Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

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Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!


Inhaltsverzeichnis

Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)

  • Punkt
  • Gerade
  • Ebene

Begriffsklärungen

  • disjunkt - elementfremd, nicht gleich
  • identitiv - antisymmetrisch, gleich
    (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
  • inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
    (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
  • kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
  • komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
  • reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
  • symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
    (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
  • transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
    Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
    auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"

Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengen \ A und \ B sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.
Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
  1. Nichtfolgerbarkeit einer Aussage \ a aus einer Menge \ A von Axiomen
Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage \ a aus einer Menge \ A von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von \ a aus \ A scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für \ A. In jedem Modell für \ A müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus \ A abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für \ A finden, in dem \ a nicht gilt ...
  1. Modell für eine Menge von Axiomen
...

*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)


Klasseneinteilung

Es sei M eine Menge und K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} eine Menge von Teilmengen von M.
K ist eine Klasseneinteilung von M, wenn gilt:
  1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
  2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
  3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge M.
Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien  M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n ist eine \ n-stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation \ R in einer Menge \ M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Axiome

  • Inzidenzaxiome:
Axiom I/0
Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
Axiom I/1(Axiom von der Geraden)
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Axiom I/2
Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Axiom I/3
Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I/4
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I/5
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I/6
Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I/7
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
  • Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Falls \operatorname{koll} \left( ABC \right), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind \ A, \ B und \ C kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
Zu jeder nicht negativen reelen Zahl \ d gibt es auf jedem Strahl \ p genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von \ p den Abstand \ d hat.
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
Gegeben sei ein Dreieck \overline{ABC}. Ferner sei \ g eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte \ A, B, C geht. Wenn \ g eine der drei Seiten des Dreiecks \overline{ABC} schneidet, dann schneidet \ g genau eine weitere Seite des Dreiecks \overline{ABC}.

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel \ \alpha gibt es genau eine reelle Zahl \ \omega zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene \ \Epsilon. Zu jeder reellen Zahl \ \omega mit \ 0 < \omega < 180 gibt es in jeder der beiden durch \ g bestimmten Halbebenen der Ebene \ \Epsilon genau einen Strahl \ SB^+ mit \ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt \ P zum Inneren des Winkels \ \angle ASB gehört , dann gilt \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} die folgenden 3 Kongruenzen
  1. \overline{AB} \cong \overline{DE}
  2. \overline{AC} \cong \overline{DF}
  3. \angle CAB \cong \angle FDE
gelten,
dann sind die beiden Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} kongruent zueinander.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)
Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
Definition I/5: (Raum)
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
Definition I/6: (komplanar)
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
Definition I/7: (komplanar für Geraden)
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
Schreibweise: komp(g, h)
Definition I/8: (Geradenparallelität)
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
In Zeichen: g||h.
Definition I/9: (windschief )
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
Definition I/10: (parallel für Ebenen)
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte \ A und \ B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten \ A und \ B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d = \left| AB \right|.
Definition II.2: (Zwischenrelation)
Ein Punkt \ B liegt zwischen zwei Punkten \ A und \ C, wenn  \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| gilt und der Punkt \ B sowohl von \ A als auch von \ C verschieden ist.
Schreibweise:  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die \ A und \ B sowie alle Punkte, die zwischen \ A und \ B liegen, enthält, heißt Strecke \overline{AB}. Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. Der Abstand \vert AB \vert heißt Länge der Strecke \overline{AB}. OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Lösung_von_Aufgabe_6.5


Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade AB^+

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte \ A und \ B. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden \ AB^+ versteht man die Strecke \overline{AB} vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man \overline{AB} über \ B hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade \ AB^+.

Definition: Halbgerade AB^+
AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}

diese Lösung ist richtig!--Schnirch 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)


Lösung_von_Aufgabe_6.6


Gegeben seien zwei nicht identische Punkte \ A und \ B. Unter \ AB^- wollen wir die Menge aller Punkte \ P verstehen, die man erhält, wenn man \overline{A B} über \ A hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte \ P an.

Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}

diese Lösung ist richtig! --Schnirch 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
Wenn ein Punkt \ M der Strecke \overline{AB} zu den Endpunkten \ A und \ B jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke \overline{AB}.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
Es sei \ \Epsilon eine Ebene in der die Gerade \ g liegen möge. Ferner sei \ Q ein Punkt der Ebene \ \Epsilon, der nicht zur Geraden \ g gehört.
Unter den offenen Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden \ g versteht man die folgenden Punktmengen:
\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}
\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}

Dozenten.jpg


muss es nicht heißen: \ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder? --Frühling 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Definition IV.2: (Halbebene)
\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}
\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}

Dozenten.jpg


Es sei \ g eine Gerade der Ebene \ \Epsilon. \ gQ^+ und \ gQ^- seien die beiden offenen Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich \ g. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich \ g versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von \ \Epsilon bezüglich der Geraden \ g mit jeweils dieser Geraden \ g entstehen.
\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}
\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}


Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: \ g Q^+, (geschlossene) Halbebene: \ g Q^+. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass \ g Q^+ bzw. \ g Q^- immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
--*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --Rakorium 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
Eine Menge \ M von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten \ A und \ B dieser Menge die gesamte Strecke \overline{AB} zu \ M gehört.
Definition V.1: (Winkel)
Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.
Definition V.2: (Inneres eines Winkels)
Das Innere eines Winkels \angle ASB ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen \ SA,B^+ und \ SB,A^+
Definition V.3: (Scheitelwinkel)
Die Winkel \angle SA^+,SB^+ und \angle SA^-,SB^- sind Scheitelwinkel.
Definition V.4: (Nebenwinkel)
Die Winkel \angle SA^+,SB^+ und \angle SA^-,SB^+ sind Nebenwinkel.
Definition V.5: (Größe eines Winkels)
Die Zahl \ \omega, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel \ \alpha eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von \ \alpha genannt.
In Zeichen: \omega = \left| \alpha \right|.
Definition V.6 : (Rechter Winkel)
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.
Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)
Es seien \ g und \ h zwei Geraden. Wenn sich \ g und \ h schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden \ g und \ h senkrecht aufeinader.
In Zeichen: \ g \perp \ h (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Sätze

Satz I.1
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)
Es seien g und h zwei Geraden.
Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.
Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)
Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
Satz I.5:
Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
Satz I.6:
Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.7:
Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
Satz II.1
Aus  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt  \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) .
Satz II.2:
Aus  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt  \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) .
Satz II.3
Es sei  \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) mit \ A, B, C sind paarweise verschieden.
Dann gilt  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) oder  \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) oder  \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) .
Satz II.4
Es sei \ O ein Punkt einer Geraden \ g.
Die Teilmengen  \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\},  \left\{ O \right\} und  \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} bilden eine Klasseneinteilung der Geraden \ g.
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit)
Wenn \ Q_2 ein Punkt der Halbebene \ {gQ_1}^{+} ist, dann gilt \ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+} und \ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}.
Satz IV.2
Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Satz IV.3
Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Satz V.1
Das Innere eines Winkels ist konvex.

Satz V.2

Wenn der Punkt \ P im Inneren des Winkels \ \angle ASB und nicht auf einem der Schenkel des Winkels \ \angle ASB liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel \ \angle ASP und \ \angle PSB jeweils kleiner als die Größe des Winkels \ \angle ASB.

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Satz V.5 : ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt)

Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Satz VI. 1 \frac{1}{2}

Es sei \ SW^+ die Winkelhalbierende des Winkels \angle ASB. Dann gilt | \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |.

Satz VII.1:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.3:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)

Wenn für zwei Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} die folgenden 3 Kongruenzen
  1. \overline{AB} \cong \overline{DE}
  2. \angle CAB \cong \angle FDE
  3. \angle ABC \cong \angle DEF
gelten,
dann sind die beiden Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} kongruent zueinander.

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Lemma 1

Die Winkelhalbierende \ SW^+ eines Winkels \ \angle ASB schneidet die Strecke \overline{AB} in genau einem Punkt \ P.

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Eine Menge \ M von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke \ \overline{AB}, wenn für jeden Punkt \ P \in\ M gilt: \overline{AP} \cong \overline{BP}.

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB}gehört.)

Wenn ein Punkt \ P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB} gehört)

Wenn ein Punkt \ P zur Mittelsenkrechten der Strecke \overline{AB} gehört, dann hat er zu den Punkten \ A und \ B ein und denselben Abstand.