Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

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2012-07-09T11:02:20Z

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Hauptseite

2012-05-31T07:04:17Z

Braindead: /* Hinweise, Kommentare */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
{|width=100%| style="background-color:#E1E1E1; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
|}
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

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'''Spezialveranstaltung'''
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|-
| [[Selbstverteidigung und mentales Training]] Für nächstes Semester haben wir schon den Termin der Veranstaltung festgelegt: Selbe Zeit, selber Ort. || Montag, 10 bis 12 Uhr, Spezialhalle Sportwissenschaften PH, INF 720 
Den Mathedozenten mal so richtig quälen: Jeden Montag von 10 bis 12:

[[Bild: SV_01.png| 272px]]

|}

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{{#widget:Twitter Search
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|title=Geowiki
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}}
Fragen, Hinweise, Probleme? Twittern Sie unter Verwendung des Hashtags #geowiki!
|}
</div>
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Hier ein sehr schönes [[Übungsblatt Halbgeraden|Übungsblatt]] zum Thema Halbgeraden aus der Sekundarstufe!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:20, 29. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Di. || 08-10 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-
| Mo.|| 08-10 Uhr || A206 ||Henrich
|-
| Mo.|| 16-18 Uhr || A108 ||Hucke
|-
| Di.||12-14 Uhr || A106||Zähringer
|-
| Do.|| 10-12 Uhr || A206 ||Strauß
|-
| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||Schulte

|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

|}
</div>
|}
-----
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*Halbgeraden: Das Übungsblatt vom 24.05. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:20, 24. Mai 2012 (CEST) [[Übungsblatt Halbgeraden]]
*Kommentare zu den Folien des Übungsblattes vom 24.5. eingebettet. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:54, 26. Mai 2012 (CEST)
*Die Folien der Classroompresenterübung vom 25.05. :http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/25_05_12/StudentSubmissions.html
Sie finden die Ideen zur Lösung des Problems von Aufgabe 5.2 auf den letzten Folien--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:30, 29. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

{{Schrift_orange|Achtung:}}
Die Vorlesung vom 07.06. (Feiertag) wird verlegt auf Dienstag, 05.06., 18 h, H001. 

====Übungen====

{{Schrift_orange|Achtung:}}Da am Do den 7.6. Feiertag ist, verschiebt sich diese Übung von Ricky Sharma auf Di den 12.6. um 10:00 Uhr. Raum bleibt gleich. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:24, 16. Mai 2012 (CEST)
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|-
| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
|-
| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
|-
| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
|-
| Donnerstag|| 16:00 - 18:00 || A106 ||Jäckle
|-
| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
|}

====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
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|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen. 
Viel Erfolg im Sommersemester 2012! 

|}
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|-
| Freitag|| 10:00 - 12:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

|}
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==
Wir sollten langsam in die Gänge kommen, was die Planung der Prüfungsvorbereitung angeht. Mein Vorschlag: Montag 12 bis 14 Uhr A236. Erste Veranstaltung: 11.06.2012--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:22, 10. Mai 2012 (CEST) 
 
Hört sich nicht schlecht an - Problem: Parallel zu diesem Zeitpunkt findet die Zahlentheorieübung statt, die der eine und die andere besucht. Vielleicht kann der Zeitpunkt getauscht werden (z. B. 14-16 Uhr) - natürlich ist das immer schwierig (wer weiß wie viele da nicht können), aber wir haben ja noch Zeit bis zum 11.06.2012 uns "Lösungsstrategien" für dieses Problem zu überlegen :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:11, 10. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

|}
</div>
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[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2012-05-30T08:54:01Z

Braindead: /* Hinweise, Kommentare */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
{|width=100%| style="background-color:#E1E1E1; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
|}
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| valign="top" |
'''Spezialveranstaltung'''
{| class="wikitable"

|-
| [[Selbstverteidigung und mentales Training]] Für nächstes Semester haben wir schon den Termin der Veranstaltung festgelegt: Selbe Zeit, selber Ort. || Montag, 10 bis 12 Uhr, Spezialhalle Sportwissenschaften PH, INF 720 
Den Mathedozenten mal so richtig quälen: Jeden Montag von 10 bis 12:

[[Bild: SV_01.png| 272px]]

