Winkelmessung

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Inhaltsverzeichnis

Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)
Zu jedem Winkel \ \alpha gibt es genau eine reelle Zahl \ \omega zwischen 0 und 180.
Definition V.4: (Größe eines Winkels)
Die Zahl \ \omega, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel \ \alpha eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von \ \alpha genannt.
In Zeichen: \omega = \left| \alpha \right|.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
Es sei \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene \ \Epsilon. Zu jedem Winkel \ \alpha gibt es in jeder der beiden durch \ g bestimmten Halbebenen der Ebene \ \Epsilon genau einen Strahl \ SB^+ mit \ \left| \alpha \right| = \left| \angle ASB \right|

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
Wenn der Punkt \ P zum Inneren des Winkels \ \angle ASB gehört und nicht auf den Schenkeln von \ \angle ASB liegt, dann gilt \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|.
Satz V.2
Wenn der Punkt \ P im Inneren des Winkels \ \angle ASB liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel \ \angle ASP und \ \angle PSB jeweils kleiner als die Größe des Winkels \ \angle ASB.
Beweis von Satz V.2

Rechte Winkel

Definition V.5 : (Rechter Winkel)
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
Definition V.6 : (Supplementärwinkel)
Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
Nebenwinkel sind supplementär.
Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln)
Es gibt rechte Winkel.