Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 5 SoSe 2018

Aufgabe 5.1 Es sei $[G, \circ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie: $\forall a \in G: (a^{-1})^{-1}=a$. Aufgabe 5.2 Es sei $[G, \circ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie: $\forall a,b \in G: (a \circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$. Aufgabe 5.3 Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1. Aufgabe 5.4 Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 2. Aufgabe 5.5 Bestimmen Sie die zu $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ inverse Matrix. Aufgabe 5.6 Bestimmen Sie die zu $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ inverse Matrix. Aufgabe 5.7 Erstellen Sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates. Aufgabe 5.8 Beweisen Sie: Die Gruppe der durch $2$ teilbaren ganzen Zahlen ist eine Untergruppe der Gruppe der ganzen Zahlen. Aufgabe 5.9 Beweisen Sie: Die Menge der ungeraden ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition keine Untergruppe der ganzen Zahlen. Aufgabe 5.10 Geben Sie zwei Matrizen an, die selbstinvers sind.