Diskussion:Lösung von Aufgabe 8.1

Lösungsvorschlag:

Vss.: gQ⁺ , gQ^- , R Element gQ^- und R e gR⁺mit R nicht Element g

Beh.: gR⁺ = gQ^- und gR^- = gQ⁺

(1) R e gQ^- Begründung: n. Vss

(2) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {} B:(1), n.Def. Halbebene

(3) Es sei P ein Punkt e gQ^-

(4) Fall 1: nkoll(P, Q, R)

(5) Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} B: n. Def. Halbebene, (3)

(6) Strecke PR geschnitten g = {} B:n. Axiom III/2, (2),(4),(5)

(7) gR⁺:{P/Strecke RP geschnitten mit g ={}} B: n. Def. Halbebene

(8) R e gR⁺ und P e gR⁺ B:(6),(7)

(9) R e gQ^- und R e gR⁺ und P e gQ^- und P e gR⁺ B:(1),(2),(3)

(10) gR⁺ = gQ^- B:(9)

(11) Fall 2: koll (P, Q, R)

(12) Es gilt eine der drei möglcihen Zwischenrelationen: zw (P,Q,R) oder zw (Q,P,R)oder zw (P,R,Q) Axiom II/3, Def. Zwischenrelation

(13) zw (P,Q,R) -> Widerspruch zu (3), dass P e gQ^-

(14) zw (Q,P,R)

-> Strecke QP ist Teilmenge von Strecke QR

-> Wenn Strecke QR geschnitten g ist nicht = {},dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} B:n. Vss, Def. Teilmenge

(15) zw (P,R,Q)

-> Strecke PR vereinigt mit Strecke RQ = Strecke PQ

-> Wenn Strecke RQ geschnitten mit g ist nicht = {}, dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} B:n.Vss.,Def.Vereinungungsmenge

(16) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {}und Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} B:n. Vss.,(14),(15)

(17) P und Q liegen in derselben Halbebene B:(16)

(18) R e gQ^- und R e gR⁺ und P e gQ^- und P e gR⁺ B:n. Vss.,(17)

(19) gQ^- = gR⁺ B:(18)

Jetzt wäre noch zu zeigen, dass qQ⁺ = gR^-

Stimmt das so?