Winkelmessung WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

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(Satz V.2)
(Definition V.12: (senkrecht für Ebenen))
 
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::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.
 
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.
  
==== Beweis von Satz V.2 ====<br />
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==== Beweis von Satz V.2 ====
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ÜA
  
 
== Rechte Winkel ==
 
== Rechte Winkel ==
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Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.<br />
 
Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.<br />
  
----Einschub: Das Supplementaxiom besagt doch nur, dass Nebenwinkel supplementär sind..!? Nach der Def. supplementär wissen wir erst, dass" zwei Winkel genau dann supplementär heißen, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt."...--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 11:45, 1. Jul. 2012 (CEST)<br />
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Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
 
Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?
 
Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?
 
=====Frage zur Def. V.8=====
 
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? <br />
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
 
=====Antwort M.G.=====
 
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.
 
 
Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
<br />
 
 
Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
 
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
 
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
 
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-)<br />
 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum".<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)
 
  
 
===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
 
===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
 
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
 
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
  
'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn die Gerade <math>g</math> senkrecht auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> steht. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)
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beim  Schnitt der Gerade g mit der Strecke AB ein rechter Winkel entsteht. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 16:41, 21. Jan. 2013 (CET)
 
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Ich meine es müsste heißen "...wenn sich die Geraden AB und g schneiden und dabei rechte Winkel entstehen." Eine Strecke kann meines Wissens nach nicht senkrecht auf einer Geraden stehen, sondern nur die Gerade, die durch die beiden Punkte der Strecke eindeutig bestimmt ist.--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:26, 1. Jul. 2012 (CEST)<br />
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''' @ osterhase '''
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Glaub ich nicht. <br />
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1. Senkrecht ist bereits Def.<br />
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2. Schneiden müssen sie sich nicht wegen Def. V.8<br />
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3. Es geht hier um eine Strecke und um eine Gerade. (Das war ja gegeben)
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--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:15, 5. Jul. 2012 (CEST)
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===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
 
===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
 
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
 
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> senkrecht aufeinander stehen. ''<br />
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... beim Schnitt von <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> ein rechter Winkel entsteht. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 16:45, 21. Jan. 2013 (CET)
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)
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Same procedure: Die Gerade AB und die Gerade PQ stehen senkrecht aufeinander, wenn...--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:27, 1. Jul. 2012 (CEST)
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======Bemerkungen zu den Definitionen V.9 und V.10 --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:11, 21. Jan. 2013 (CET)======
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''' @ osterhase ''' Genau das Gleiche....
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Prinzipiell geht das schon so. Der Teufel steckt jedoch im Detail. Eine Gerade und eine Strecke bzw zwei Strecken können auch senkrecht zueinander stehen, wenn sie sich nicht schneiden. Die Formulierungen sind also nicht ganz korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:11, 21. Jan. 2013 (CET)
Es wir in der Def. gefordert das es sich um zwei Stecken handelt und nicht um Geraden
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--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:18, 5. Jul. 2012 (CEST)
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===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
 
===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
 
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
 
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist.  ''<br />
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--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)
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...sich g und eine Gerade h Element <math>\varepsilon</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen.
  
 
===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
 
===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...  
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::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math>  <math>\varepsilon</math>,
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...sich eine Gerade g der Ebene <math>\varepsilon</math> und eine Gerade h der Ebene <math>\alpha</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 16:47, 21. Jan. 2013 (CET)
<math>P_2</math>  <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2  \right| = 90</math> gilt.<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)
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======Bemerkungen zu den Definitionen V.11 und V.12======
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So einfach ist es nicht: Eine Gerade <math>g</math> und eine Gerade <math>h</math> der Ebene <math>\varepsilon</math> können senkrecht stehen, obwohl <math>g</math> nicht senkrecht auf <math>\varepsilon</math> steht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:14, 21. Jan. 2013 (CET)
... eine Gerade <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegt, eine Gerade <math>s</math> in <math>\alpha</math> liegt und <math> g\perp s</math> gilt.
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:Ist die Definition so sinnvoll?
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:Mein Gedanke war: Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander verlaufen, dann müssen auch die Ebenen in welchen sie liegen senkrecht zueinander sein.
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--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 19:26, 28. Jun. 2012 (CEST)
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==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====
 
==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====
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===== Beweis von Satz V.5 =====
 
===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium
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ÜA
  
 
==Einige Lemmata zu Winkeln==
 
==Einige Lemmata zu Winkeln==

Aktuelle Version vom 21. Januar 2013, 22:14 Uhr


Inhaltsverzeichnis

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel \alpha gibt es genau eine reelle Zahl \omega zwischen 0 und 180.

