http://geometrie.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=WikiNutzerGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T13:55:59ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.21.2http://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._15.2_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)2011-07-27T10:57:25Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.<br /><br />
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird?<br /><br /><br />
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ...<br /><br /><br />
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?<br />
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011<br /><br />
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
<br />
<br />
c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.<br /><br /><br />
<br />
[[Datei:Muffinkopf_Übung_15_Nr.2.jpg]]--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:28, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
Hast du vielleicht eie Skizze dazu? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:28, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
[[Datei:Muffinkopf_Skizze_Übung_15.jpg]] hier die Skizze dazu --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 07:37, 25. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
Danke erstmal für die Skizze! Nur irgendwie versteh ich nicht genau, wo du die Annahme verwendest...--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 11:57, 25. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
<br />
<br />@Muffinkopf: Bei deinem ersten Schritt schneidest du einen Punkt mit einer Gerade, aber das geht doch gar nicht. Oder verstehe ich den Schritt falsch.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 17:08, 26. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Ich hab's mal mit fast der gleichen Beweisidee, aber einer viel schlechteren Skizze versucht:<br /><br /><br />
[[Datei:RechteTangente.jpg]]<br /><br /><br />
Meine Voraussetzung ist, dass g mit dem Kreis genau einen Punkt, nämlich A, gemeinsam hat.<br /><br />
Meine Annahme (für den indirekten Beweis) lautet, dass g nicht senkrecht auf MA steht, sondern unter dem Winkel <math>\alpha</math> schneidet. Dabei entscheide ich mich dafür, dass <math>\alpha</math> der (immer vorhandene) kleinere der beiden Schnittwinkel ist (nach Rechnen in R und Supplememtaxiom).<br /> <br />
1. Jetzt fälle ich das Lot von M auf g (Begründung: Existenz und Eindeutigkeit des Lotes).<br /><br />
2. Jetzt messe ich <math>\alpha</math> (Winkelmaßaxiom) und trage einen gleich großen Winkel <math>\alpha'</math> auf der anderen Halbebene bzgl des Lotes an. (Winkelkonstruktionsaxiom)<br /><br />
3. Jetzt messe ich die Strecke A-Fußpunkt (Abstandsaxiom) und trage den Abstand auf dem Strahl Fußpunkt-A<sup>-</sup> ab (Axiom vom Lineal). Den neuen Endpunkt der neuen Strecke nenne ich A'.<br /><br />
4. Jetzt betrachte ich das Dreieck A-M-Fußpunkt und das Dreieck Fußpunkt-M-A' und stelle fest, sie haben einen rechten Winkel am Fußpunkt, die Strecke Fußpunkt-M und den Winkel <math>\beta</math> bzw. den kongruent konstruierten Winkel <math>\beta'</math> gemeinsam, sind also nach WSW-Satz kongruent.<br /><br />
5. Da die Seite A'M aber damit genauso lang ist wie die Seite AM, welche wiederum der Kreisradius war (aus Tangentendefinition), muss Punkt A' auch zum Kreis gehören, denn das ist die Menge aller Punkte (der Ebene), die zu M diesen Abstand haben.<br /><br />
6. Da A' aber auch auf der Geraden g liegt (über Supplementaxiom am Fußpunkt), hat g in A' einen zweiten gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, was der Voraussetzung widerspricht.<br /><br />
Ist das so (abgesehen von den nicht formal korrekten Bezeichnungen der Seiten - LaTex ist etwas kompliziert) korrekt oder habe ich was übersehen? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 12:57, 27. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /> <br />
<br />
<br />
<br />
d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)?<br /><br /><br />
<br />
<ggb_applet width="546" height="527" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Datei:RechteTangente.jpgDatei:RechteTangente.jpg2011-07-27T10:28:37Z<p>WikiNutzer: {{Information
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<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
{{Information_ohne_UploadWizard<br />
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|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
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|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-frei}}</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/TangentenkriteriumTangentenkriterium2011-07-26T11:21:50Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>== Tangentenkriterium ==<br />
===== Kriterium: (Tangete am Kreis) =====<br />
::Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.<br /><br />
===== Satz 1: (Tangete am Kreis) =====<br />
::<math>\ t \cap k = \lbrace A\rbrace \Rightarrow MA \perp \ t </math> <br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
Beweis durch Wiederspruch:<br /><br />
Voraussetzung: <math>\ t \cap k = \lbrace A\rbrace</math><br /><br />
Behauptung: <math>MA \perp \ t </math><br /><br />
<br /><br />
Annahme: <math>\ MA \not\perp \ t</math> <br />
<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| 1 || Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B. || Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung<br />
|- <br />
| 2 || Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. <math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> und <math>|CB| = |BA|</math> || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze<br />
|-<br />
| 3 || <math>|\angle MBA | = |\angle MBC| = 90</math> || nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)<br />
|-<br />
| 4 || <math>\overline{MBA} \cong \overline{MBC} </math> || SWS, (2), (3) und weil trivialerweise <math> \overline{MB}</math> zu sich selbst kongruent ist.<br />
|-<br />
| 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) <math>|MC| = |MA| = r</math> nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.<br />
|}<br />
<br /><br />
<ggb_applet width="1366" height="604" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br /><br />
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />
Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br /><br />
<br /><br />
Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
===== Satz 2: (Tangente am Kreis) =====<br />
::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace \Rightarrow </math> t ist Tangente an k. <br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.<br />
<br /><br /><br />
Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST): Wenn in der Voraussetzung steht: ::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace </math>, heißt das dann nicht schon, dass es nur einen Schnittpunkt von t und k gibt? Vermutlich ist aber genau das zu beweisen, denn dass eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt schneidet, Tangente heißt, ist doch Definition und nicht Satz. Vielleicht wäre ::<math>MA \perp \ t \wedge \lbrace A\rbrace \in k \cap t<br />
</math> besser in der Voraussetzung? [Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende]<br /><br /><br />
Voraussetzung: <math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace </math><br /><br />
Behauptung: t ist Tangente an k <br /><br />
Annahme: Es ex. ein Punkt S: <math>S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace S\rbrace</math> <br />
<br /><br />
<br /><br />
Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.<br />
<br /><br />
<br /><br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| 1 || <math>\left| MA \right| = \left| MS \right| </math> || Annahme, Definiton Kreis und Radius<br />
|- <br />
| 2 || <math>|\angle MAS| = |\angle MSA| = 90 </math> || Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht<br />
|-<br />
| 3 || Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen. || Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck<br />
|}<br />
<br /><br />
<ggb_applet width="1366" height="604" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
Gut! Aber auch hier lieber ein paar Schritte mehr!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:34, 24. Jul. 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._14.8_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe 11)2011-07-25T21:52:31Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich bin genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<br /><br />Darf ich bei diesem Beweis die Def am Kreis (Radius) verwenden? Muss ich zeigen, dass die drei Geraden sich in einem Pkt schneiden und muss ich noch zeigen, dass dieser Punkt der MP des Umkreises ist? Oder muss ich nur zeigen, dass der Pkt MP des Umkreises ist und kann voraussetzen, dass sich die drei Geraden in einem Pkt schneiden?--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:23, 17. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
Man muss zeigen, dass sich die Geraden in genau einem Punkt schneiden. Dass dieser Punkt dann der Mittelpunkt des Umkreises ist, ergibt sich dann ganz von selbst.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:55, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
