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt. <br />Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz.<br />--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich find du hast Recht, der Beweis sollte nur mit offenen Halbebenen geführt werden, denn nur so hat das mit de Repräsentanten überhaupt einen Sinn = Repräsentanten sind nur Repräsentanten einer offenen Halbebene, denn wenn sie Repräsentant beider Halbebenen sein könnten (im Fall der geschlossenen Halbebenen) wäre das Ganze ja sowieso quatsch...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 11:08, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Außerdem sprechen wir bei Referenzpunkten einer Halbebene von Repräsentanten einer Äquivalenzklasse und wie wir gelernt haben, müssen die drei Kriterien einer Klasseneiteilung erfüllt sein, d.h. die Teilmengen müssen auch disjunkt sein, was bei geschlossenen Halbebenen nicht gegeben ist.<br />
<br />
Ich zitiere: "Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung<br />
<br />
Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.<br />
<br />
Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“<br />
<br />
Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht."<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:26, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==<br />
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''<br />
<br />
<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====<br />
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
= Konvexe Punktmengen =<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
===== Satz IV.2 =====<br />
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen<br />
<br />
===== Beweis von Satz IV.2 =====<br />
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)<br />
===== Satz IV.3 =====<br />
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.<br />
===== Beweis von Satz IV.3 =====<br />
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.<br />
<br />
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 7.5]]</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Beweise_von_StudentenBeweise von Studenten2010-07-24T20:04:57Z<p>Principella: /* Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel */</p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ihr habt Recht, mein Winkelmaßaxiom ist etwas veraltet, dass kommt davon wenn man sich alles irgendwo zusammensuchen muss :( <br />
Wir dürfen dann also immer davon ausgehen dass Nullwinkel und gestreckte Winkel nicht existieren und bei einem Beweis durch Widerspruch haben wir die Behauptung automatisch bewiesen, wenn wir durch unsere Annahme auf einen Nullwinkel oder einen gestreckten Winkel stoßen? Habe ich das so richtig verstanden???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:04, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn <s>es</s> das Trapez ein Sehnenviereck ist" <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC). Verbessert --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />RE:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
* Vielen Dank. Habe es oben verbesstert.<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
Eine analoge Formulierung wäre:<br />
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.<br />
<br />Noch eine Umformung:<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.<br />
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.<br />
<br />
[[Bild:Umkehrung_Thales.png|1000px]]<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Strahl schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.<br />
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math><br />
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...<br />
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Winkeladditionsaxiom<br />
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math><br />
<br />180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math><br />
<br />90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math><br />
<br /><math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
Algebraische Umformung<br />
<br />Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math><br />
| (IV) (V), Basiswinkelsatz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math><br />
| (III) (VI)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ P \equiv M</math><br />
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math><br />
| (VII) (VIII) <br />
|}<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 03:45, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Umkehrung 2 des Satz des Thales===<br />
Ist ein Periphereiwinkel <math> \gamma </math> über eine Sehne s eines Kreises k ein rechter Winkel, so ist die Sehne s ein Durchmesser des Kreises k.<br />
<br />
VSS: <math> \gamma </math> ist Peripheriewinkel des Kreises k, <math> \gamma = 90</math>, <math> \overline{AB} </math> ist Sehne von k<br /><br />
Beh: <math> M \in \overline{AB} </math><br /><br />
<br />
Hat jemand eine Idee, ich komm einfach nicht drauf?!?!--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:11, 24. Jul. 2010 (UTC)<br /></div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Mittelsenkrechte_und_WinkelhalbierendeMittelsenkrechte und Winkelhalbierende2010-07-24T19:51:55Z<p>Principella: /* Definition VI.2 */</p>
<hr />
<div>== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==<br />
=== Mittelsenkrechte ===<br />
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:<br />
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.<br />
<br />
<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" /><br />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====<br />
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn <br />
<br />
::# <math>m \perp AB</math><br />
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
<br />
===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====<br />
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.<br />
<br />
===== Beweis von Satz VI.1 =====<br />
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.<br />
<br />
====== Behauptungen: ======<br />
<br />
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.<br />
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.<br />
<br />
====== Beweis der Existenzbehauptung: ======<br />
<br />
Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
| (i)<br />
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math><br />
| Definition III.1 (Mittelpunkt)<br />
|-<br />
| (ii)<br />
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math><br />
| Definition V.6 (rechter Winkel) <br />
|-<br />
| (iii)<br />
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math><br />
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht),<br />Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)<br />
|}<br />
<br />
Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.<br />
<br />
====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======<br />
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).<br />
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.<br />
<br />
=== Winkelhalbierende ===<br />
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.<br />
<br />
<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Definition VI.2 =====<br />
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.<br />
<br />
===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====<br />
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====<br />
Übungsaufgabe 10.4<br />
<br />
===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====<br />
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.<br />
<br />
===== Beweis von Satz VI.2 =====<br />
Übungsaufgabe 10.5<br />
<br />
Die Lösung dieser Übungsaufgabe dient der Antwort von 10.4...<br />