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Fragen, Hinweise, Probleme? Twittern Sie unter Verwendung des Hashtags #geowiki!
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| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Hier ein sehr schönes [[Übungsblatt Halbgeraden|Übungsblatt]] zum Thema Halbgeraden aus der Sekundarstufe!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:20, 29. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Di. || 08-10 Uhr ||H001 ||Schnirch
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====Übungen====
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| Mo.|| 08-10 Uhr || A206 ||Henrich
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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*Halbgeraden: Das Übungsblatt vom 24.05. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:20, 24. Mai 2012 (CEST) [[Übungsblatt Halbgeraden]]
*Kommentare zu den Folien des Übungsblattes vom 24.5. eingebettet. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:54, 26. Mai 2012 (CEST)
*Die Folien der Classroompresenterübung vom 25.05. :http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/25_05_12/StudentSubmissions.html
Sie finden die Ideen zur Lösung des Problems von Aufgabe 5.2 auf den letzten Folien--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:30, 29. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

{{Schrift_orange|Achtung:}}
Die Vorlesung vom 07.06. (Feiertag) wird verlegt auf Dienstag, 05.06., 18 h, H001. 

====Übungen====

{{Schrift_orange|Achtung:}}Da am Do den 7.6. Feiertag ist, verschiebt sich diese Übung von Ricky Sharma auf Di den 12.6. um 10:00 Uhr. Raum bleibt gleich. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:24, 16. Mai 2012 (CEST)
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|-
| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
|-
| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
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| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
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|-
| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
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====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
{| class="wikitable"
|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen. 
Viel Erfolg im Sommersemester 2012! 

''Hallo Geowiki

''kann mir jemand helfen... ich würde mir gerne einige Seiten ausdrucken, bekomme aber immer Formatierungsprobleme (Text wird ohne Absätze erstellt, alles gelb hinterlegt...). Habt Ihr die Probleme auch oder liegt es am meinem System? Vielen Dank. --[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 10:54, 30. Mai 2012 (CEST)

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==
Wir sollten langsam in die Gänge kommen, was die Planung der Prüfungsvorbereitung angeht. Mein Vorschlag: Montag 12 bis 14 Uhr A236. Erste Veranstaltung: 11.06.2012--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:22, 10. Mai 2012 (CEST) 
 
Hört sich nicht schlecht an - Problem: Parallel zu diesem Zeitpunkt findet die Zahlentheorieübung statt, die der eine und die andere besucht. Vielleicht kann der Zeitpunkt getauscht werden (z. B. 14-16 Uhr) - natürlich ist das immer schwierig (wer weiß wie viele da nicht können), aber wir haben ja noch Zeit bis zum 11.06.2012 uns "Lösungsstrategien" für dieses Problem zu überlegen :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:11, 10. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

|}
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|}



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2012-05-16T10:27:03Z

Braindead: /* Hinweise, Kommentare */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
{|width=100%| style="background-color:#E1E1E1; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
|}
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

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'''Spezialveranstaltung'''
{| class="wikitable"

|-
| [[Selbstverteidigung und mentales Training]] || Montag, 10 bis 12 Uhr, Spezialhalle Sportwissenschaften PH, INF 720 
*Auch nach der dritten Veranstaltung gilt: Wenn wir die Anzahl der Teilnehmer als Funktion der Anzahl der durchgeführten Übungen verstehen, so ist diese Funktion streng monoton steigend.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:25, 7. Mai 2012 (CEST)

*Die Materialien zur Veranstaltung wurden im Intranet unter j/public/gieding im Ordner HKT abgelegt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:36, 8. Mai 2012 (CEST)

|}

|}
</div>

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|caption=Geowiki-Tweets
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Fragen, Hinweise, Probleme? Twittern Sie unter Verwendung des Hashtags #geowiki!
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Ich hab den Bemerkungen zur Einrichtung der Lösungsseiten von [[Benutzer:Studentin|Studentin]] (10. Mai) mal eine eigene Seite spendiert und dort kommentiert. Diskutieren Sie dort mit über die [[Gestaltung_der_Seiten_für_die_Übungsaufgaben]]. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:12, 14. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Di. || 08-10 Uhr ||H001 ||Schnirch
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====Übungen====
{| class="wikitable"
|-
| Mo.|| 08-10 Uhr || A206 ||Henrich
|-
| Mo.|| 16-18 Uhr || A108 ||Hucke
|-
| Di.||12-14 Uhr || A106||Zähringer
|-
| Do.|| 10-12 Uhr || A206 ||Strauß
|-
| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||Schulte

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*Classroompresenterübung vom 11. Mai: [[Definieren der Relation "Parallel" auf der Menge aller Geraden]] --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:12, 15. Mai 2012 (CEST)
*Eine Quintessenz aus der heutigen Veranstaltung "Selbstverteidigung und mentales Training": Eines muss klar sein. Wenn du dich mit Erfolg selbst verteidigen willst, dann musst du davon überzeugt sein, dass es klappt. Wunderbare Affinität zur Geometrieklausur: Wenn du nicht überzeugt bist, dass du bestehst, lass es sein.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:28, 14. Mai 2012 (CEST)
*Ich hab den Bemerkungen zur Einrichtung der Lösungsseiten von [[Benutzer:Studentin|Studentin]] (10. Mai) mal eine eigene Seite spendiert und dort kommentiert. Diskutieren Sie dort mit über die [[Gestaltung_der_Seiten_für_die_Übungsaufgaben]]. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:12, 14. Mai 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

