Umkehrung von Implikationen SoSe 2018

Allgemein Wir betrachten die Implikation $a \Rightarrow b$. Die Implikation $b \Rightarrow a$ ist die Umkehrung der Implikation $a \Rightarrow b$. Wir vertauschen also die Rolle von Voraussetzung und Behauptung der Ausgangsimplikation. Beide Implikationen, Ausgangsimplikation und zugehörige Umkehrung, müssen nicht zwangsläufig denselben Wahrheitsgehalt haben. Beispiele Beispiel 1 Teilbarkeit Implikation: Aus der Teilbarkeit durch 9 folgt die Teilbarkeit durch 3 Wenn eine Zahl $9$ ein Teiler von $a$ ist, dann ist $3$ auch ein Teiler von $a$. Voraussetzung: $9 \mid a$ Behauptung: $3 \mid a$ Die Implikation ist wahr, wie der folgende Beweis zeigt: Wir übersetzten die Voraussetzung: $9 \mid a$ bedeutet: $\exists n \in \mathbb{Z}: n \cdot 9 = a$. Wir übersetzen die Behauptung: $3 \mid a$ bedeutet: $\exists m \in \mathbb{Z}: 3 \cdot m= a$. Unter der Voraussetzung, dass eine ganze Zahl $n$ existiert, die mit $9$ multipliziert $a$ ergibt, müssen wir also zeigen, dass es eine ganze Zahl $m$ gibt, die mit $3$ multipliziert $a$ ergibt. $m=3n$ leistet das Verlangte: $3 \cdot m = 3 \cdot (3 \cdot n) = (3 \cdot 3) \cdot n = 9 \cdot n = a$. Umkehrung: Aus der Teilbarkeit durch 3 folgt die Teilbarkeit durch 9 Wenn eine Zahl durch $3$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $9$ teilbar. Voraussetzung der Umkehrung: $3 \mid a$ Behauptung der Umkehrung: $9 \mid a$ Die Umkehrung einer Implikation ist selbst wieder eine Implikation. Die Aussage Wenn eine Zahl durch $3$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $9$ teilbar. ist wie die Implikation, aus der sie durch Umkehrung entstand, eine Allaussage: $\forall a \in \mathbb{Z}: 3 \mid a \Rightarrow 9 \mid a$ Nun gibt es ganze Zahlen wie etwa $666$ (the number of the biest), die sowohl durch $3$ als auch durch $9$ teilbar sind. Weil aber z.B. $66$ zwar durch $3$, aber nicht durch $9$ teilbar ist, muss die Umkehrung unserer Ausgangsimplikation keine wahre Aussage.