Doch wo wird Satz V.2 bewiesen: Zu jedem Winkel gibt es GENAU EINE Winkelhalbierende?</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDiskussion:Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-24T19:50:12Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Winkelhalbierendekriterium (in meinem Axiomensystem):<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.<br />
<br /><br /> ...denn sonst hätten wir ja wieder das Problem, dass P auf den Schenkeln liegen kann und ich habe es so verstanden, dass das bei Winkelhalbierenden nicht sein darf...<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 13:30, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />Weshalb sollte S als Scheitelpunkt von <ASB nicht zur Winkelhalbierenden gehören? Und sollte das doch verboten sein, dann könnte man ja einfach vom offenen Inneren des Winkels sprechen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 19:06, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich habe eigentlich nicht von S geredet, ich meinte die Punkte der beiden Schenkel, die unter speziellen Umständen auch die genannten Kriterien erfüllen können und zwar wenn der Abstand gleich Null wäre...<br />
Da wir aber offensichtlich davon ausgehen dass Nullwinkel nicht existieren, hat sich das Ganze erledigt. Sorry, wenn ich für noch mehr Verwirrung gesorgt hab :) Mein Winkelmaßaxiom war anscheinend n bissle veraltet..<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:50, 24. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDer Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:31:33Z<p>Principella: /* Winkelhalbierendekriterium */</p>
<hr />
<div>=== Definition Winkelhalbierende: ===<br />
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.<br />
<br /><br /><br />
<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)<br />
<br />
=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===<br />
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Winkelhalbierendekriterium ===<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.<br />
<br /><br /><br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre.<br /><br />
<br />
Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]]<br />
Also es handelt sich um zwei Teilaussagen:<br /><br />
<br />
Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels ein und denselben Abstand. Kann mit Hilfe des Lots bewiesen werden.<br /><br />
<br />
Wenn ein Punkt P zu dem Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierende des Winkels.<br /><br />
<br />
Alles unter der Voraussetzung P ist im Innere des Winkels.<br />
Meine Frage, kann ich im zweiten Teil, nach dem ich mit Hilfe eines Widerspruchs von einem Punkt Q, für den gibt, dass er ein und denselben Abstand zu den Schenkeln hat, aber nicht auf der WH liegt, ein Lot auf die beiden Schenkel fällen. So entstehen zwei Dreiecke,die kongruent sind. Kann ich das über über Seite-Seite-Winkel beweisen?<br />
<br />
=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===<br />
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.<br />
<br /><br /><br />
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.<br />
<br />
<br />
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.<br />
<br />
== Inkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition Inkreis =====<br />
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)<br />
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
Wie ist denn die Definition von "berühren"?<br />
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)<br />
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...<br />
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben.<br /><br />
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?)<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
Joa da bin ich auch dabei!--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 09:35, 22. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDiskussion:Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:31:14Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Winkelhalbierendekriterium (in meinem Axiomensystem):<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.<br />
<br /><br /> ...denn sonst hätten wir ja wieder das Problem, dass P auf den Schenkeln liegen kann und ich habe es so verstanden, dass das bei Winkelhalbierenden nicht sein darf...<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 13:30, 22. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDiskussion:Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:30:48Z<p>Principella: </p>
<hr />
<div>Winkelhalbierendekriterium:<br />
<br />
In meinem Axiomensystem:<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.<br />
<br /><br /> ...denn sonst hätten wir ja wieder das Problem, dass P auf den Schenkeln liegen kann und ich habe es so verstanden, dass das bei Winkelhalbierenden nicht sein darf...<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 13:30, 22. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Diskussion:Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDiskussion:Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:30:27Z<p>Principella: Die Seite wurde neu angelegt: Winkelhalbierendekriterium: In meinem Axiomensystem: <br /> Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im ...</p>
<hr />
<div>Winkelhalbierendekriterium:<br />
<br />
In meinem Axiomensystem:<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.<br />
<br /><br />, denn sonst hätten wir ja wieder das Problem, dass P auf den Schenkeln liegen kann und ich habe es so verstanden, dass das bei Winkelhalbierenden nicht sein darf...<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 13:30, 22. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDer Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T02:38:28Z<p>Principella: /* Winkelhalbierendekriterium */</p>
<hr />
<div>=== Definition Winkelhalbierende: ===<br />
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.<br />
<br /><br /><br />
<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)<br />
<br />
=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===<br />
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Winkelhalbierendekriterium ===<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.<br />
<br /><br /><br />
<br />
In meinem Axiomensystem(--[[Benutzer:Principella|Principella]] 02:38, 22. Jul. 2010 (UTC)):<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.<br />
<br /><br /><br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre.<br /><br />
<br />
Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===<br />
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.<br />
<br /><br /><br />
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.<br />
<br />
<br />
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.<br />
<br />
--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]]<br />
Also es handelt sich um zwei Teilaussagen:<br /><br />
<br />
Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels ein und denselben Abstand. Kann mit Hilfe des Lots bewiesen werden.<br /><br />
<br />
Wenn ein Punkt P zu dem Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierende des Winkels.<br /><br />
<br />
Alles unter der Voraussetzung P ist im Innere des Winkels.<br />
Meine Frage, kann ich im zweiten Teil, nach dem ich mit Hilfe eines Widerspruchs von einem Punkt Q, für den gibt, dass er ein und denselben Abstand zu den Schenkeln hat, aber nicht auf der WH liegt, ein Lot auf die beiden Schenkel fällen. So entstehen zwei Dreiecke,die kongruent sind. Kann ich das über über Seite-Seite-Winkel beweisen?<br />
<br />
== Inkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition Inkreis =====<br />
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)<br />
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
Wie ist denn die Definition von "berühren"?<br />
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)<br />
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...<br />