Und womit kann ich begründen, dass sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden? Woher weiß ich, dass sie zB nicht parallel sind?--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 19:31, 25. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Gehören hier die Mittelsenkrechten auf den Seiten schon zu den Voraussetzungen (kann ich mir also den Teilbeweis ersparen, dass es solche Mittelsenkrechten überhaupt gibt) oder muss ich sie in meinem Beweis noch "errichten"?--[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 22:36, 25. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Hier ein ziemlich langer Beweisversuch:<br /><br />
Voraussetzung: Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen<br /><br />
Behauptung 1: Die Mittelsenkrechten der Seiten schneiden sich in einem einzigen Punkt.<br /><br />
Beweis:<br /><br />
0. Es gibt jeweils eine Mittelsenkrechte pro Seite, nennen wir sie m<sub>a</sub>, m<sub>b</sub> und m<sub>c</sub>, durch die jeweiligen Seitenmittelpunkte M<sub>a</sub> usw.. Begründung: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten.<br /><br />
1. m<sub>b</sub> und m<sub>c</sub> haben genau einen Schnittpunkt, nennen wir ihn S. Begründung: Satz I.2 und die Tatsache, dass m<sub>b</sub> und m<sub>c</sub> weder identisch noch parallel sind.<br /><br />
dazu 1a: Sie sind wirklich nicht identisch, denn wären sie es, müsste diese eine Gerade an beiden Seitenmittelpunkten M<sub>b</sub> und M<sub>c</sub> senkrecht auf den Seiten stehen. Dann aber ergäben sich für das Dreieck AM<sub>b</sub>M<sub>c</sub> zwei rechte Innenwinkel, was nicht geht (dieses eine Korollar(?) vom schwachen Außenwinkelsatz).<br />und 1b: Sie sind auch wirklich nicht parallel, denn sonst müsste m<sub>b</sub> die Seite c auch unter rechtem Winkel schneiden (Stufenwinkelsatz). Und dann gäbe es wieder ein Dreieck (diesmal A - Schnittpunkt von m<sub>b</sub> mit c - B), das zwei rechte Winkel hätte, was nicht sein kann.<br /><br />
2. |SC| = |SA| = |SB|. Begründung: S gehört zur Mittelsenkrechten von <math>\overline {AB}</math> und von <math>\overline {AC}</math>, und deshalb gilt das Mittelsenkrechtenkriterium.<br /><br />
3. Da |SB| = |SC| (siehe Schritt 2), muss auch S <math>\in</math> m<sub>a</sub> sein. Begründung: Wieder Mittelsenkrechtenkriterium.<br /><br />
4. Könnte m<sub>a</sub> die anderen beiden Mittelsenkrechten noch in anderen Punkten schneiden? Nein, denn auch hier könnten wir wieder nachweisen, dass m<sub>a</sub> zu keiner der beiden anderen parallel (oder gar identisch) ist. Das müsste analog zu Schritt 1a und 1b gehen. Das Hinschreiben spar ich mir.<br /><br />
Damit ist bewiesen, dass sich die Mittelsenkrechten alle in genau einem Punkt schneiden.<br /><br />
Behauptung 2: Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt des Umkeises.<br /><br />
Beweis:<br /><br />
1. Der Mittelpunkt des Umkreises muss von allen Eckpunkten des Dreieck gleich weit entfernt sein. Begründung: Definition Umkreis und Verhältnis Kreismittelpunkt zu Kreislinie (brauche ich diese Begründung?)<br /><br />
2. Ein solcher Punkt muss also zu den jeweiligen Mittelsenkrechten der Seiten gehören. Begründung: Mittelsenkrechtenkriterium.<br /><br />
3. Es gibt nur einen Punkt, der allen drei Mittelsenkrechten angehört, nämlich S. Begründung: erster Beweisteil.<br /><br />
Damit muss S Mittelpunkt des Umkreises sein, es gibt keinen anderen, der die Anforderungen erfült. <br /><br />
Womit beide Teile der Behauptung bewiesen wären, wenn ich denn richtig liege. Liege ich richtig? (Allerdings bin ich nicht ganz sicher, ob ich auch noch beweisen müsste, dass es den Umkreis überhaupt gibt (und nicht nur seinen Mittelpunkt) und dass es nur einen Kreis bei eindeutigem Mittelpunkt und Radius (also Abstand |SC| o.ä.) geben kann. Brauche ich das auch noch? Über Kreise haben wir uns nicht besonders viele Gedanken gemacht bisher, die haben wir eher als gegeben genommen, oder?)--[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 23:52, 25. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._14.8_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe 11)2011-07-25T20:36:53Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<br /><br />Darf ich bei diesem Beweis die Def am Kreis (Radius) verwenden? Muss ich zeigen, dass die drei Geraden sich in einem Pkt schneiden und muss ich noch zeigen, dass dieser Punkt der MP des Umkreises ist? Oder muss ich nur zeigen, dass der Pkt MP des Umkreises ist und kann voraussetzen, dass sich die drei Geraden in einem Pkt schneiden?--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:23, 17. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
Man muss zeigen, dass sich die Geraden in genau einem Punkt schneiden. Dass dieser Punkt dann der Mittelpunkt des Umkreises ist, ergibt sich dann ganz von selbst.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:55, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
Und womit kann ich begründen, dass sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden? Woher weiß ich, dass sie zB nicht parallel sind?--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 19:31, 25. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Gehören hier die Mittelsenkrechten auf den Seiten schon zu den Voraussetzungen (kann ich mir also den Teilbeweis ersparen, dass es solche Mittelsenkrechten überhaupt gibt) oder muss ich sie in meinem Beweis noch "errichten"?--[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 22:36, 25. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._14.5_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 14.5 (SoSe 11)2011-07-25T20:29:12Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.<br /><br /><br />
<br />
Innenwinkelsatz für Dreiecke ist bewiesen (und Betragsstriche bei Winkelgrößen etc. sind nicht so wichtig).<br />
<br />Voraussetzung: Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen<br /><br />
Behauptung: Jeder Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nichtanliegenden Innenwinkel.<br /><br />
Beweis:<br /><br />
1. Hilfskonstruktion: Nebenwinkel eines Innenwinkels (nennen wir ihn <math>\delta</math>), o.B.d.A. sei es der Nebenwinkel von <math>\gamma </math>. Begründung: Dreieck hat automatisch Nebenwinkel (brauche ich diese Begründung?)<br /><br />
2. Es gilt: <math>180 = \alpha + \beta + \gamma </math>. Begründung: Innenwinkelsatz für Dreiecke.<br /><br />
3. Es gilt außerdem: <math>180 = \delta + \gamma</math>. Begründung: <math>\delta</math> ist Nebenwinkel von <math>\gamma</math> und Nebenwinkel sind nach dem Supplementaxiom supplementär, was heißt: ihre Summe beträgt 180.<br /><br />
4. Damit muss <math>\delta</math> genauso groß sein wie <math>\alpha + \beta</math>. Begründung: Rechnen in <math>\mathbb{R}</math>.<br /><br />
Das könnte man jetzt noch an den anderen beiden Ecken durchexerzieren, aber dafür sollte o.B.d.A. reichen, weil ich ja eigentlich die Ecken benennen kann wie ich möchte und in meinem Beweis nie Bezug auf "längere Seite" o.ä. genommen haben. Richtig? Zu knapp? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 22:29, 25. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Beziehungen_zwischen_den_Seitenl%C3%A4ngen_und_den_Innenwinkelgr%C3%B6%C3%9Fen_eines_Dreiecks_(SoSe_11)Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)2011-07-25T12:42:41Z<p>WikiNutzer: /* Beweis von Satz IX.3 */</p>
<hr />
<div>===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====<br />
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /> <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math><br />
<br />
===== Beweis von Satz IX.2 =====<br />
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
<br /><math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math><br /><br /><br />
<u>Behauptung:</u><br /><br />
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math><br /><br /><br />
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):<br />
<br />
[[Bild:Seite_winkel_01.png]]<br />
[[Bild:Seite_winkel_02.png]]<br />
<br />
'''1.''' Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke) (Axiom vom Lineal)<br /><br />
'''2.''' Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges (1.; Def. gleichschenkliges Dreieck)<br /><br />
'''3.''' δ1=δ2 (Basiswinkelsatz; 2.)<br /><br />
'''4.''' δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 (3.;Korollar 2)<br /><br />
<s>'''5.''' α ist größer als δ1 (B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.)<br /></s>'''6.''' δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B (nach Konstruktion(?))<br /><br />
'''7.''' β ist kleiner als δ2 (6.; schwacher Außenwinkelsatz)<br /><br />
'''8.''' Somit ist α größer β ('''3;''' 5.;7.)<br /><br />
<br />
<s>Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α</s><br />
--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]<br /><br />
Danke für deinen Beweis. Ein paar kleine Anmerkungen.<br /><br />
Zu Schritt 1: Was steht im Axiom vom Lineal und wann darf man es genau genommen wie anwenden?<br /><br />
Begründung in Schritt 8 habe ich ergänzt. <br /><br />
Wozu schreibst du Schritt 4?<br /><br />
Warum muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α ist?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:31, 14. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====<br />
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math><br />
<br />
===== Beweis von Satz IX.3 =====<br />
Übungsaufgabe<br /><br /><br />
Hier, weil die Tutaufgabe von Woche 14 keine bearbeitbare Wikiseite hat. Falls nicht okay, bitte verschieben.<br /><br />
Voraussetzung: Alpha ist kleiner als Beta<br /><br />
Behauptung: Dann auch Seite a kleiner als Seite b<br /><br />
Annahme (für Widerspruchsbeweis): Nö, Seite a ist nicht kleiner als Seite b<br /><br />