{{Schrift_orange|Achtung:}}Die Vorlesung vom 17.05. (Feiertag) wird verlegt auf Dienstag, 15.05., 18 h, H001. 
Die Vorlesung vom 07.06. (Feiertag) wird verlegt auf Dienstag, 05.06., 18 h, H001. 

====Übungen====

{{Schrift_orange|Achtung:}}Raum der Übung von Heckl (Mi) geändert! 
{{Schrift_orange|Achtung:}}Die Übung von Jäckle wird vom 17.05. auf den 16.05. verlegt und findet von 14-16 Uhr im Raum A108 statt. 
{{Schrift_orange|Achtung:}}Die Übung von Ricky Sharma findet diese Woche aufgrund des Feiertages am Dienstag von 10:00 Uhr bis 12:00 Uhr statt. Der Raum bleibt gleich.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:02, 14. Mai 2012 (CEST)
{| class="wikitable"
|-
| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
|-
| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
|-
| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
|-
| Donnerstag|| 16:00 - 18:00 || A106 ||Jäckle
|-
| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
|}

====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
{| class="wikitable"
|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen. 
Viel Erfolg im Sommersemester 2012! 

''Hallo Geowiki

''ich konnte die vorverlegte Vorlesung am Dienstag, (15.05.12) leider nicht besuchen. Kann mir bitte jemand das Thema der Vorlesung nennen? Dann kann ich das Thema vielleicht wenigstens auf youtube anschauen. Vielen Dank.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 12:24, 16. Mai 2012 (CEST)

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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag|| 10:00 - 12:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==
Wir sollten langsam in die Gänge kommen, was die Planung der Prüfungsvorbereitung angeht. Mein Vorschlag: Montag 12 bis 14 Uhr A236. Erste Veranstaltung: 11.06.2012--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:22, 10. Mai 2012 (CEST) 
 
Hört sich nicht schlecht an - Problem: Parallel zu diesem Zeitpunkt findet die Zahlentheorieübung statt, die der eine und die andere besucht. Vielleicht kann der Zeitpunkt getauscht werden (z. B. 14-16 Uhr) - natürlich ist das immer schwierig (wer weiß wie viele da nicht können), aber wir haben ja noch Zeit bis zum 11.06.2012 uns "Lösungsstrategien" für dieses Problem zu überlegen :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:11, 10. Mai 2012 (CEST)

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

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[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2012-05-16T10:24:02Z

Braindead:

''Hallo Geowiki

''ich konnte die vorverlegte Vorlesung am Dienstag, (15.05.12) leider nicht besuchen. Kann mir bitte jemand das Thema der Vorlesung nennen? Dann kann ich das Thema vielleicht wenigstens auf youtube anschauen. Vielen Dank.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 12:24, 16. Mai 2012 (CEST)

Hallo,

mich würde interessieren ob die Vorlesung und die Übung am Montag ausfallen oder nicht.

Vorlesung 14-16 uhr
Übung 16-18 uhr

Danke--[[Benutzer:Celebino|Celebino]] 11:55, 1. Mai 2011 (CEST)

Hallo,

kann mir einer von euch sagen, wie genau das mit dem Hochladen von Bildern funktioniert? Hab mein Bild zwar irgendwie hochgeladen, aber irgendwie ist es nicht da, wo es sein soll...

Liebe Grüße
Verteidigungswolf

-hust- Das Wort "Hochladen" im Menue links "Werkzeuge" zwischen "Änderungen an verlinkten Seiten" und "Spezialseiten"

ja soweit hatte ich das auch...und wie bekomm ich das Bild dann dahin wo ich es haben will?? 
Schauen Sie mal hier nach: [[Bilder_einbinden|Bilder_einbinden]]--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:53, 10. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Hallo,

ich weiß jetzt nicht wer die Axiome, Definitionen und Sätze ergänzt, da dies wohl von Studierenden gemacht wird. Falls diese Studierenden alle korrekten Axiome, Definitionen und Sätze haben, wäre es nett, wenn diese komplett ergänzt werden könnte. Man kann zwar die "Sachen" sich selbst in den Skripten zusammen suchen, aber dort sind nicht alle korrekt und vor allem sind sie nicht vollständig, denn es kommen jede Woche welche hinzu.
Oder gibt es die HP vom SS10 noch, sodass man sich die ganzen Sachen komplett mal ausdrucken kann?

