Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010): Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 14. Dezember 2010, 18:39 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Das Anliegen der Vorlesung

Bewegungen sind seit längerer Zeit integraler Stoff des Geometrieunterrichts der Schule. Bereits in der Primarstufe beschäftigen sich die Schüler mit achsensymmetrischen Figuren und in diesem Zusammenhang mit Geradenspiegelungen.
In letzter Zeit zeigen die Lehrbücher insbesondere der SI eine vergleichsweise geringere Gewichtung der Kongruenzabbildungen als etwa noch vor 5 Jahren. Eine Rückkehr zur eher statischen Kongruenzgeometrie auf der Grundlage der Dreieckskongruenz scheint sich anzubahnen.
Die Vorlesung soll aufzeigen wodurch dieser Paradigmenwechsel zustande kam. In diesem Zusammenhang wird aufgezeigt welche Probleme und welche Potenzen eine Kongruenzgeometrie auf abbildungsgeometrischer Grundlage für den Unterricht der Primar- und insbesondere der Sekundarstufe in sich birgt.

Noch einmal: die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie

Kongruenzgeometrie
auf der Grundlage der Dreieckskongruenz auf der Grundlage des Bewegungsbegriffs
Ausgangspunkt: Dreieckskongruenzsätze Ausgangspunkt: Bewegungen als .....
\ \overline{AB} \cong \overline{CD} := ....

\ \angle{ASB} \cong \angle{PZQ} := ...
\ \overline{ABC} \cong \overline{A'B'C'}:= ....
Es seien \ F_1 und \ F_2 zwei Figuren. \ F_1 \cong F_2 := ...

Es seien \ F_1 und \ F_2 zwei Figuren. \ F_1 \cong F_2 := ...

Wege zur Definition des Begriffs der Kongruenzabbildung

  1. Allgemeiner Bewegungsbegriff → axiomatische Absicherung der Existenz von Bewegungen (Bewegungsaxiom) → Kongruenzabbildung als Synonym → spezielle Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Drehung, Verschiebung).
  2. Geradenspiegelung → axiomatische Begründung von Geradenspiegelungen → Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung zweier bzw. dreier Geradenspiegelungen.
  3. axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Definition der Bewegung als abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich → Synonym Kongruenzabbildung → definition und Untersuchung spezieller Kongruenzabbildungen.
  4. axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Untersuchung von Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen.

Abbildungsgeometrische Beweise

Lange vorherrschende Meinung in der Mathematikdidaktik

Abbildungsgeometrische Beweise sind einfach, elegant, anschaulich und gut zu verstehen.

WIRKLICH????????

Beispiele

Beispiel 1

Satz
Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen \ D_{Z_1,\alpha} und \ D_{Z_2,\beta} mit \ Z_1 und \ Z_2 sind verschieden voneinander ist entweder eine Drehung oder eine Verschiebung.
Beweis

\ D_{Z_2,\beta} \circ \ D_{Z_1,\alpha} = S_d \circ S_c \circ S_b \circ S_a



Ist das was für Schüler der SI?

Beispiel 2

Der Basiswinkelsatz
Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.



Wie man leicht sieht, wird das Dreieck \overline{ABC} bei einer Spiegelung an \ s auf sich selbst abgebildet. Also wird auch ein Basiswinkel auf den jeweils anderen Basiswinkel abgebildet. also sind die beiden Basiswinkel gleich groß.

IST DAS EIN BEWEIS ????????

Beispiel 3

Satz des Thales
Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.

Unbenannt-5 Kopie.jpg


Abbildungsgeometrischer Beweis des Thalessatzes
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \ S_a(A)=P a ist Mittelsenkrechte von AP
(II) \ S_b(P)=B b ist Mittelsenktrechte von PB
(III) \ S_b(S_a(A))=B (I),(II) HIntereinanderführung zweier Spiegelungen ist eine eindeutige Bewegung
(IV) (III) ist eine Drehung um 180° koll(A,M,B);da M nach dem Mittelsenkrechtenkriterium auf AB liegen muss
(V) a \perp b (IV) und einem Satz über den Drehungswinkel
(VI) y = 90° (I), (II), (V) Innenwinkelsumme im Viereck

--Tja??? 16:39, 14. Dez. 2010 (UTC)

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