Fallunterscheidung<br /> 1. Seite a gleich Seite b -> dann haben wir ein gleichschenkliges Dreieck mit Alpha gleich Beta und ...<br /><br />
widersprechen dadurch der Voraussetzung<br /><br />
2. Seite a größer als Seite b. Daraus folgt aber (wie wir kurz zuvor bewiesen haben), dass dann Alpha größer als Beta sein muss...<br /><br />
was schon wieder der Voraussetzung widerspricht.<br /><br />
Und da mehr Fälle nicht auftreten können, sollte das doch schon reichen, oder? Die Annahme ist zu verwerfen, die ursprünglche Behauptung muss gelten.<br /><br /><br />
Normalerweise wäre mir das zu knapp, um die Umkehrung von "Aus A folgt B" zu beweisen, das B ja oft aus allen möglichen Konstellationen hervorgehen kann und A nicht unbedingt der Verursacher von B sein muss, wenn halt mal B eingetreten ist (die oft zitierte nasse Straße).<br /><br />
Hier aber ist "Aus A folgt B" schon sehr eng, denn der größere Winkel, der bewiesenermaßen der größeren Seite gegenüberliegt, kann (aus der Konstruktion eines Dreiecks bzw. eines Winkels) eben nicht auch noch einer anderen Seiten gegenüberliegen. Versteht jemand, was ich meine? Und liege ich richtig?--[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 14:42, 25. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Basiswinkelsatz_und_Mittelsenkrechtenkriterium_(SoSe_11)Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 11)2011-07-25T11:25:55Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>== Der Basiswinkelsatz ==<br />
=== Gleichschenklige Dreiecke ===<br />
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====<br />
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.<br />
<br />
Übungsaufgabe<br />
<br />
=== Der Basiswinkelsatz ===<br />
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====<br />
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====<br />
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]<br />
<br />
Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]<br />
<br />
Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:<br />
<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]<br />
<br />
Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Nr.<br />
! Skizze<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
| (1)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]<br />
| <math>\ a \cong \ b</math><br />
| Voraussetzung<br />
|-<br />
| (2)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math><br />
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math><br />
|-<br />
| (3)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math><br />
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)<br />
|-<br />
| (4)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math><br />
| (1), (2), (3), SSS<br />
|}<br />
<br />
Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>. <br />
<br />
w.z.b.w.<br />
<br />
Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?<br />
<br />
<br><br />
Da wir für den Beweis vom SSS den Basiswinkelsatz benutzen, deswegen dürfen wir nicht für den Beweis vom Basiswinkelsatz den SSS benutzen. --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:41, 1. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
Bei der Klausurvorbereitung drübergestolpert: Ist nicht außerdem die nette Skizze irreführend? Nur aus der Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten wissen wir doch noch nicht, dass sie auch durch C geht, oder? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 18:16, 24. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Ich würde sagen es muss gar nicht die Mittelsenkrechte sein. Man kann ja auch die Strecke MC bilden, ohne dass sie senkrecht auf der Strecke AB steht...--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:21, 24. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />
Aaarrrghh, natürlich! /blindsein Danke! --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:25, 25. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====<br />
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .<br />
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.<br /><br /><br />
Das finde ich ganz schön gemein von den Dozenten ein unschuldiges Lemma vorauszuschicken. Es ist doch noch so klein. Naja, um sauber beweisen zu können müssen wir dieses Opfer wohl bringen. Dann mach es gut kleines Lemma, pass gut auf dich auf und vielleicht sehen wir uns ja irgendwann wieder :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:14, 7. Jul. 2011 (CEST)<br />
======Lemma 1======<br />
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.<br />
<br />
<br />
[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]<br />
<br />
====== Beweis von Lemma 1======<br />
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)<br />
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.<br />
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======<br />
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" 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<br />
== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==<br />
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====<br />
::::Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math> gilt.<br />
<br />
<br><br />
<br />
Hier fand eine Diskussion zu Satz VII.6 statt. Ich hab den inhalt in die Diskussionsseite verschoben und dort meine Bemerkungen gemacht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:34, 9. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
=====Bezug zur Schule:=====<br />
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:<br />
<br />
<u>Konstruktionsvorschrift:</u><br />
<br />
<u>gegeben:</u> Strecke <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<u>gesucht:</u> <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Schrittnr.<br />
! Konstruktionsschritt<br />
|-<br />
| 1.<br />
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.<br />
|-<br />
| 2.<br />
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.<br />
|-<br />
| 3.<br />
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.<br />
|-<br />
| 4.<br />
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.<br />
|}<br />
<br />
<u>Frage:</u> ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?<br />
<br />
Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:<br />
<br />
===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz VII.6 a =====<br />
<br />
Übungsaufgabe (Das Video hilft)<br />
<br />
{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}<br />
<br />
<br />
Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.<br />
<br />
Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.<br />
<br />
Die Frage anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Noch anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:<br />
<br />
===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.<br />
<br />
Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:<br />
::Wir wissen, eine Implikation ''aus a folgt b'' bedeutet, dass ''a'' eine hinreichende Bedingung für ''b'' ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?<br />
<br />
::Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt <math>\ P</math> zu zwei verschiedenen Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> liegt.<br />
::Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.<br /><br />
Alles klar?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:37, 9. Jul. 2011 (CEST) <br />
<br />
<br />
Beweis: Übungsaufgabe<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Basiswinkelsatz_und_Mittelsenkrechtenkriterium_(SoSe_11)Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 11)2011-07-24T16:16:23Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>== Der Basiswinkelsatz ==<br />
=== Gleichschenklige Dreiecke ===<br />
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====<br />
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.<br />
<br />
Übungsaufgabe<br />
<br />
=== Der Basiswinkelsatz ===<br />
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====<br />
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====<br />
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]<br />
<br />
Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]<br />
<br />
Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:<br />
<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]<br />
<br />
Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Nr.<br />
! Skizze<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
| (1)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]<br />
| <math>\ a \cong \ b</math><br />
| Voraussetzung<br />
|-<br />
| (2)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math><br />
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math><br />
|-<br />
| (3)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math><br />
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)<br />
|-<br />
| (4)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math><br />
| (1), (2), (3), SSS<br />
|}<br />
<br />
Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>. <br />
<br />
w.z.b.w.<br />
<br />
Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?<br />
<br />
<br><br />
Da wir für den Beweis vom SSS den Basiswinkelsatz benutzen, deswegen dürfen wir nicht für den Beweis vom Basiswinkelsatz den SSS benutzen. --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:41, 1. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