Vielen Dank.

lg
Flo21--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 18:20, 16. Jan. 2011 (UTC)

Hallo,
ich wollte mal nachfragen, wann die Lösungen zum Tutorium 10 (und dann auch 11) eingestellt werden? Es scheint ein Problem gegeben zu haben mit dem Einstellen der Lösung von Tutorium 11.
Problem behoben, danke für den Hinweis!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:18, 25. Jan. 2011 (UTC)

Hallo,
wie mache ich das denn, dass unter meinen Beiträgen mein Benutzername, Datum, usw. erscheint? bei meinen eigenen Einträgen sind die Beiträge zwar gespecihert, aber man sieht nicht, dass "Lottta" sie geschrieben hat...?! hoffe auf hilfe ;) danke 
Du musst einfach hinter deinen Beitrag noch etwas anfügen. Dazu musst du, wenn du im "Bearbeitungsmodus" bist, den Button "Deine Signatur mit Zeitstempel" anklicken. Das ist der, der rechts neben dem "durchgestrichenen W" ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:26, 20. Okt. 2011 (CEST) 
Super, vielen Dank =) Mal sehn obs klappt...--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 23:53, 20. Okt. 2011 (CEST)

Hallo, ich habe ein Frage zur Klausur aus dem Sommersemester 2011,also vom letzten Jahr. In Aufgabe 1 d) soll eine Viertelkreisdefintion ergänzt werden. In einer vorherigen Teilaufgabe wird der Begriff Kreis definiert.In der Lösung versteht man dann darunter eine Punktmenge, die zum Mittelpunkt M ein und denselben Abstand hat. Also wird hier nur der "Umkreis" definiert ohne das Innere.
Bei Aufgabe 1d) allerdings wird plötzlich das Innere dazugenommen (Schnittmenge zweier Halbebenen). Wieso? Hier handelt es sich doch auch um einen Kreis? Wäre toll wenn jemand kurz antworten könnte.
Danke!
--[[Benutzer:A millie|A millie]] 22:39, 5. Feb. 2012 (CET)

--> Hey A millie, du hast da was übersehen, es wird nicht das Innere des Viertelkreises definiert. Es wird die '''Schnittmenge des Kreises mit den beiden Halbebenen''' definiert. 
<math>\ VK := \{P|P\in k \wedge P\in AM,B+ \cap BM,A+ \}</math> 
--[[Benutzer:Adores|Adores]] 13:17, 6. Feb. 2012 (CET)

Danke für deine Antwort Adores! Wahrscheinlich stehe ich auf dem Schlauch, aber es wird doch gesagt, der Viertelkreis ist die Menge aller Punkte für die gilt: P ist Element des Kreises und P ist Element der Schnittmenge der beiden Halbebenen?!--[[Benutzer:A millie|A millie]] 22:52, 6. Feb. 2012 (CET)

Okay,ich hab jetzt verstanden,dass dadurch der Mittelkreis definiert wird...Aber müsste man dann nicht lieber sagen k geschnitten mit den beiden Halbebenen anstatt die Punktmenge?
--[[Benutzer:A millie|A millie]] 14:58, 7. Feb. 2012 (CET)
Kannst du mir nochmal sagen,wie ich das Innere mit reinbekomme?Entweder bei einem Viertelausschnitt oder einem Kreis,das ist egal...Und die Differenz zum Kugelinneren ist ja einfach,dass bei der Kugel das noch in vielen Ebenen ist..Danke! 

 
Hey A millie, also zu deiner ersten Frage, sowohl ein Kreis als auch Halbebenen sind Punktmengen, somit ist der Schnitt dieser Mengen ebenfalls eine Punktmenge. Logisch oder? Du sagst dann ja quasi, das der Kreis geschnitten mit den Halbebenen den Viertelkreis ergibt. 
Das Innere eines Kreises bekommst du wenn du schreibst: Gegeben sei ein Kreis k in der Ebene E mit dem Radius r. Das Innere des Kreises k ist nach Definition: <math>\ Inn. k := \{P|P\in E \wedge \|MP| \le r\} </math>. 
Wenn du nun das Innere eines Viertelkreises, oder Halbkreises, möchtest musst du einfach die Halbebenen hinzufügen. 
--> Das Innere des Kreises k geschnitten mit der Halbebene AM,B+ ist beispielsweise das Innere eines Halbkreises. 
Und bei der Kugel müsstest du eben dann nicht einschränken, dass die Punktmenge in einer Ebene liegt. 
<math>\ Inn. k := \{P|\|MP| \le r\} </math>. 
--[[Benutzer:Adores|Adores]] 00:32, 8. Feb. 2012 (CET)

