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| − | == Zusatzaufgabe 8.3 ==
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| − | Beweisen Sie: Halbebenen sind konvexe Punktmengen. <br />
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| − | [[Lösung von Zusatzaufgabe 8.3_S]]
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| − | z.z. offene HE sind konvexe Punktmengen
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| − | Vor: offene HE gP<sup>+</sup>
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| − | Beh: gP<sup>+</sup>
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| − | direkter Beweis:
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| − | (1) Q sei ein beliebiger weiterer Pkt, der mit P in der offenen Halbebene gP<sup>+</sup> liegt
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| − | (2) Es gilt dann: Strecke QP geschnitten mit g = {}; Begründung: Def. Halbebene
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| − | (3) dann muss folglich für die Punktmenge R Element der Strecke QP gelten, dass diese mit g geschnitten auch = {}; Begründung: (2)
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| − | (4) Alle Punkte auf der Strecke QP gehören zur offenen Halbebene gP<sup>+</sup>; Begründung: (3)
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| − | (5) gP<sup>+</sup> ist konvex; Begrüundung: (4)
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| − | q.e.d.
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| − | Es müssten jedoch noch weitere 2 Fälle betrachtet werden:
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| − | 1. Dass die 2 Punkte A und B der Punktmenge auf der Trägergerade g liegen
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| − | -> Strecke AB liegt vollständig in g und gehört somit auch zur HE gP<sup>+</sup>.
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| − | 2. Dass ein Punkt A auf der Trägergeraden g liegt und ein Punkt B jedoch in der offenen HE gP<sup>+</sup> liegt.
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| − | -> Hierzu teilen wir die Strecke AB in die Strecke AB ohne A und dem Punkt A auf.
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| − | Die Strecke AB ohne A hat keinen Schnittpunkt mit g und A gehört zu g und somit auch zur HE gP<sup>+</sup>--[[Benutzer:Sissy66|Sissy66]] 00:09, 18. Jun. 2012 (CEST)
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| | == Zusatzaufgabe 8.4 == | | == Zusatzaufgabe 8.4 == |
Version vom 18. Juni 2012, 00:09 Uhr
Zusatzaufgabe 8.1
Unter dem Raum 
versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge
sei eine Ebene. Gegeben sei ferner 
mit 
. Definieren Sie die Begriffe Halbraum 
und 
.
Lösung von Zusatzaufgabe 8.1_S
Zusatzaufgabe 8.2
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises. (Kreis sei bereits definiert.)
Lösung von Zusatzaufgabe 8.2_S
Zusatzaufgabe 8.4
Seien 
und 
drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte 
. Sei g eine Gerade. Beweisen Sie:
.
Lösung von Zusatzaufgabe 8.4_S