Bei der Klausurvorbereitung drübergestolpert: Ist nicht außerdem die nette Skizze irreführend? Nur aus der Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten wissen wir doch noch nicht, dass sie auch durch C geht, oder? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 18:16, 24. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====<br />
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .<br />
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.<br /><br /><br />
Das finde ich ganz schön gemein von den Dozenten ein unschuldiges Lemma vorauszuschicken. Es ist doch noch so klein. Naja, um sauber beweisen zu können müssen wir dieses Opfer wohl bringen. Dann mach es gut kleines Lemma, pass gut auf dich auf und vielleicht sehen wir uns ja irgendwann wieder :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:14, 7. Jul. 2011 (CEST)<br />
======Lemma 1======<br />
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.<br />
<br />
<br />
[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]<br />
<br />
====== Beweis von Lemma 1======<br />
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)<br />
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.<br />
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======<br />
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" 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<br />
== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==<br />
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====<br />
::::Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math> gilt.<br />
<br />
<br><br />
<br />
Hier fand eine Diskussion zu Satz VII.6 statt. Ich hab den inhalt in die Diskussionsseite verschoben und dort meine Bemerkungen gemacht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:34, 9. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
=====Bezug zur Schule:=====<br />
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:<br />
<br />
<u>Konstruktionsvorschrift:</u><br />
<br />
<u>gegeben:</u> Strecke <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<u>gesucht:</u> <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Schrittnr.<br />
! Konstruktionsschritt<br />
|-<br />
| 1.<br />
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.<br />
|-<br />
| 2.<br />
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.<br />
|-<br />
| 3.<br />
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.<br />
|-<br />
| 4.<br />
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.<br />
|}<br />
<br />
<u>Frage:</u> ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?<br />
<br />
Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:<br />
<br />
===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz VII.6 a =====<br />
<br />
Übungsaufgabe (Das Video hilft)<br />
<br />
{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}<br />
<br />
<br />
Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.<br />
<br />
Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.<br />
<br />
Die Frage anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Noch anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:<br />
<br />
===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.<br />
<br />
Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:<br />
::Wir wissen, eine Implikation ''aus a folgt b'' bedeutet, dass ''a'' eine hinreichende Bedingung für ''b'' ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?<br />
<br />
::Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt <math>\ P</math> zu zwei verschiedenen Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> liegt.<br />
::Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.<br /><br />
Alles klar?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:37, 9. Jul. 2011 (CEST) <br />
<br />
<br />
Beweis: Übungsaufgabe<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Streckenantragen_oder_das_Axiom_vom_Lineal_(SoSe_11)Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe 11)2011-07-16T14:01:43Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>== Der Mittelpunkt einer Strecke==<br />
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.<br />
<br />
<ggb_applet width="598" height="267" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ...<br /><br />
* zu den Endpunkten A und B den gleichen Abstand hat und <math>M \in \overline{AB}</math> ,dann heißt <math>\ M</math> Mittelpunkt.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 10:32, 14. Jun. 2011 (CEST)<br /><br />
Eine Eigenschaft ist doppelt genannt. Welche? Zu definieren ist nicht einfach "Mittelpunkt", sondern "Mittelpunkt einer Strecke". Was sollte man ändern/ergänzen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:55, 14. Jun. 2011 (CEST)<br />
<br />
<br />es wurde <math>M\in \overline{AB}</math> doppelt eingefügt.<br />
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>zu den Endpunkten A und B den gleichen Abstand hat, dann ist M Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:09, 19. Jun. 2011 (CEST)<br />
* ...<br />
Üben Sie sich und ergänzen Sie.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:34, 26. Mai 2011 (CEST)<br />
<br />
===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====<br />
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.<br />
<br />
===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====<br />
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.<br />
<br />
{{#ev:youtube|5KkJuWgNNeY}}<br />
<br />
Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.<br />
<br />
Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.<br />
<br />
== Streckenantragen ==<br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]<br />
|- <br />
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]<br />
|}<br />
<br />
== Das Axiom vom Lineal ==<br />
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.<br />
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====<br />
::Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.<br />
<br />
Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.<br />
<br />
== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==<br />
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.<br />
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====<br />
noch einmal der Satz:<br />
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.<br />
<br />
Es sind also zwei Beweise zu führen:<br />
<br />
# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.<br />
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.<br />(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)<br />
<br />
====== Der Existenzbeweis ======<br />
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke<br />
:::<u>Behauptung:</u><br /><br />
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat.<br /><br />
<br />
:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .<br />
<br />
Der Beweis:<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt. <br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
!<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math><br />
| Abstandsaxiom A/1<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math><br />
| Tragen Sie hier die Begründung ein.<br />
<br />Rechnen in R--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math><br />
| Tragen Sie hier die Begründung ein.<br />
<br />2, Def. Strahl --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)<br />
|-<br />
<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math><br />
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> <br />
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math><br /> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>)<br /><br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math><br />
| Tragen Sie hier die Begründung ein.<br />
<br />Def. Zwischenrelation, Rechnen in R, 4,5--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
| Tragen Sie hier die Begründung ein.<br />
<br />2,3,6--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math><br />
| Tragen Sie hier die Begründung ein.<br />
<br />7 --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)<br />
|}<br />
<br />
'''Hilfssatz A:'''<br /> <br />
:: Voraussetzung:<br /><br />
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math><br /><br />
::Behauptung:<br /><br />
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>.<br /><br />
Beweis von Hilfssatz A:<br /><br />
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder<br />
<br />
::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder<br />
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math><br />
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>)<br /><br />
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung.<br /><br />
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.<br />
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math><br /><br />
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!)<br /><br />
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!)<br /><br />
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math><br />
<br />
====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======<br />
Übungsaufgabe<br /><br />
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.<br />
<br /><br />
Die Frage ist doch zunächst, ob es in der Prüfung Extrapunkte oder Punktabzug gibt, wenn man statt "Eindeutigkeitsbeweis" "Highlanderbeweis" schreibt? :-)<br />
<br /><br />
<br /><br />
Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes:<br />
<br /><br />
Voraussetzung: <math>\exists \,M</math> <math>\in</math> <math>\overline{AB}: |AM| = |BM|</math><br /><br />