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben.<br /><br />
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?)<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDer Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T02:37:18Z<p>Principella: /* Winkelhalbierendekriterium */</p>
<hr />
<div>=== Definition Winkelhalbierende: ===<br />
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.<br />
<br /><br /><br />
<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)<br />
<br />
=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===<br />
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Winkelhalbierendekriterium ===<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.<br />
<br /><br /><br />
<br />
In meinem Axiomensystem:<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.<br />
<br /><br />--[[Benutzer:Principella|Principella]] 02:37, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre.<br /><br />
<br />
Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===<br />
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.<br />
<br /><br /><br />
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.<br />
<br />
<br />
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.<br />
<br />
--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]]<br />
Also es handelt sich um zwei Teilaussagen:<br /><br />
<br />
Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels ein und denselben Abstand. Kann mit Hilfe des Lots bewiesen werden.<br /><br />
<br />
Wenn ein Punkt P zu dem Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierende des Winkels.<br /><br />
<br />
Alles unter der Voraussetzung P ist im Innere des Winkels.<br />
Meine Frage, kann ich im zweiten Teil, nach dem ich mit Hilfe eines Widerspruchs von einem Punkt Q, für den gibt, dass er ein und denselben Abstand zu den Schenkeln hat, aber nicht auf der WH liegt, ein Lot auf die beiden Schenkel fällen. So entstehen zwei Dreiecke,die kongruent sind. Kann ich das über über Seite-Seite-Winkel beweisen?<br />
<br />
== Inkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition Inkreis =====<br />
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)<br />
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
Wie ist denn die Definition von "berühren"?<br />
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)<br />
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...<br />
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben.<br /><br />
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?)<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_DreiecksDer Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T02:36:44Z<p>Principella: /* Winkelhalbierendekriterium */</p>
<hr />
<div>=== Definition Winkelhalbierende: ===<br />
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.<br />
<br /><br /><br />
<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)<br />
<br />
=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===<br />
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Winkelhalbierendekriterium ===<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.<br />
<br /><br /><br />
<br />
In meinem Axiomensystem:<br />
<br /><br />
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.<br />
<br /><br /><br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 02:36, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre.<br /><br />
<br />
Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===<br />
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.<br />
<br /><br /><br />
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.<br />
<br />
<br />
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.<br />
<br />
--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]]<br />
Also es handelt sich um zwei Teilaussagen:<br /><br />
<br />
Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels ein und denselben Abstand. Kann mit Hilfe des Lots bewiesen werden.<br /><br />
<br />
Wenn ein Punkt P zu dem Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierende des Winkels.<br /><br />
<br />
Alles unter der Voraussetzung P ist im Innere des Winkels.<br />
Meine Frage, kann ich im zweiten Teil, nach dem ich mit Hilfe eines Widerspruchs von einem Punkt Q, für den gibt, dass er ein und denselben Abstand zu den Schenkeln hat, aber nicht auf der WH liegt, ein Lot auf die beiden Schenkel fällen. So entstehen zwei Dreiecke,die kongruent sind. Kann ich das über über Seite-Seite-Winkel beweisen?<br />
<br />
== Inkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition Inkreis =====<br />
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)<br />
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
Wie ist denn die Definition von "berühren"?<br />
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)<br />
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...<br />
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben.<br /><br />
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?)<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_12.1Lösung von Aufgabe 12.12010-07-21T11:28:56Z<p>Principella: /* Frage */</p>
<hr />
<div>= Der schwache Außenwinkelsatz =<br />
== Aufgabenstellung ==<br />
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum? <br />
<br /><br />[[Der_schwache_Außenwinkelsatz|Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
<br /><br />[[Bild:Skizze_Übung_12_1.png|900px]]<br />
<br /><br /> Hier nochmal: der Beweisschritt 2a, die Bezeichnungen wurden angepasst, bzw. stimmen mit der Skizze nun überein.<br />
Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /><br />
<br />
Der Punkt <math>\ P</math> würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels <math>\beta^'</math> liegen,wenn er <br />
# in Halbenbene <math>\ AB,C^+</math> <br />oder<br /><br />
# in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br />liegen würde.<br />
<br />
<u>zu 1.</u><br /><br />
Als Punkt der Halberaden <math>\ MC^-</math> (Konstruktion von <math>\ P</math>) kann <math>\ P</math> nicht mit <math>\ C</math> auf ein und derselben Seite bezüglich <math>\ AB</math> liegen.<br /><br />
<br />
<u>zu 2.</u><br /><br />
<u>2.a</u><br /><br />
Annahme: <math>\ P \in CB</math><br />
In diesem Fall würde gelten: <math>\ CP \equiv CB</math>. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade <math>\ CP \equiv \ CB</math> mit <math>\ g</math> zu bezeichnen.<br /><br />
Die Gerade <math>\ CP</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ M</math>.<br /><br />
Die Gerade <math>\ CB</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ B</math>.<br /><br />
Da die beiden Geraden <math>\ CB</math> und <math>\ CP</math> identisch sind und die nichtidentischen Geraden <math>\ g</math> und <math>\ AB</math> maximal einen Punkt gemeinsam haben können, <br />müssen die beiden Punkte <math>\ M</math> und <math>\ B</math> identisch sein.<br /><br />
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von <math>\ M</math>.<math>\ M</math> ist nämlich der Mittelpunkt von <math>\ \overline{AB}</math>.<br /><br /><br />
<br />
== Lösung 1 ==<br />
Ja, der Fall, dass <math>P \in CB</math> muss durchdacht werden, da die Lage des Punktes <u>theoretisch</u> überall im Schnittpunkt der Halbebenen ligen kann. Wenn man den zweiten Teil des Beweises (ohne Hilfskonstruktion) betrachtet, ist die (mögliche) Lage von <math>\ P</math> nicht sofort ersichtlich.<br />
<br />Allerdings kann man auch begründen: Nein, man muss den Fall nicht aufführen, da es trivial ist, die Lage von <math>\ P \ auf \ CB</math> zu widerlegen. Man kann es sich bildlich so vorstellen, dass <math>\ P</math> ja mithilfe des Mittelpunktes der Strecke <math>\overline {AB}</math> konstruiert wurde und deshalb - sollte <math>P \in CB</math> sein - die Strahlen <math>\ CA^+ \ CM^+ \ und \ CB^+</math> identisch seien.<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 21:16, 11. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Lösung 2 ==<br />