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl \omega, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel \alpha eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von \alpha genannt.
In Zeichen: \omega = \left| \alpha \right|.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene \ \varepsilon. Zu jeder reellen Zahl \ \omega mit \ 0 < \omega < 180 gibt es in jeder der beiden durch \ g bestimmten Halbebenen der Ebene \ \varepsilon genau einen Strahl \ SB^+ mit \ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|.


Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt \ P zum Inneren des Winkels \ \angle ASB gehört , dann gilt \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|.

Satz V.2

Wenn der Punkt P im Inneren des Winkels \angle ASB und nicht auf einem der Schenkel des Winkels  \angle ASB liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel \angle ASP und \angle PSB jeweils kleiner als die Größe des Winkels \angle ASB.

Beweis von Satz V.2

ÜA

Rechte Winkel

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V.3 :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.


Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.




Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden \ SA zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel \ \angle ASP gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz V.4 :

Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.

Die Relation Senkrecht auf verschiedenen Punktmengen

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn sich g und h schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden g und h senkrecht aufeinader.
In Zeichen: g \perp h (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden)
Eine Gerade g und eine Strecke \overline{AB} stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

beim Schnitt der Gerade g mit der Strecke AB ein rechter Winkel entsteht. --...lw)... 16:41, 21. Jan. 2013 (CET)

Definition V.10: (senkrecht für Strecken)
Zwei Strecken \overline{AB} und \overline{PQ} stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

... beim Schnitt von \overline{AB} und \overline{PQ} ein rechter Winkel entsteht. --...lw)... 16:45, 21. Jan. 2013 (CET)

Bemerkungen zu den Definitionen V.9 und V.10 --*m.g.* 22:11, 21. Jan. 2013 (CET)

Prinzipiell geht das schon so. Der Teufel steckt jedoch im Detail. Eine Gerade und eine Strecke bzw zwei Strecken können auch senkrecht zueinander stehen, wenn sie sich nicht schneiden. Die Formulierungen sind also nicht ganz korrekt.--*m.g.* 22:11, 21. Jan. 2013 (CET)

Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)
Eine Gerade g steht senkrecht auf einer Ebene \varepsilon wenn, ... .

...sich g und eine Gerade h Element \varepsilon schneiden und dabei rechte Winkel entstehen.

Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)
Eine Ebene \varepsilon steht senkrecht auf einer Ebene \alpha, wenn ...

...sich eine Gerade g der Ebene \varepsilon und eine Gerade h der Ebene \alpha schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. --...lw)... 16:47, 21. Jan. 2013 (CET)

Bemerkungen zu den Definitionen V.11 und V.12

So einfach ist es nicht: Eine Gerade g und eine Gerade h der Ebene \varepsilon können senkrecht stehen, obwohl g nicht senkrecht auf \varepsilon steht.--*m.g.* 22:14, 21. Jan. 2013 (CET)

Eigenschaften der Relation senkrecht

1. Für beliebige g, h, i aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:

g \perp g
g \perp h \Rightarrow h \perp g
g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i
g \perp h \vee g \equiv h

Punkte: 0 / 0


Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)
Es sei g eine Gerade der Ebene  \varepsilon. Ferner sei P ein Punkt auf g. In der Ebene \varepsilon gibt es genau eine Gerade s, die durch P geht und senkrecht auf  g steht.
Beweis von Satz V.5

ÜA

Einige Lemmata zu Winkeln

Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei: Lemmata zu Winkeln

Vorbemerkungen

Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[1]

Lemma W/1

Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte A, B, S. Wenn P ein Punkt der offenen Strecke \overline{AB} ist, dann liegt der Strahl SP^+ vollständig im Inneren von \angle ASB.

Lemma01.jpg

Lemma W/2

Liegt ein Punkt P im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel S, dann liegt der gesamte Strahl SP^+ im Inneren dieses Winkels.

Lemma W/3

Es seien A,B,S drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt P im Inneren des Winkels \angle ASB und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl SP^+ die offene Strecke \overline{AB}.