Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 3 SoSe 2018

Aufgabe 3.1 Es seien $\overline{a}$ und $\overline{b}$ zwei Restklassen bzgl. des selben Moduls $n$. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit Restklassenaddition: $\forall a_1, a_2 \in \overline{a} \land b_1, b_2 \in \overline{b}: \overline{a_1+b_1}=\overline{a_2+b_2}$. Aufgabe 3.2 Auf der Menge aller Brüche $\mathbb{B}$ definieren wir deine Relation quotientengleich $=_Q$: $\forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{B}: \frac{a}{b} =_Q \frac{c}{d} :\Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c.$ Zeigen Sie, dass $=_Q$ eine Äquivalenzrelation ist. Aufgabe 3.3 Die Relation quotientengleich $=_Q$ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Brüche und zieht damit eine Klasseneinteilung nach sich. Die Menge aller Äquivalenzklassen nach $=_Q$ ist die Menge der gebrochenen Zahlen $\mathbb{Q}^+$. Eine gebrochene Zahl $\overline{\frac{a}{b}}$ ist damit eine Äquivalenzklasse nach der Relation $=_Q$, d.h. der Bruch $\frac{e}{f}$ gehört genau dann zu $\overline{\frac{a}{b}}$, wenn $\frac{e}{f}=_Q\frac{a}{b}$ gilt. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Multiplikation gebrochener Zahlen. Aufgabe 3.4 Bestimmen Sie die Ordnung der multiplikativen Restklassengruppe modulo 97. Aufgabe 3.5 Bestimmen Sie die Elementordnungen der Elemente der Klein'schen Vierergruppe. Aufgabe 3.6 Bestimmen Sie alle erzeugenden Elemente der additiven Restklassengruppe modulo 256. (Excel hilft) Aufgabe 3.7 Es sei $[G, \oplus]$ eine zyklische Gruppe. Beweisen Sie, dass $[G, \oplus]$ kommutativ ist. Aufgabe 3.8 Es sei $[G, \otimes]$ eine endliche Gruppe. Beweisen Sie: In jeder Zeile und in jeder Spalte der Verknüpfungstafel von $[G, \otimes]$ tritt jedes Element aus $[G, \otimes]$ genau einmal auf. Aufgabe 3.9 Gegeben seien die folgenden Matrizen: (a) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (b) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (c) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{pmatrix}$ (d) $\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ (e) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} & -\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{pmatrix}$ Dir transponierte Matrix $M^T$einer gegebenen Matrix $M$ erhält man, wenn man die Rolle der Zeilen und Spalten vertauscht, d.h aus der ersten Zeile macht man die erste Spalte, aus der zweiten Zeile die zweite Spalte ... : $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ Für welche der gegeben Matrizen ist die transponierte Matrix gleich der inversen Matrix? Aufgabe 3.10 Es sei $D$ die folgende Menge von Matrizen: $D:=\left \{ \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix} \bigg \vert x \in \mathbb{R}\right \}$ a) Beweisen Sie: $D$ bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation $\circ$ eine Gruppe. b) Was gilt für die Determinante aller Elemente von $D$?