Wenn wir mit einem indirekten Beweis zeigen dass P nicht in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br /> liegen kann (haben wir), so gilt das für die komplette GESCHLOSSENE Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br /> d.h. auch für die Trägergerade CB.<br />
Wir wissen also schon dass P nicht auf CB liegen kann, dieser Teil ist also überflüssig...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:59, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Frage ==<br />
Unabhängig von der Aufgabenstellung mal: Müsste ich falls ich das zeigen müsste nich auch genau so zeigen, dass<br />
P nicht auf der Geraden AB liegen kann? --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 08:24, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
In diesem Fall definitiv nicht, aber es kommt immer drauf an wie wir den Beweis geführt haben. Wenn es ein indirekter Beweis ist, nehmen wir genau das an, was wir nicht wollen und schließen beim Widerspruch alles "Angenommene" automatisch aus.<br />
1) ist zwar ein direkter Beweis, aber es ist dasselbe Prinzip. Wir sagen dass P NICHT in ein und derselben (geschlossenen) Halbebene mit C liegen kann (Begründung = Konstruktion von P), also bleibt nur noch eine Möglichkeit = P liegt in der OFFENEN Halbebene AB,C- (d.h. ohne AB)<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 11:28, 21. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufgabe_12.1Lösung von Aufgabe 12.12010-07-21T11:27:47Z<p>Principella: /* Frage */</p>
<hr />
<div>= Der schwache Außenwinkelsatz =<br />
== Aufgabenstellung ==<br />
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum? <br />
<br /><br />[[Der_schwache_Außenwinkelsatz|Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
<br /><br />[[Bild:Skizze_Übung_12_1.png|900px]]<br />
<br /><br /> Hier nochmal: der Beweisschritt 2a, die Bezeichnungen wurden angepasst, bzw. stimmen mit der Skizze nun überein.<br />
Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /><br />
<br />
Der Punkt <math>\ P</math> würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels <math>\beta^'</math> liegen,wenn er <br />
# in Halbenbene <math>\ AB,C^+</math> <br />oder<br /><br />
# in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br />liegen würde.<br />
<br />
<u>zu 1.</u><br /><br />
Als Punkt der Halberaden <math>\ MC^-</math> (Konstruktion von <math>\ P</math>) kann <math>\ P</math> nicht mit <math>\ C</math> auf ein und derselben Seite bezüglich <math>\ AB</math> liegen.<br /><br />
<br />
<u>zu 2.</u><br /><br />
<u>2.a</u><br /><br />
Annahme: <math>\ P \in CB</math><br />
In diesem Fall würde gelten: <math>\ CP \equiv CB</math>. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade <math>\ CP \equiv \ CB</math> mit <math>\ g</math> zu bezeichnen.<br /><br />
Die Gerade <math>\ CP</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ M</math>.<br /><br />
Die Gerade <math>\ CB</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ B</math>.<br /><br />
Da die beiden Geraden <math>\ CB</math> und <math>\ CP</math> identisch sind und die nichtidentischen Geraden <math>\ g</math> und <math>\ AB</math> maximal einen Punkt gemeinsam haben können, <br />müssen die beiden Punkte <math>\ M</math> und <math>\ B</math> identisch sein.<br /><br />
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von <math>\ M</math>.<math>\ M</math> ist nämlich der Mittelpunkt von <math>\ \overline{AB}</math>.<br /><br /><br />
<br />
== Lösung 1 ==<br />
Ja, der Fall, dass <math>P \in CB</math> muss durchdacht werden, da die Lage des Punktes <u>theoretisch</u> überall im Schnittpunkt der Halbebenen ligen kann. Wenn man den zweiten Teil des Beweises (ohne Hilfskonstruktion) betrachtet, ist die (mögliche) Lage von <math>\ P</math> nicht sofort ersichtlich.<br />
<br />Allerdings kann man auch begründen: Nein, man muss den Fall nicht aufführen, da es trivial ist, die Lage von <math>\ P \ auf \ CB</math> zu widerlegen. Man kann es sich bildlich so vorstellen, dass <math>\ P</math> ja mithilfe des Mittelpunktes der Strecke <math>\overline {AB}</math> konstruiert wurde und deshalb - sollte <math>P \in CB</math> sein - die Strahlen <math>\ CA^+ \ CM^+ \ und \ CB^+</math> identisch seien.<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 21:16, 11. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Lösung 2 ==<br />
Wenn wir mit einem indirekten Beweis zeigen dass P nicht in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br /> liegen kann (haben wir), so gilt das für die komplette GESCHLOSSENE Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br /> d.h. auch für die Trägergerade CB.<br />
Wir wissen also schon dass P nicht auf CB liegen kann, dieser Teil ist also überflüssig...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:59, 19. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Frage ==<br />
Unabhängig von der Aufgabenstellung mal: Müsste ich falls ich das zeigen müsste nich auch genau so zeigen, dass<br />
P nicht auf der Geraden AB liegen kann? --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 08:24, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
In diesem Fall definitiv nicht, aber es kommt immer drauf an wie wir den Beweis geführt haben. Wenn es ein indirekter Beweis ist, nehmen wir genau das an, was wir nicht wollen und schließen beim Widerspruch alles "Angenommene" automatisch aus.<br />
1) ist zwar ein direkter Beweis, aber es ist dasselbe Prinzip. Wir sagen dass P NICHT in ein und derselben (geschlossenen) Halbebene mit C liegen kann (Begründung = Konstruktion von P), also bleibt nur noch eine Möglichkeit = P liegt in der OFFENEN Halbebene AB,C- <br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 11:27, 21. Jul. 2010 (UTC)</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Halbebenen_oder_das_Axiom_von_PaschHalbebenen oder das Axiom von Pasch2010-07-21T11:08:39Z<p>Principella: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */</p>
<hr />
<div>= Halbebenen und das Axiom von Pasch =<br />
== Halbebenen ==<br />
=== Analogiebetrachtungen ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center><br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center><br />
<br />
|-<br />
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
|}<br />
{|class="wikitable center"<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ G</math> ist eine Gerade<br />
| <math>\ G</math> ist eine Ebene<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center><br />
<br />
|-<br />
| eindimensional<br />
| zweidimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center><br />
<br />
|-<br />
| Anfangspunkt <math>\ A</math><br />
| Trägergerade <math>\ g</math><br />
<br />
|- <br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center><br />
<br />
|-<br />
| nulldimensional<br />
| eindimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 1: </center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/><br />
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math><br />
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 2:</center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math><br />
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math><br />
<br />
|}<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.<br />
<br />
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Zu gQ+:<br />
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...<br />
<br />
Zu gQ-:<br />
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. <br />
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===<br />
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====<br />
{| <br />
|-<br />
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.<br />
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]<br />
|-<br />