Behauptung: "Es kann nur einen geben": <math>\exists ! M \in \overline{AB}: |AM| = |MB|</math><br />
<br /><br />
Annahme: <math>\exists M_1 \ und \ M_2: |AM_1| = |M_1B| \ und \ |AM_2| = |M_2B|</math><br />
<br /><br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| Nummer || Beweisschritt || Begründung<br />
|- <br />
| 1 || <math>\exists</math> d: d = <math>\overline{AB}</math> || Axiom II.1; Voraussetzung<br />
|-<br />
| 2 || <math>\exists</math> d*: d* = <math>\frac{d}{2}</math> || Rechnen in R; (1)<br />
|-<br />
| 3 || <math>d* = |AM_1| = |M_1B| </math> und <math> d* = |AM_2| = |M_2B| </math> || Existenzbeweis Mittelpunkt, Def. Mittelpunkt, Annahme, (2)<br />
|-<br />
| 4 || <math> |AM_1| = |AM_2| </math>|| (3), Transitivität der Gleichrelation <br />
|-<br />
| 5 || <math>M_1 = M_2</math> || (4); Axiom II.1<br />
|-<br />
| 6 || Für <math>M_1 = M_2</math> existiert genau ein Mittelpunkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> || (5)<br />
|}<br />
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:13, 4. Jun. 2011 (CEST)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
In Schritt 3 schreibst du <math> d* = |AM_2| </math>. Warum sollte das für <math>M_2</math> gelten? Gehst du nicht hier schon davon aus, dass <math>M_1=M_2</math>? Steht in der Annahme oder der Def. Mittelpunkt, dass es <math>\frac{d}{2} =|AM_2|</math> sein muss?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:19, 6. Jun. 2011 (CEST)<br />
<br /><br />
Ja und zwar genau im vorherigen Beweis, wenn ich den Mittelpunkt M festlege mit |AM|=d*. WENN das hier nicht für jeden x-beliebigen Mittelpunkt und dem Axiom vom Abstand gilt, sondern nur für einen einzigen Mittelpunkt, dann bräuchte ich den Highlanderbeweis ja gar nicht erst durchzuführen. So hab ich mir das gedacht, scheinbar gehe ich fehl. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:20, 7. Jun. 2011 (CEST)<br />
<br /> vielleicht kann ja die anne die richtige Lösung auf die Diskussionsseite schreiben, weil sonst wart ich hier zwei wochen auf den eindeutigkeitsbeweis und warte und warte und warte - auch in der lerngruppe ham wir uns da schon gedanken drüber gemacht, aber wenn man sich mal in eine richtung verrannt hat, dann ist es ohnehin schwierig da den kopf wieder frei zu bekommen :-)<br /><br /><br />
Ich (--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:26, 11. Jun. 2011 (CEST))stelle hier keine Lösungen rein (denn ich habe nicht DIE Lösung und das ist auch gar nicht meine Aufgabe). Ich weiß schon, dass das sehr nervig sein kann, aber ich kann euch mal einen anderen Ansatz vorschlagen. <br />
Voraussetzung: <math>\exists \,M</math> <math>\in</math> <math>\overline{AB}: |AM| = |BM|</math><br /><br />
Behauptung: "Es kann nur einen geben": <math>\exists ! M \in \overline{AB}: |AM| = |MB|</math><br />
<br /><br />
Annahme: <math>\exists \ M_2. \ M_2 </math> verschieden zu <math>\ M_1</math>, <math> \ M_2</math> ist Mittelpunkt von <math> \overline{AB}</math> <br />
<br /><br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| Nummer || Beweisschritt || Begründung<br />
|- <br />
| 1 || <math>M_2 \in \overline{AB}</math> || Annahme, Def. Mittelpunkt<br />
|- <br />
| 2 || <math>\overline{AB} = \overline{AM_2}+ \overline{M_2B}</math> || (1), Zwischenrelation, Axiom Dreiecksungleichung<br />
|- <br />
| 3 || <math>\left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right|</math> || Voraussetzung, (2)<br />
|-<br />
| 4 || <math>\overline{AM_2} = \frac{\overline{AB}}{2}</math> || Rechnen in R;(1);(2);(3)<br />
|-<br />
| 5 || <math> \overline{AM_1} = \frac{\overline{AB}}{2}</math> || Existenzbeweis Mittelpunkt<br />
|-<br />
| 6 || |AM_2| = |AM_1| || (5), Axiom II.1 <br />
|-<br />
| 7 || M1 = M2 || (6)Widerspruch zur Annahme<br />
|} Annahme zu verwerfen.<br /><br />
Eure Aufgabe ist den Beweis zu vervollständigen (und gegebenenfalls zu kritisieren!)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:26, 11. Jun. 2011 (CEST)<br />
<br />
Recht viel besser scheint mir das aber auch nicht zu sein :-) vorher habe ich es ja auch so hingedreht, dass es passt und jetzt halt wieder (?) Wir sollten es einfach als Axiom annehmen, dass es einen Mittelpunkt gibt und der Käse ist gegessen und die Welt ist schön :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 14:08, 12. Jun. 2011 (CEST)<br />
<br /><br />
<br /><br />
Nochmal ein letzer Versuch (unabhängig, ob das vorherige stimmt oder nicht), ansonsten werde ich in der Tat die Geometrie umschreiben und das Axiom von Flo60 einführen, das da heißen wird: Jede Strecke \overline{AB} besitzt genau einen Punkt M für den gilt: |AM| = |MB|.<br />
<br /><br />
<br /><br />
Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math><br /><br />
Behauptung: <math>\exists M \in \overline{AB} : |AM|=|MB|</math><br />
<br /><br />
Beweisteil II: Es kann nur einen geben.<br />
<br /><br />
<br /><br />
Annahme: <math>\exists S \in \overline{AB} : S \neq M \wedge |AS|=|SB|</math> <br />
<br /><br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| 1 || |AM| = |BM| = <math>\frac{\overline{AB}}{2}</math> || Existenzbeweis<br />
|- <br />
| 2 || |AS| <math>\neq</math> |AM| || Annahme (<math>S \neq M</math>)<br />
|- <br />
| 3 || |AS| und |SB| sind ungleich <math>\frac{\overline{AB}}{2}</math> || (1) (2) Annahme (<math>|AS| = |SB|</math>)<br />
|- <br />
| 4 || nkoll(A, S, B) || (3) Annahme (<math>|AS| = |SB|</math>)<br />
|- <br />
| 5 || für nkoll(A, S, B) gilt: <math>S \not\in \overline{AB}</math> || (4), Axiom II.3<br />
|- <br />
| 6 || Wiederspruch zu <math>S \in \overline{AB}</math> || (5), Def. Mittelpunkt<br />
|- <br />
| 7 || Annahme ist zu verwerfen || (6)<br />
|}<br />
<br /><br />
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 13:42, 13. Jun. 2011 (CEST)<br /><br />
Ich '''denke''', die vorigen Beweise sind so richtig. Beim letzten hätte ich von Schritt 3 auf 4 noch zwischengeschoben, das gilt : <math>|AS| + |SB| \neq |AB|</math>.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:07, 14. Jun. 2011 (CEST)<br />
<br /><br /><br />
Wieso ist der Beweis, nachdem wir das Axiom vom Lineal haben, immer noch zweiteilig? Wieso müssen Existenz und Eindeutigkeit getrennt behandelt werden, das Axiom vom Lineal legt doch schon beides fest? Mir ist klar, dass beides nachgewiesen werden muss, aber wieso in getrennten Schritten? Sobald ich raus habe, dass alle möglichen Mittelpunkte den Abstand d/2 von A haben, lässt mir Axiom III.1 doch alle diese möglichen Mittelpunkte auf genau einen zusammenschrumpfen, oder? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 16:01, 16. Jul. 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._13.6_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 13.6 (SoSe 11)2011-07-13T10:16:51Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie:<br /><br />
<u>Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br /><br />
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.<br /><br /><br />
<br />
Also Voraussetzung: Wir haben ein Dreieck.<br /><br />
Behauptung: Mindestens zwei Innenwinkel sind spitze Winkel, also ihr Maß ist geringer als 90.<br /><br />
Annahme für Widerspruch: Nein, es gibt auch Dreiecke, in denen zwei Innenwinkel nicht-spitze Winkel sind, also jeweils das Maß 90 oder mehr (bis zu 180) haben.<br /><br />
I. An einem der beiden stumpfen Innenwinkel, nennen wir ihn Alpha, liegt ein Außenwinkel an, den wir ab jetzt Alpha-Strich nennen (Begründung: Definition Außenwinkel)<br /><br />
II. Dieser Außenwinkel Alpha-Strich muss ein stumpfer Winkel sein. (Begründung: Schwacher Außenwinkelsatz und Annahme, nach der neben Alpha ja noch ein Innenwinkel nicht-spitz ist).<br /><br />
III. Alpha und Alpha-Strich sind supplementär, da sie Nebenwinkel sind (Begründung: Definition Außenwinkel, Definition Nebenwinkel und Supplementaxiom)<br /><br />
IV. Die Größe des Gesamtwinkels, der aus der Addition von Alpha und Alpha-Strich resultiert, ist größer als 180. (Begründung: Rechnen in R, Definition stumpfe Winkel)<br /><br />
V. Das ist ein Widerspruch zu III (Begründung: Definition supplementär = Summe 180). Es kann also (in unserer Geometrie) keine Dreiecke geben, die zwei nicht-spitze Innenwinkel haben.<br /><br />
<br /><br />
Genügt das so? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 12:16, 13. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._12.9_SS11Lösung von Aufg. 12.9 SS112011-07-07T14:14:23Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Es seien <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck und <math>r</math> eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von <math>\overline{ABC}</math> ist. Ferner seien die Punkte <math> E \in \overline{AB}, F \in \overline{BC}, G \in \overline{CA} </math> mit <math>\ |AE|=|BF|=|CG|=r</math> gegeben. Man beweise: <math>\overline{EFH}</math> ist ein gleichseitiges Dreieck.<br />
<br><br><br><br />
<br />
Auch hier wäre die Definition des gleichseitigen Dreiecks gefragt.<br />
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 15:55, 4. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />
<br />
Das stimmt, diese brauch man zunächst! Wer hat Vorschläge?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:32, 5. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Wenn ein Dreieck drei kongruente Seiten hat, ist es gleichseitig.<br />
<br /><br />