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.<br />
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]<br />
|}<br />
==== Offene Halbebenen ====<br />
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.<br />
<br />
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math><br />
<br />
==== Halbebenen ====<br />
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==<br />
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===<br />
===== Satz IV.1 =====<br />
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.<br />
<br />
===== Beweis des Satzes IV.1 =====<br />
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====<br />
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
<br />'''Fallunterscheidung:'''<br />
<br />Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
<br />Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung<br />
|- <br />
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)<br />
|- <br />
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).<br />
<br /> Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.<br />
|| Schritt (3) und Satz von Pasch<br />
|- <br />
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)<br />
|- <br />
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und<br />
<br /> <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)<br />
|- <br />
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)<br />
|- <br />
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}<br />
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:<br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3] <br />
|- <br />
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
<br /> Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik<br />
|- <br />
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''|| <br />
|}<br />
<br />
Stimmt das so? Nochmal geändert...<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
<br />
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.<br />
<br />
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?<br />
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann <math>\ Q_2</math> doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?<br />
Wenn nicht könnte also <math>\ Q_2</math> auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte <math>\ Q_2</math> kein "Referenzpunkt" sein...<br />
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht. <br />Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema (Fall 1) unter '''Schritt 2''' (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), '''Schritt 4''' (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von '''Schritt 8''' (auf einmal ist von disjunkten <u>offenen</u> Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt. <br />Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz.<br />--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich find du hast Recht, der Beweis sollte nur mit offenen Halbebenen geführt werden, denn nur so hat das mit de Repräsentanten überhaupt einen Sinn = Repräsentanten sind nur Repräsentanten einer offenen Halbebene, denn wenn sie Repräsentant beider Halbebenen sein könnten (im Fall der geschlossenen Halbebenen) wäre das Ganze ja sowieso quatsch...<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 11:08, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==<br />
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''<br />
<br />
<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====<br />
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
= Konvexe Punktmengen =<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
===== Satz IV.2 =====<br />
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen<br />
<br />
===== Beweis von Satz IV.2 =====<br />
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)<br />
===== Satz IV.3 =====<br />
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.<br />
===== Beweis von Satz IV.3 =====<br />
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.<br />
<br />
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 7.5]]</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Halbebenen_oder_das_Axiom_von_PaschHalbebenen oder das Axiom von Pasch2010-07-20T22:33:45Z<p>Principella: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */</p>
<hr />
<div>= Halbebenen und das Axiom von Pasch =<br />
== Halbebenen ==<br />
=== Analogiebetrachtungen ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center><br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center><br />
<br />
|-<br />
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
|}<br />
{|class="wikitable center"<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ G</math> ist eine Gerade<br />
| <math>\ G</math> ist eine Ebene<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center><br />
<br />
|-<br />
| eindimensional<br />
| zweidimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center><br />
<br />
|-<br />
| Anfangspunkt <math>\ A</math><br />
| Trägergerade <math>\ g</math><br />
<br />
|- <br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center><br />
<br />
|-<br />
| nulldimensional<br />
| eindimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 1: </center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/><br />
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math><br />
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 2:</center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math><br />
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math><br />
<br />
|}<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.<br />
<br />
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Zu gQ+:<br />
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...<br />
<br />
Zu gQ-:<br />
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. <br />
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===<br />
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====<br />
{| <br />
|-<br />
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.<br />
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]<br />
|-<br />
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.<br />
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]<br />
|}<br />
==== Offene Halbebenen ====<br />
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.<br />
<br />
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math><br />
<br />
==== Halbebenen ====<br />
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==<br />
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===<br />
===== Satz IV.1 =====<br />
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.<br />
<br />
===== Beweis des Satzes IV.1 =====<br />
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====<br />
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
<br />'''Fallunterscheidung:'''<br />
<br />Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
<br />Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung<br />
|- <br />
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)<br />
|- <br />
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).<br />
<br /> Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.<br />
|| Schritt (3) und Satz von Pasch<br />
|- <br />
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)<br />
|- <br />
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und<br />
<br /> <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)<br />
|- <br />
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)<br />
|- <br />
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}<br />
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:<br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3] <br />
|- <br />
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
<br /> Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik<br />
|- <br />
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''|| <br />
|}<br />
<br />
Stimmt das so? Nochmal geändert...<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
<br />
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.<br />
<br />
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?<br />
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann <math>\ Q_2</math> doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?<br />
Wenn nicht könnte also <math>\ Q_2</math> auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte <math>\ Q_2</math> kein "Referenzpunkt" sein...<br />
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==<br />
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''<br />
<br />
<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADkmxTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VlLcuM2EF1nToHiIjtTBCFSYkXylD+zcJVjp8qTWWSTAkmIQkyCCgnakk+Qm+ReOUkaAElRkmVLGsXjjDcwGi00+r3+WR59nGcpemBFyXMxtrDtWIiJKI+5SMZWJScnQ+vj6YdRwvKEhQVFk7zIqBxbxHYtJa/46YcfRuU0f0Q01SpfOHscWxOalsxC5axgNC6njMkVOa3mPOW0WNyGf7BIlssDc8mVmFVgRRYVyKIsvuZls+1pg7OUy0v+wGNWoDSPxpbvwdPhty+skDyi6djqO0biji137RBERJ1O84I/5UIq9eXlE5AgVPInBp90lGzU046OWBWlPOZUKGf0O0AJoUcey+nY8pSVKePJVAHUx+a2KM+L+G5RSpah+W+syOFlvsJ5YTYn3lDtSngW2PMcfdTd6VvYwx2TElgpEZ2zJV5JweOVzVV5nqdL0SznQl7QmawKTSmpRXdyoQyArUK990wkKatlLiA+ZdF9mM/vNAaYmKs/L2b6I/pBYXKRp3mBCoWuBwr1GppV66iXtlqO1nG0Rn2HurQ9x4GrNfQamlVrpVyYp9We48Zr7DRmeImUQMEIkdg6n9KQAbMWqgSX180GIuC+dhWbD9xUWQgp0I2B9k58rDtHvbXoGd2zQrDUxIgAbqu8KtGDikVjSz8kZhHPYGsOakiooutXeICRxiwpWPNwk0AGMH3qdONwTTzqNY9QbyjhrZGESgD+SOWLSlQJSTK2MjuxLRRTqaQqE1KWMUgTqWNCh1SLzZnV1oRcp3eTyPX5EmU4fjY+dCTRdDalIGlSIKULSPauS/q+28mkZBLNIZOID6nT5Gx9/HMer+JABeCpnYSUnKn7FWMzxuK6/sk6zNEMLOqk6dChUSyVNWz7rjZ34tl9MPxkPq61TIqp2qAtk5p/g9kr6J1/I/QMdiR4C+x8G0N1Xv5gAySURb8rdrzjwXrxprC+NXLu3iEY5VlGRYwEzcDuL3m6SHKhMeKq9yLqqERGFKuIRNRVCBp4KtmcQx1LoVFgoxYZNQoLGVuhMVibeYYcY7CBv71qteLLKRRWwcpStyXZbUDbqewA1+USe0Sz6eG6By3JxPuQuT3iSpaoXfuQ6Nt4s2doLoPLsVfTT+UfRFff9txn0tIl9sAZbDTpF5xkfwqjU5pWyTMY4yIu28BKVeRfCQmNk+lGtNkP7xmbqUHkVnwuqCjVPGp0On12R3roe6Sn085w3V+Iuxt9J+R5/vRIqQhzbex0qwf5/3IXvm/u3L6hDg93o47oqR8+sCXXTtzA9sjmRPx+CVvtvpffR/cdPJ9gMAHiI06An74PsFybNAVM3XD4cHIN4b42mVyakePTxkiSvDx2qMxpcUyOUUOWZMAfUDE3uIH2ba0cox8T+RMCENE/f/2N2Op20m5fJvSQGjRwdpjoO93Dhem7CWd3uDZkqhqEse0Nh52TY/WP7dS35WmNf2r4Tzb4v/udvjZ4dlNNqR+SbH5fk6OW0CxfP31h7MNAFeC2/tc9ZDiwXVX7G7FrcimwHafLkn9Iam3DN9yO76uD/Sq+4fvB1yEQv57fCV+Nb+DZPh5gz+DqQi33cKcHk2PiGm3HNdoP1+htcd38loV4u8F+Q2+0vl6fzHoAope8lFRE643gbBug8ctwiipjBY9auGJ9Lzykqp8Df1F7xMFBHweeQ/qB4+1eofFBrpxvc4Xt5wpbdwXbxA+wEzg+6fuDAQmC/9qVi22uTPZzZbLpSjAEHzw3wHgYOH3va1jpdb/y1F/y1//lOP0XUEsHCKIurGc0BQAAFxkAAFBLAQIUABQACAAIADkmxTyiLqxnNAUAABcZAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAbgUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====<br />
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
= Konvexe Punktmengen =<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
===== Satz IV.2 =====<br />
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen<br />
<br />
===== Beweis von Satz IV.2 =====<br />
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)<br />
===== Satz IV.3 =====<br />
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.<br />
===== Beweis von Satz IV.3 =====<br />
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.<br />
<br />
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 7.5]]</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Halbebenen_oder_das_Axiom_von_PaschHalbebenen oder das Axiom von Pasch2010-07-20T22:32:42Z<p>Principella: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */</p>
<hr />
<div>= Halbebenen und das Axiom von Pasch =<br />
== Halbebenen ==<br />
=== Analogiebetrachtungen ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center><br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center><br />
<br />
|-<br />
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
|}<br />
{|class="wikitable center"<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ G</math> ist eine Gerade<br />
| <math>\ G</math> ist eine Ebene<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center><br />
<br />
|-<br />
| eindimensional<br />
| zweidimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center><br />
<br />
|-<br />
| Anfangspunkt <math>\ A</math><br />
| Trägergerade <math>\ g</math><br />
<br />
|- <br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center><br />
<br />
|-<br />
| nulldimensional<br />
| eindimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 1: </center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/><br />
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math><br />
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 2:</center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math><br />
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math><br />
<br />
|}<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.<br />
<br />
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Zu gQ+:<br />
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...<br />
<br />
Zu gQ-:<br />
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. <br />
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===<br />
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====<br />
{| <br />
|-<br />
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.<br />
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]<br />
|-<br />
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.<br />
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]<br />
|}<br />
==== Offene Halbebenen ====<br />
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.<br />
<br />
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math><br />
<br />
==== Halbebenen ====<br />
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==<br />
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===<br />
===== Satz IV.1 =====<br />
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.<br />
<br />
===== Beweis des Satzes IV.1 =====<br />
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====<br />
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
<br />'''Fallunterscheidung:'''<br />
<br />Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
<br />Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung<br />
|- <br />
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)<br />
|- <br />
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).<br />
<br /> Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.<br />
|| Schritt (3) und Satz von Pasch<br />
|- <br />
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)<br />
|- <br />
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und<br />
<br /> <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)<br />
|- <br />
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)<br />
|- <br />
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}<br />
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:<br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3] <br />
|- <br />
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
<br /> Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik<br />
|- <br />
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''|| <br />
|}<br />
<br />
Stimmt das so? Nochmal geändert...<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
<br />
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.<br />
<br />
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?<br />
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann Q_2 doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?<br />
Wenn nicht könnte also \ Q_2 auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte Q_2 kein "Referenzpunkt" sein...<br />
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==<br />
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''<br />
<br />