Dann liefe der Beweis analgog zu Aufgabe 12.8, allerdings müsste man nichts mehr über die Innenwinkel des kleinen Dreiecks in der Mitte aussagen, da hier ja nur die Seiten maßgeblich wären:<br />[[Datei:DreieckBeweis2.png]] <br />1. Aus der Voraussetzung wissen wir, dass die gestrichelten Strecken gleich lang sind (nämlich jeweils r), außerdem, dass die Außenseiten des großen Dreiecks auch gleich lang sind.<br /><br />
2. Aus dem Streckenaddieren und den Voraussetzungen wissen wir damit, dass auch die dicken durchgehenden Strecken gleich lang sind.<br /><br />
3. Aus den Voraussetzungen und (z.B.) dem Basiswinkelsatz wissen wir außerdem, dass die Innenwinkel des großen Dreiecks alle gleich groß sind.<br /><br />
4. Da nun das grüne, das rote und das gelbe Dreieck per SWS-Axiom als kongruent nachgewiesen werden, müssen auch die Außenseiten des blauen Dreiecks alle gleich lang sein.<br /><br />
5. Und wenn ein gleichseitiges Dreieck einfach über die drei gleichlangen Seiten definiert ist, ist der Beweis damit geführt.<br /> Richtig?--[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 16:01, 7. Jul. 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Datei:DreieckBeweis2.pngDatei:DreieckBeweis2.png2011-07-07T14:03:50Z<p>WikiNutzer: hat eine neue Version von „Datei:DreieckBeweis2.png“ hochgeladen: {{Information
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}}</p>
<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
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}}<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-frei}}</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Datei:DreieckBeweis2.pngDatei:DreieckBeweis2.png2011-07-07T14:01:41Z<p>WikiNutzer: {{Information
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<div>== Beschreibung ==<br />
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|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-frei}}</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._12.9_SS11Lösung von Aufg. 12.9 SS112011-07-07T14:01:22Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Es seien <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck und <math>r</math> eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von <math>\overline{ABC}</math> ist. Ferner seien die Punkte <math> E \in \overline{AB}, F \in \overline{BC}, G \in \overline{CA} </math> mit <math>\ |AE|=|BF|=|CG|=r</math> gegeben. Man beweise: <math>\overline{EFH}</math> ist ein gleichseitiges Dreieck.<br />
<br><br><br><br />
<br />
Auch hier wäre die Definition des gleichseitigen Dreiecks gefragt.<br />
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 15:55, 4. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />
<br />
Das stimmt, diese brauch man zunächst! Wer hat Vorschläge?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:32, 5. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Wenn ein Dreieck drei kongruente Seiten hat, ist es gleichseitig.<br />
<br /><br />
Dann liefe der Beweis analgog zu Aufgabe 12.8, allerdings müsste man nichts mehr über die Innenwinkel des kleinen Dreiecks in der Mitte aussagen, da hier ja nur die Seiten maßgeblich wären:<br /> Richtig?--[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 16:01, 7. Jul. 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._12.8_SS11Lösung von Aufg. 12.8 SS112011-07-07T13:43:24Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Es seien <math>\overline{ABCD}</math> ein Quadrat und <math>r</math> eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von <math>\overline{ABCD}</math> ist. Ferner seien die Punkte <math> E \in \overline{AB}, F \in \overline{BC}, G \in \overline{CD}, H \in \overline{DA} </math> mit <math>\ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r</math> gegeben. Man beweise: <math>\overline{EFHG}</math> ist ein Quadrat.<br />
<br />
<br><br />
Was ist ein Quadrat ?--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 18:24, 3. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br><br />
<br><br><br><br />
<math>\ Definition \ Quadrat: </math><br><br />
<math>\ Es \ seien \ A,B,C,D \ vier \ verschiedene \ Punkte</math><br><br />
<math>\ Q := \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA} \ heißt \ genau \ dann \ Quadrat \ , \ wenn \ gilt:</math><br><br />
<math> \ (i) \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC} \equiv \overline{CD}</math> <br><br />
<math> \ (ii) \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90</math><br><br />
<br><br />
Damit ist eine überbestückte Definition. Alle Eigenschaften treffen zwar auf ein Quadrat zu, doch sollte eine formale Definition nur wirklich nötige Eigenschaften enthalten, damit der Begriff ausreichend klar ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:11, 5. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br><br><br />
<br />
Eine Skizze von der Aufgabe hilft enorm<br><br />
Ja, erstellen Sie doch (das nächste Mal) eine einfache Skizze in Geogebra selbst :). <br><br />
Ich dachte da ich schon den ganzen Text in Latex der Übersicht zu liebe geschrieben habe darf sich ein anderer an einer Skizze versuchen;)--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:20, 6. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
<ggb_applet width="459" height="353" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGqO5T4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrbkps4EH3efIWK92GQkLhUmaScmdyqsputmmwe8pLCIGOtMXi5TOz5nv2T/bFtSYDxLWMms5XxVvwCSE2rdU53qyU8erFapOiWF6XIs8DApmUgnkV5LLIkMOpqeuEZL54/GyU8T/ikCNE0LxZhFRi2SQzZXovnz34ZlbP8KwpTJfJJ8K+BMQ3TkhuoXBY8jMsZ59VWe1ivRCrCYv1h8iePqnLToZW8y5Y1jFIVNbRFi/i9KNvHSzXgMhXVtbgVMS9QmkeB4TAwHe4+8aISUZgGBrV0CwkMstMJTbbsneWFuMuzSopvlKfhhKcAwE21TjlCt7LX1l1TEEaoFHccwCKybXSpMBjxOkpFLMJMzlOZCEIIfRVxNQNbmA+jcZHMJHYMa21Rnhfxzbqs+AKtPvMil9OQFKz1A3GofCrBYhiPWaqr/6S08NsbXlVgb4nCFd9AmRQi3np4V77M003TMhdZdRUuq7pQbNtNk5p2YMBYhbR3nCUpb9owkDHj0XySr240BrZW/XG9VK8ogybJVZ7mBSok8AwEmutEX5WMtLSTspSMpSQaHVJp1499oiTUdaKvmimRadOameN21thqhxElkg0SRnDSbvKK48AwUJ2J6n37AM4x30xVvvBbvZhAdPTdo9OJH0vn6HLHe0ZzXmQ81T6SAbd1XpfaEfVYypCYR2IBj7qjgSSUdP0BBujWmCcFbw3XsaUBU71W3w93mkeXrRHShhJsjSpIEjCfSs5FxnAF8RMY4yzj6PM/f8+kG/HCQHFYSQEZFClfcIiYSrmH8q4OprHRZY5cJYE23Jv+DeDQfdBVlFOF6XIWQksbDWm4hpTQn53S92seb885zAA7NSEIv6VUINlZch43abBqXBotQaUKkB70CrESraQs9iAqA+MC7iDl9H6g8E4rU+/o4JJZYZNRgHkN0T1gvfx/gOWYNm3BsugweKJ8sQizGGXhAob6PU/XSZ4pWIRcLFBoSZ9CIZZooRBSPG1V53XVSkB8pZDAsBYMteAELnZgRHChEDJwYYFxBRcnMK61Hc3oB2jSdrREdPq301M1gyyQ8bKUcdqhdfltUnsQ9lnFzFa8wiqiE+aGVjyE1uO+V/JEPnWGhD9mNgOddONmF4CEtf3zldsxEzvK6xwT2mg/VC9PniL/K9Mypc7qYgHFSCSqztdSGQHvsgpyPFc5cz91zzlfyjXzQ/axCLNSVlVaprcknEjO5NzIARKY3//pjAAqt1p9RycIm5gOhmRxtgRFZ0bQLhGe62iGuughlunYjGzCh50vO/GZsaNJWO/T5FOiyAGafJd6G3L2auWnS8520XP1oKJHpo1EXyb68uCqp92kbpu/XdAQXdBQE+OdpPZYtd/104cB5tlzOJUQNCgW2W1+OCpZveCFiLp5FwoXeLNu3semfV+g3l8nP6ScauTKVB1HLETWVMiLUAWsVDkp87Su+E0Eu7HsfR6paro1rjkkgJpFysI7xFZbfbX4wc1UrPhm337k0OKU8P6eOv54LX4liijlh0vxYq8Cn367oIa9Zo/j6QOz8/aO/Eh6Pkb7wPg4LbGKhGe3YFtelAitrAbvtaUHRHdtywrrWgj6cNN0h3sxA/wVYoXGrfy4lRoTdQPpHo3tRuuY6n0p7FDHTO1Vd3eoB7M+eEQkpkDDcNpfHqM9GUJ78pP2IbTbvsk8d494vdvWxLcF9CNSfXWM6tkQqmc/qR5CNaMmIf1Kg+6zThrWL/aLksf2getjPjAf4gPznz4wKMsz2H45vYLL2U/5+/VY4xF7Fdl3uES3D9jxiunW6Vo3qZ57vLrvVK1fAL/6wQXwps4lJnV9lzHYa7m+5dm+0x39Yuphy7exTTFxyMDy/zRYEw3r5Disr4fA+vrJwAoL1RZ8tNngEtYH2xt4nn4aqDMNanQc1DdDQH3zZEClpk8tQqnFXGL5mDntlszvQ23/F5jONabxcUzfDsH07ZPBFOLcYtjzLcdzoOKyXf3ph5gA8QZqBw/c557yaeOVxvS1xvSN/mLxdg/Y5vsD0dL8C9byU3UDbyTqBtaI2Rd8HwcHv2yQ/9WXDQnQeZ3/wVpju5Q5judSbBPcftqwTc9mFqO+5zFmUUL1Ua1rOrBMMcx8jxLbds7nLHCXqun5UXWIk/UBCmUakcfq1GQudXwfGmxMbMs9X7aSs2NrlxSsudrhEOvKzjN9DBT5hHmEwkJ6xnE1Ozum9sJKMbXHnw6qC9f0XdfBHmybHcoYtp8yVZf9v9qoP5c1f7x7/i9QSwcIJjdPQaQGAACqJwAAUEsBAhQAFAAIAAgAao7lPiY3T0GkBgAAqicAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAADeBgAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:11, 5. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
<br /><br />
<math> \ Beweis: </math><br><br><br />
<math> \ Voraussetztung: </math><br><br />
<math> \ (i) \ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r </math> <br><br />
<math> \ (ii) \ \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC}</math><br><br />
<math> \ (iii) \ \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90</math><br><br />
<br><br />
<math> \ Behauptung: </math><br><br />
<math> \ (i) \overline{HE} \equiv \overline{EF} \equiv \overline{FG} \equiv \overline{GH}</math> <br><br />
<math> \ (ii) \angle FEH = 90 = \angle GFE</math><br><br />
<br />
<math> \ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{AEH} \ fuer \ dieses \ gilt: </math> <br><br />
<math> |\overline{AE}| = r \ und \ \angle EAH\equiv 90</math><br><br />
<math> \ ferner \ gilt \ |\overline{AH}| = |\overline{DA}| - |\overline{AH}| =: d</math><br><br />
<math> \ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{EBF} \ fuer \ dieses \ gilt: </math> <br><br />
<math>| \overline{FB}| = r \ und \ \angle FBE\equiv 90</math><br><br />
<math>\ ferner \ gilt \ |\overline{EB}| = |\overline{AB}| - |\overline{AE}| = d</math><br><br />
<math>\ da |\overline{AE}| = |\overline{FB}| \Rightarrow \ n. SWS \ \ \overline{AEH} \equiv \overline{EBF}</math><br><br />
<math>\Rightarrow |\overline{HE}| = |\overline{EF}|</math><br><br />
<math>\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{GDH} \ liefert \ |\overline{FG} |=|\overline{GH} |</math><br><br />
<math>\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{FBE} \ liefert \ |\overline{GF} |=|\overline{EF} |</math><br><br />
<math>\Rightarrow \left| HE \right| =\left| GH \right| = \left| GF \right|= \left| FE \right|</math><math>\Leftrightarrow (i)</math><br><br />
<br />