<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADkmxTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VlLcuM2EF1nToHiIjtTBCFSYkXylD+zcJVjp8qTWWSTAkmIQkyCCgnakk+Qm+ReOUkaAElRkmVLGsXjjDcwGi00+r3+WR59nGcpemBFyXMxtrDtWIiJKI+5SMZWJScnQ+vj6YdRwvKEhQVFk7zIqBxbxHYtJa/46YcfRuU0f0Q01SpfOHscWxOalsxC5axgNC6njMkVOa3mPOW0WNyGf7BIlssDc8mVmFVgRRYVyKIsvuZls+1pg7OUy0v+wGNWoDSPxpbvwdPhty+skDyi6djqO0biji137RBERJ1O84I/5UIq9eXlE5AgVPInBp90lGzU046OWBWlPOZUKGf0O0AJoUcey+nY8pSVKePJVAHUx+a2KM+L+G5RSpah+W+syOFlvsJ5YTYn3lDtSngW2PMcfdTd6VvYwx2TElgpEZ2zJV5JweOVzVV5nqdL0SznQl7QmawKTSmpRXdyoQyArUK990wkKatlLiA+ZdF9mM/vNAaYmKs/L2b6I/pBYXKRp3mBCoWuBwr1GppV66iXtlqO1nG0Rn2HurQ9x4GrNfQamlVrpVyYp9We48Zr7DRmeImUQMEIkdg6n9KQAbMWqgSX180GIuC+dhWbD9xUWQgp0I2B9k58rDtHvbXoGd2zQrDUxIgAbqu8KtGDikVjSz8kZhHPYGsOakiooutXeICRxiwpWPNwk0AGMH3qdONwTTzqNY9QbyjhrZGESgD+SOWLSlQJSTK2MjuxLRRTqaQqE1KWMUgTqWNCh1SLzZnV1oRcp3eTyPX5EmU4fjY+dCTRdDalIGlSIKULSPauS/q+28mkZBLNIZOID6nT5Gx9/HMer+JABeCpnYSUnKn7FWMzxuK6/sk6zNEMLOqk6dChUSyVNWz7rjZ34tl9MPxkPq61TIqp2qAtk5p/g9kr6J1/I/QMdiR4C+x8G0N1Xv5gAySURb8rdrzjwXrxprC+NXLu3iEY5VlGRYwEzcDuL3m6SHKhMeKq9yLqqERGFKuIRNRVCBp4KtmcQx1LoVFgoxYZNQoLGVuhMVibeYYcY7CBv71qteLLKRRWwcpStyXZbUDbqewA1+USe0Sz6eG6By3JxPuQuT3iSpaoXfuQ6Nt4s2doLoPLsVfTT+UfRFff9txn0tIl9sAZbDTpF5xkfwqjU5pWyTMY4yIu28BKVeRfCQmNk+lGtNkP7xmbqUHkVnwuqCjVPGp0On12R3roe6Sn085w3V+Iuxt9J+R5/vRIqQhzbex0qwf5/3IXvm/u3L6hDg93o47oqR8+sCXXTtzA9sjmRPx+CVvtvpffR/cdPJ9gMAHiI06An74PsFybNAVM3XD4cHIN4b42mVyakePTxkiSvDx2qMxpcUyOUUOWZMAfUDE3uIH2ba0cox8T+RMCENE/f/2N2Op20m5fJvSQGjRwdpjoO93Dhem7CWd3uDZkqhqEse0Nh52TY/WP7dS35WmNf2r4Tzb4v/udvjZ4dlNNqR+SbH5fk6OW0CxfP31h7MNAFeC2/tc9ZDiwXVX7G7FrcimwHafLkn9Iam3DN9yO76uD/Sq+4fvB1yEQv57fCV+Nb+DZPh5gz+DqQi33cKcHk2PiGm3HNdoP1+htcd38loV4u8F+Q2+0vl6fzHoAope8lFRE643gbBug8ctwiipjBY9auGJ9Lzykqp8Df1F7xMFBHweeQ/qB4+1eofFBrpxvc4Xt5wpbdwXbxA+wEzg+6fuDAQmC/9qVi22uTPZzZbLpSjAEHzw3wHgYOH3va1jpdb/y1F/y1//lOP0XUEsHCKIurGc0BQAAFxkAAFBLAQIUABQACAAIADkmxTyiLqxnNAUAABcZAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAbgUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====<br />
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
= Konvexe Punktmengen =<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
===== Satz IV.2 =====<br />
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen<br />
<br />
===== Beweis von Satz IV.2 =====<br />
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)<br />
===== Satz IV.3 =====<br />
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.<br />
===== Beweis von Satz IV.3 =====<br />
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.<br />
<br />
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 7.5]]</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Halbebenen_oder_das_Axiom_von_PaschHalbebenen oder das Axiom von Pasch2010-07-20T22:31:46Z<p>Principella: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */</p>
<hr />
<div>= Halbebenen und das Axiom von Pasch =<br />
== Halbebenen ==<br />
=== Analogiebetrachtungen ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center><br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center><br />
<br />
|-<br />
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
|}<br />
{|class="wikitable center"<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ G</math> ist eine Gerade<br />
| <math>\ G</math> ist eine Ebene<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center><br />
<br />
|-<br />
| eindimensional<br />
| zweidimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center><br />
<br />
|-<br />
| Anfangspunkt <math>\ A</math><br />
| Trägergerade <math>\ g</math><br />
<br />
|- <br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center><br />
<br />
|-<br />
| nulldimensional<br />
| eindimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 1: </center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/><br />
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math><br />
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 2:</center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math><br />
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math><br />
<br />
|}<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.<br />
<br />
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Zu gQ+:<br />
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...<br />
<br />
Zu gQ-:<br />
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. <br />
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===<br />
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====<br />
{| <br />
|-<br />
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.<br />
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]<br />
|-<br />
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.<br />
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]<br />
|}<br />
==== Offene Halbebenen ====<br />
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.<br />
<br />
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math><br />
<br />
==== Halbebenen ====<br />
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==<br />
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===<br />
===== Satz IV.1 =====<br />
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.<br />
<br />
===== Beweis des Satzes IV.1 =====<br />
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====<br />
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
<br />'''Fallunterscheidung:'''<br />
<br />Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
<br />Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung<br />
|- <br />
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)<br />
|- <br />
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).<br />
<br /> Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.<br />
|| Schritt (3) und Satz von Pasch<br />
|- <br />
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)<br />
|- <br />
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und<br />
<br /> <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)<br />
|- <br />
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)<br />
|- <br />
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}<br />
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:<br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3] <br />
|- <br />
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
<br /> Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik<br />
|- <br />
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''|| <br />
|}<br />
<br />
Stimmt das so? Nochmal geändert...<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
<br />
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.<br />
<br />
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?<br />
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann Q_2 doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?<br />
Wenn nicht könnte also Q_2 auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte Q_2 kein "Referenzpunkt" sein...<br />
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==<br />
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''<br />
<br />
<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====<br />
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
= Konvexe Punktmengen =<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
===== Satz IV.2 =====<br />
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen<br />
<br />
===== Beweis von Satz IV.2 =====<br />
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)<br />
===== Satz IV.3 =====<br />
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.<br />
===== Beweis von Satz IV.3 =====<br />
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.<br />
<br />
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 7.5]]</div>Principellahttp://geometrie.zum.de/wiki/Halbebenen_oder_das_Axiom_von_PaschHalbebenen oder das Axiom von Pasch2010-07-20T21:42:06Z<p>Principella: /* Analogiebetrachtungen */</p>
<hr />
<div>= Halbebenen und das Axiom von Pasch =<br />
== Halbebenen ==<br />
=== Analogiebetrachtungen ===<br />
<br />
{| class="wikitable center" <br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center><br />
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center><br />
<br />
|-<br />
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
|}<br />
{|class="wikitable center"<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ G</math> ist eine Gerade<br />
| <math>\ G</math> ist eine Ebene<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center><br />
<br />
|-<br />
| eindimensional<br />
| zweidimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center><br />
<br />
|-<br />
| Anfangspunkt <math>\ A</math><br />
| Trägergerade <math>\ g</math><br />
<br />
|- <br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center><br />
<br />
|-<br />
| nulldimensional<br />
| eindimensional<br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 1: </center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/><br />
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math><br />
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math><br />
<br />
|-<br />
| colspan="2" | <br />
<center>Klasse 2:</center><br />
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center><br />
<br />
|-<br />
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math><br />
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math><br />
<br />
|}<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.<br />
<br />
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
Zu gQ+:<br />
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...<br />
<br />
Zu gQ-:<br />
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. <br />
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!<br />
<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===<br />
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====<br />
{| <br />
|-<br />
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.<br />
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]<br />
|-<br />
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.<br />
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]<br />
|}<br />
==== Offene Halbebenen ====<br />
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.<br />
<br />
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.<br />
<br />
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====<br />
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math><br />
<br />
==== Halbebenen ====<br />
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.<br />
<br />
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====<br />
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
<br />
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==<br />
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===<br />
===== Satz IV.1 =====<br />
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.<br />
<br />
===== Beweis des Satzes IV.1 =====<br />
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====<br />
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
<br />'''Fallunterscheidung:'''<br />
<br />Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
<br />Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung<br />
|- <br />
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)<br />
|- <br />
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).<br />
<br /> Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.<br />
|| Schritt (3) und Satz von Pasch<br />
|- <br />
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)<br />
|- <br />
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und<br />
<br /> <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)<br />
|- <br />
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)<br />
|- <br />
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}<br />
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:<br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math><br />
<br /> Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.<br />
|- <br />
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''<br />
|- <br />
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math><br />Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math><br /> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene<br />
|- <br />
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder <br />
<br /><math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3] <br />
|- <br />
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Voraussetzung<br />
|- <br />
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
<br /> Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math><br />
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik<br />
|- <br />
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''|| <br />
|}<br />
<br />
Stimmt das so? Nochmal geändert...<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
<br />
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.<br />
<br />
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?<br />
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]<br />
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==<br />
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''<br />
<br />
<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADkmxTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VlLcuM2EF1nToHiIjtTBCFSYkXylD+zcJVjp8qTWWSTAkmIQkyCCgnakk+Qm+ReOUkaAElRkmVLGsXjjDcwGi00+r3+WR59nGcpemBFyXMxtrDtWIiJKI+5SMZWJScnQ+vj6YdRwvKEhQVFk7zIqBxbxHYtJa/46YcfRuU0f0Q01SpfOHscWxOalsxC5axgNC6njMkVOa3mPOW0WNyGf7BIlssDc8mVmFVgRRYVyKIsvuZls+1pg7OUy0v+wGNWoDSPxpbvwdPhty+skDyi6djqO0biji137RBERJ1O84I/5UIq9eXlE5AgVPInBp90lGzU046OWBWlPOZUKGf0O0AJoUcey+nY8pSVKePJVAHUx+a2KM+L+G5RSpah+W+syOFlvsJ5YTYn3lDtSngW2PMcfdTd6VvYwx2TElgpEZ2zJV5JweOVzVV5nqdL0SznQl7QmawKTSmpRXdyoQyArUK990wkKatlLiA+ZdF9mM/vNAaYmKs/L2b6I/pBYXKRp3mBCoWuBwr1GppV66iXtlqO1nG0Rn2HurQ9x4GrNfQamlVrpVyYp9We48Zr7DRmeImUQMEIkdg6n9KQAbMWqgSX180GIuC+dhWbD9xUWQgp0I2B9k58rDtHvbXoGd2zQrDUxIgAbqu8KtGDikVjSz8kZhHPYGsOakiooutXeICRxiwpWPNwk0AGMH3qdONwTTzqNY9QbyjhrZGESgD+SOWLSlQJSTK2MjuxLRRTqaQqE1KWMUgTqWNCh1SLzZnV1oRcp3eTyPX5EmU4fjY+dCTRdDalIGlSIKULSPauS/q+28mkZBLNIZOID6nT5Gx9/HMer+JABeCpnYSUnKn7FWMzxuK6/sk6zNEMLOqk6dChUSyVNWz7rjZ34tl9MPxkPq61TIqp2qAtk5p/g9kr6J1/I/QMdiR4C+x8G0N1Xv5gAySURb8rdrzjwXrxprC+NXLu3iEY5VlGRYwEzcDuL3m6SHKhMeKq9yLqqERGFKuIRNRVCBp4KtmcQx1LoVFgoxYZNQoLGVuhMVibeYYcY7CBv71qteLLKRRWwcpStyXZbUDbqewA1+USe0Sz6eG6By3JxPuQuT3iSpaoXfuQ6Nt4s2doLoPLsVfTT+UfRFff9txn0tIl9sAZbDTpF5xkfwqjU5pWyTMY4yIu28BKVeRfCQmNk+lGtNkP7xmbqUHkVnwuqCjVPGp0On12R3roe6Sn085w3V+Iuxt9J+R5/vRIqQhzbex0qwf5/3IXvm/u3L6hDg93o47oqR8+sCXXTtzA9sjmRPx+CVvtvpffR/cdPJ9gMAHiI06An74PsFybNAVM3XD4cHIN4b42mVyakePTxkiSvDx2qMxpcUyOUUOWZMAfUDE3uIH2ba0cox8T+RMCENE/f/2N2Op20m5fJvSQGjRwdpjoO93Dhem7CWd3uDZkqhqEse0Nh52TY/WP7dS35WmNf2r4Tzb4v/udvjZ4dlNNqR+SbH5fk6OW0CxfP31h7MNAFeC2/tc9ZDiwXVX7G7FrcimwHafLkn9Iam3DN9yO76uD/Sq+4fvB1yEQv57fCV+Nb+DZPh5gz+DqQi33cKcHk2PiGm3HNdoP1+htcd38loV4u8F+Q2+0vl6fzHoAope8lFRE643gbBug8ctwiipjBY9auGJ9Lzykqp8Df1F7xMFBHweeQ/qB4+1eofFBrpxvc4Xt5wpbdwXbxA+wEzg+6fuDAQmC/9qVi22uTPZzZbLpSjAEHzw3wHgYOH3va1jpdb/y1F/y1//lOP0XUEsHCKIurGc0BQAAFxkAAFBLAQIUABQACAAIADkmxTyiLqxnNAUAABcZAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAbgUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====<br />
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
= Konvexe Punktmengen =<br />
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
===== Satz IV.2 =====<br />
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen<br />
<br />
===== Beweis von Satz IV.2 =====<br />
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)<br />
===== Satz IV.3 =====<br />
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.<br />
===== Beweis von Satz IV.3 =====<br />
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.<br />
<br />
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 7.5]]</div>Principella