Aus unserer Übung mit dem Parallelaxiom gehe ich nun von dessen Gültigkeit aus und benutze nun den Innenwinkelsummensatz vom Dreieck. Ansonsten sehe ich keine Möglichkeit die rechten Winkel im Quadrat nachzuweisen<br><br />
<math>\ Es \ gilt \ 180 = \angle EAH + \angle HEA + \angle AHE</math><br><br />
<math> \Leftrightarrow 90 = \angle HEA +\angle AHE \ </math><br><br />
<math> \ da\ \angle AHE \equiv \angle DGH \ und \ \angle HEA \equiv \angle GHD\Rightarrow \angle GHD +\angle AHE = 90</math><br />
<math> \ Sei \ m \ die \ Senkrechte \ auf \ \overline{AD} \ durch \ H \ dann \ gilt \angle DHG + \angle m\overline {HG} = 90 </math><br><br />
<math>\Leftrightarrow 90 - \angle DHG = \angle m\overline{HG}</math><br><br />
<math>\ analog \Rightarrow \ 90 - \angle AHE = \angle m\overline{HE}</math><br />
<math>\ Betrachte \ \angle EHG = \angle m\overline{GH} +\angle \overline{HE}m , \ dies \ gilt \ n. \ Winkeladditionsaxiom</math><br />
<math>\Leftrightarrow 180 - ( \angle DHG +\angle AEH)</math><br><br />
<math>\ , da \ \angle DHG \equiv \angle HEA</math><br><br />
<math>\Rightarrow \angle EHG = 180 - (\angle HEA + \angle AHE)\Leftrightarrow \angle EHG = 180 - 90 = 90\Rightarrow \angle EHG \ ist \ rechter \ Winkel</math><br><br />
<math> \ analog \ die \ Winkel \angle FEH \ \angle GFE\ \angle HGF \ </math><br><br />
<math>\Rightarrow \overline{HGEF} \ ist \ ein \ Quadrat</math><br />
<br />
bei den Rechnungen mit den Winkeln stehen keine Betragsstriche dabei, korrekter Weise müssten sie gesetzt werden. Ich bitte das zu beachten. <br><br />
Vielleicht findet ja jemand eine kürzere und schönere Lösung. Die Definition des Quadrats macht mir den Beweis etwas umständlich, vielleicht einen schönere Definition vom Quadrat anbieten.<br />
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 15:41, 4. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />
Danke fürs Reinstellen! Dein Beweis ist sehr ausführlich. Die Beweisidee ist völlig korrekt, bestimmt lässt sich der Beweis (vorallem der 2.Teil) auch kürzer aufschreiben. Mit den Winkelbezeichnungen ist er etwas schwirig nachzuvollziehen. Das nächste Mal lieber eine Skizze machen (Scannen oder Paint geht ja auch!) und die Winkel konkret benennen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:28, 5. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br /><br /><br />
Ich denke, es genügt, nach dem Nachweis der Dreieckskongruenz auf die kongruenten Winkel Gamma und Gamma-Strich hinzuweisen<br />[[Datei:WinkelQuadrat.PNG]]<br /><br />
und dann über die Winkeladdition sowie die Größe des gestreckten Winkels insgesamt darauf zu kommen, dass die Größe von Beta 90 Grad betragen muss. Und ein einziger rechter Winkel im Quadrat reicht ja bei vier gleich langen Seiten. <br />
Würde das als kürzerer zweiter Schritt gehen? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 15:43, 7. Jul. 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Datei:WinkelQuadrat.PNGDatei:WinkelQuadrat.PNG2011-07-07T13:37:53Z<p>WikiNutzer: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-frei}}</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/Datei:WinkelQuadratbeweis.PNGDatei:WinkelQuadratbeweis.PNG2011-07-07T13:28:26Z<p>WikiNutzer: {{Information
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|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
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|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-frei}}</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._12.2_SS11Lösung von Aufg. 12.2 SS112011-07-07T12:53:39Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Formulieren Sie den Basiswinkelsatz ([[Basiswinkelsatz_und_Mittelsenkrechtenkriterium_(SoSe_11)#Satz_VII.5:_Basiswinkelsatz|Satz VII.5]]) auf zwei weitere Arten und Weisen.<br />
<br><br />
Ich hoffe ich habe die Aufgabe richtig verstande.<br><br />
Basiswinkelsatz V1:<br><br />
Sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck<math> \Rightarrow</math> die Basiswinkel sind kongruent.<br><br />
<br />
Basiswinkelsatz V2:<br><br />
Sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck, wenn <math>\overline{AB} \equiv \overline{BC}</math> dann gilt <math>\angle CAB\equiv \angle BCA</math>.<br>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 21:01, 2. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
In jedem gleichschenkligen Dreieck ist die Mittelsenkrechte der Basis eine Spiegelachse.<br />
Triff dies den Kern des Basiswinkelsatzes? --[[Benutzer:Koooky|Koooky]] 15:45, 6. Jul. 2011 (CEST)<br /><br /><br />
<br />
Vielleicht ist hier auch einfach Konventional- und genetische Definition gemeint, so z.B.<br />V1: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, sind seine Basiswinkel kongruent. <br />(wäre ja auch Lesweise von peterpummels Version 1)<br /><br />
<br />
V2: Konstruiere ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Die Basiswinkel dieses Dreiecks sind kongruent.<br /><br /><br />
Allerdings macht eine so knappe genetische Definition hier m.E. keinen Sinn. Wenn ich tatsächlich gedanklich konstruiere, ist es nicht hilfreich, ohne nähere Erläuterung und Bezug auf eben die Konstruktion mit dem Begriff Basiswinkel zu arbeiten. Wie sehen die anderen das? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 14:53, 7. Jul. 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._11.6_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 11.6 (SoSe 11)2011-07-07T12:40:28Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)<br /><br />
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br /><br />
Ergänzen Sie:<br />
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .<br />
<br />
::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .<br />
<br /><br /><br />
Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ AB</math> und die Gerade <math>\ CD</math> senkrecht aufeinander stehen (auch wenn die Strecken keinen gemeinsamen Punkt haben).<br /><br />
<br />
Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> mindestens zwei verschiedene Geraden gibt, die senkrecht auf g stehen. --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 14:40, 7. Jul. 2011 (CEST)<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._7.7_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 7.7 (SoSe 11)2011-05-24T20:47:47Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div>Es seien <math>\ P_1, P_2, P_3, ..., P_n \ n</math> verschiedene Punkte der Ebene, von denen je drei stets nicht kollinear sind. Wie viele verschiedene Geraden gibt es, die jeweils durch zwei dieser <math>n</math> Punkte gehen?<br />
Hinweis: Es gibt eine Problemlösestrategie: ''Führe einen komplizierten Fall auf einen einfacheren Fall zurück''. Carl Friedrich Gauß hilft auch bei der Lösung dieser Aufgabe.<br />
<br />
Im Praktikum haben wir eine analoge Aufgabe einmal mit Schülern einer 7. Hauptschulklasse gelöst. <br />
Formulieren Sie obige Aufgabe für Schüler dieser Schulstufe.<br />
<br\><br\><br />
Lösung:<br\><br />
i) Dadurch dass die je 3 Punkte nicht kolinear sind, geht es also darum die Anzahl der Punktepaare zu bestimmen, bei denen die Reihnfolge nicht beachtet wird (da AB=BA). Seien es n Punkte => P_1 bildet mit den restlichen P_i, n-1 Graden. Dann wählt man P_2 der bildet mit den restlichen Punkte P_i, i = 2,..,n, n-2 Graden usw. Die Summe dieser Anzahl von Graden ist die Gaußsche Summenformmel b:<math>\frac{m * (m+1)}{2}</math>. Wobei hier m = n - 1 zu setzten ist.<br />
<br />
Einfacher ist es vielleicht über den Binomialkoeffizient da die Anzahl der Graden gleich der Anzahl der zweielementigen Teilmengen der Mengen der Punkte ist. <math>{2 \choose n}</math><br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<math>{2 \choose n} = \frac{ n! }{ 2! (n-2) !} = \frac{ n! }{ 2 (n-2) !} = \frac{n (n-1) (n-2)!}{2(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}</math><br />
<br />
ii)<br />
Für die 7te Klasste der Hauptschule wäre vielleicht eine adäquate Aufgabe die Zahlen von 1 bis 100 zu summieren und so auf die Formel geleitet zu werden. Dafür gibt es ja eine recht anschauliche Herleitung--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:18, 23. Mai 2011 (CEST)<br />
<br />Wie könnte eine Aufgabenstellung konkret aussehen? Müssen es Punkte in einer Ebenen sein? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:40, 24. Mai 2011 (CEST)<br />
<br />
<br />
zu II) Wie wäre es mit: "Auf einem Brett sind 4 Nägel so eingehauen, dass immer nur zwei auf einer Linie liegen. Wieviele verschiedene Verbindungen kann man mit einem Gummiband spannen, wenn immer nur zwei Nägel das Band berühren dürfen? Probiert mit dem Musterbrettchen aus. Übertragt die Verbindungen in die Kombinationstabelle auf dem Arbeitsblatt. Was passiert, wenn man einen weiteren Nagel einhaut? Wieviele Verbindungen sind bei 6 Nägeln möglich? Bei 7? Wieviele bei 101?" (und dazu tatsächlich solch ein Brettchen mit 4 Nägeln und Gummibänder mitbringen?)<br /><br />
Punkte einer Ebene? Es müsste theoretisch auch mit Punkten im Raum funktionieren, da ja auch hier jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist. Ist dann aber viel schwerer, sich das Ganze vorzustellen oder sogar ein Modell zu bauen, in dem gehandelt werden kann, denke ich. --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 22:47, 24. Mai 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._7.6_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 7.6 (SoSe 11)2011-05-24T20:19:52Z<p>WikiNutzer: </p>
<hr />
<div><u>'''Satz:'''</u><br />
:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.<br />
<br />
# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.<br />
# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.<br />
# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:<br />
<u>'''Beweis'''</u><br />
::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.<br />
<u>'''zu zeigen'''</u><br />
:: ...<br />
<u>'''Annahme:'''</u><br />
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...<br /><br /><br /><br /><br /><br />
'''ohne ''komplanar'' etc:''' Wenn vier Punkte nicht einer gemeinsamen Ebene angehören, liegen jeweils drei von ihnen nicht auf einer gemeinsamen Geraden.<br /><br />
'''ohne ''wenn-dann'':''' Von vier nicht komplanaren Punkten sind je drei nicht kollinear.<br /><br />
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'''Beweis:''' Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.<br /><br />
zu zeigen: je drei dieser Punkte sind nicht kollinear<br /><br />
Annahme: Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte <math>\ A, B, C</math> sein.<br />
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Aus Axiom I/4 folgt, dass es für die Punkte <math>\ A, B</math> und den vierten Punkt <math> D </math> genau eine Ebene gibt - nennen wir sie <small>e</small>, die diese Punkte enthält, da dieses Punktetrio ja eben nicht kollinear ist.<br /><br />
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Aus der Annahme folgt, dass <math>\ A, B, C</math> auf der gleichen Geraden, nennen wir sie g, liegen, sie sind ja kollinear.<br /><br />
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Aus Axiom I/5 folgt, dass die Gerade AB ganz zu der Ebene <small>e</small> gehört, da zwei ihrer Punkte, nämlich <math>\ A, B</math> zu ihr gehören - schließlich haben wir <small>e</small> ja gerade eben auf den Punkten A, B und D aufgespannt.<br /><br />
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Wenn aber die ganze Gerade AB zu <small>e</small> gehört, dann gilt das für jeden Punkt von AB, also auch für C (der ja nach der Annahme kollinear zu A und B ist).<br /><br />
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Somit sind A, B, C und D aber doch komplanar, was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre.<br /><br />
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(Muss ich den Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind, auch noch behandeln? Eigentlich doch nicht, denn bei ihm sind ja auch drei Punkte kollinear und schon das geht nicht, oder? Doch, halt, ich benutze die Konstellation "A,B,D, nicht kollinear" für das Aufspannen der Ebene. Aber wären alle vier kollinear, dürfte ich nach Axiom I/3 einfach einen weiteren, diesmal nicht kollinearen Punkt dazu"erfinden" und dann klappt doch alles, richtig?) --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 22:19, 24. Mai 2011 (CEST)<br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._7.5_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 7.5 (SoSe 11)2011-05-24T19:35:39Z<p>WikiNutzer: </p>
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<div>Axiom I/1 sagte aus, dass es zu je zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, zu der die beiden Punkte gehören. Für die räumliche Geometrie gibt es ein analoges Axiom. Wir wollen es mit Axiom I/4 bezeichnen. Formulieren Sie dieses Axiom I/4.<br /><br /><br /><br />
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Vielleicht: Axiom I/4 - Zu je drei paarweise verschiedenen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der alle drei Punkte gehören. --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 21:35, 24. Mai 2011 (CEST)<br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._7.4_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 7.4 (SoSe 11)2011-05-24T18:26:58Z<p>WikiNutzer: </p>
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<div>Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.<br />
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# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“<br />
# Beweisen Sie Satz I indirekt.<br />
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.<br />
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.<br />
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I. <br />
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?<br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.<br /><br />
2. Voraussetzung: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>)<br />Behauptung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden<br />Annahme (für indirekten Beweis): zwei der drei Punkte sind NICHT verschieden, also identisch, sagen wir mal, <math>A</math> und <math>B</math><br /><br />
Aus Axiom I/1 folgt, dass es genau eine Gerade gibt, der <math>A</math> und der dritte Punkt <math>C</math> angehören.<br /><br />
Da <math>A</math> aber mit <math>B</math> identisch ist (Annahme), gehört <math>B</math> auch dieser Geraden <math>AC</math> an.<br /><br />
Da es also eine Gerade gibt, der alle drei Punkte angehören, sind sie kollinear, was ein '''Widerspruch''' zur Voraussetzung ist.<br /><br />
Das gleiche gilt, wenn ich <math>B</math> und <math>C</math> oder <math>A</math> und <math>C</math> in der Annahme identisch setze.<br />
Ich habe das Gefühl, hier viele Schritte gemacht zu haben, die gar nicht notwendig sind - und auch beim nächsten bin ich mir unsicher, ob der überhaupt gebraucht wird:<br />
Falls <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> identisch sind, kann ich einen vierten Punkt wählen, durch den und die drei identischen eine Gerade legen und schon wieder gibt es eine Gerade, die alle drei Punkte enthält und damit einen Widerspruch zur Voraussetzung erzeugt.<br /><br />
3. Kontraposition: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind , dann sind sie kollinear.<br /><br />
keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder?<br /><br />
5. Umkehrung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.<br /><br />
6. Nein, gilt nicht: drei verschiedene Punkte auf einer Geraden sind das Gegenbeispiel --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 20:26, 24. Mai 2011 (CEST)<br /><br /></div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._7.2_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 7.2 (SoSe 11)2011-05-24T17:53:29Z<p>WikiNutzer: </p>
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<div>Oberstudienrat Kramer beginnt die Stunde zur analytischen Geometrie mit der Frage, ob denn jemand wüsste, wie eine Gerade im <math>\mathbb{R}^2</math> definiert wäre. Vergleichen Sie mit Aufgabe 1.<br />
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Wird aber nicht in der analytischen Geometrie, eine Grade als eindimensionaler Untervektorraum definiert?--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:07, 23. Mai 2011 (CEST)<br />
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Wird in de analytischen Geometrie mit Vektoren gearbeitet? Was ist eigentlich ein Untervektorraum?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:33, 24. Mai 2011 (CEST)<br />[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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Ich hätte jetzt darauf getippt, dass Geraden im <math>\mathbb{R}^2</math> in der analytischen Geometrie bestimmte Eigenschaften haben, vor allem die gleichbleibende Steigung, und dass bestimmte Funktionstypen eben Geraden als Graphen haben. Wenn man davon ausgeht, dass die analytische Geometrie mit dem Koordinatensystem eine "Frucht" der "normalen" Geometrie ist und dass letztere wiederum von uns auf Axiomen aufgebaut ist, dann wäre vielleicht eher z.B. die lineare Funktion über den Begriff der Geraden definiert und nicht die Gerade über die Funktion. So gesehen, wäre es dann vielleicht ein Geraden-Satz, keine Definition, zu sagen "Graphen von linearen Funktionen sind Geraden". Oder liege ich völlig daneben und analytische Geometrie ist etwas ganz anderes? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 19:53, 24. Mai 2011 (CEST)</div>WikiNutzerhttp://geometrie.zum.de/wiki/L%C3%B6sung_von_Aufg._7.1_(SoSe_11)Lösung von Aufg. 7.1 (SoSe 11)2011-05-24T17:42:22Z<p>WikiNutzer: </p>
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<div>Frau Schultze-Kröttendörfer beginnt die letzte Geometriestunde in ihrer 4. Klasse mit der folgenden Frage: „In der letzten Woche haben wir ganz viele Geraden gezeichnet. Wer weiß denn noch was eine Gerade ist?“<br />
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Warum ist diese Frage nicht nur aus didaktischer Sicht sinnlos?<br />
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Antwort:<br />
Da die Grade ein undefinierter Grundbegriff in der Geometrie ist, macht es keinen Sinn zu fragen was sie ist.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 11:46, 23. Mai 2011 (CEST)<br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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Aber:<br />
Wenn die Frage auch mathematisch unsinnig ist: Geraden sind eben (für Grundschüler) einzelne Bleistift- oder Kreidelinien, die gerade sind, also keinen Knicke, Rundungen oder Dellen haben, und die man beliebig verlängern kann, ohne was falsch zu machen. Ich bin mir recht sicher, dass Grundschüler von der Anschauung her kommen und die Frage sehr wohl sinnvoll fänden.<br />
Wieso wäre es daher didaktisch unsinnig, Grundschüler nochmal wiederholen zu lassen, woran sie Geraden z.B. von Bögen, Wellenlinien oder Rechtecken unterscheiden? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 19:42, 24. Mai 2011 (CEST)</div>WikiNutzer