hallo adores,
hierzu habe ich auch noch eine frage: in der übungsveranstaltung haben wir das Innere einer Kugel auch so definiert wie du, jedoch haben wir gesagt, für alle punkte p gilt, dass der ABSTAND (so wurde es mir gesagt) und nicht die "Strecke" MP kleiner gleich dem radius r ist. Da der radius eine strecke ist würde ich auch sagen, dass die strecke gemeint ist... oder kann man beides schreiben? würde mich über eine kurze rückmeldung freuen :) 
 
Danke für deinen Einwand, es stimmt tatsächlich, man sollte hierbei von dem Abstand sprechen, nicht von der Strecke. denn man möchte ja nichts über eine Strecke aussagen, sondern über eine Punktmenge. 
--[[Benutzer:Adores|Adores]] 13:36, 8. Feb. 2012 (CET) Habs auch direkt verbessert. ;)

okay, danke :) aber eine frage habe ich noch: wieso ist es so? eine strecke besteht ja auch aus einer punktmenge und der radius ist eine strecke und kein abstand? hmm...also ich glaube, ich merke mir einfach, dass bei sowas von einem abstand die rede ist....^^

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-10T18:15:31Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

==Aufgabe 3.5==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

===Lösungsvorschlag 1===

a) 
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden 

Behauptung: <math>\ a \|| c</math>

Annahme: <math> \exists P:P\in a \wedge P\in c</math>

Beweis: 
(1) <math>\ a \|| b</math> Voraussetzung 
(2) <math>\ b \|| c</math> Voraussetzung 
(3) <math>\ P\in a </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a) 
(4) <math>\ P\in c </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c) 
(5) <math>\ P\in a \wedge P\in c </math> (3),(4) da Punkt P sowohl auf a, als auch auf c liegt ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung. --[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:03, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Der Beweis ist meiner Meinung nach noch nicht richtig, denn du hast keinen Widerspruch zur VSS (a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden). Vielleicht hast du auch die richtige Idee und es ist nur beim Niederschreiben verloren gegangen... --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:25, 3. Mai 2012 (CEST)

Meine Idee war: Laut dem Parallelenaxiom gibt es doch höchstens eine Gerade, die durch den Punkt A läuft und zu g parallel ist. Ich dachte nun, dass doch in (5) gezeigt wäre, dass sowohl a als auch c durch P gehen und sie deshalb laut (5) nicht parallel sein können. Die Voraussetzung besagt doch, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math> und da dachte ich, dass in (5) gezeigt wäre, dass a und c in dem Fall nicht parallel sein können. Und das wäre dann mein Widerspruh zur Voraussetzung. Bin ich da komplett auf dem falschen Dampfer, oder hab ich es einfach falsch aufgeschrieben?????--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 18:35, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Wie du schon sagst, gibt es laut dem Parallelenaxiom '''höchstens''' eine Gerade, die durch A geht und parallel zu g (ich denke du meinst b) verläuft, aber das heißt nciht, dass a und c nicht parallel sein können. Und da ist noch etwas. Du hast im letzten Beitrag geschrieben, dass "<math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math>", aber <math>\\ a \|| c\</math> ist deine Behauptung und nicht die VSS. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:53, 3. Mai 2012 (CEST)

b) Hiermit wurde die Transitivität gezeigt.--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:17, 3. Mai 2012 (CEST) 

===Lösungsvorschlag 2===

''a) Wenn a parallel zu b ist und b parallel zu c, dann ist auch a parallel zu c. 

''Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \</math> 

''Behauptung: <math>\ a \|| c</math> 

''Beweis durch Widerspruch, daher ist es ein indirekter Beweis: es ist zu zeigen, dass die Negation der Behauptung nicht gilt. Dabei wird angenommen, dass die Behauptung nicht gilt. Dadurch wird der Widerspruch erzeugt! 

''Annahme: <math>\neg\ a \|| c</math> (a ist nicht parallel zu c. Wie kann ich das "nicht parallel" besser darstellen?) 
*<math>\not \parallel</math> so in etwa :) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:57, 6. Mai 2012 (CEST)

''1) a und c sind nicht parallel und haben somit einen Schnittpunkt. (vgl. Annahme) 
''2) Der Schnittpunkt liegt nicht auf der Geraden b. (vgl. 1. und die Voraussetzung) 
''3) Der Schnittpunkt liegt also auf der Geraden a und a ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung) 
''4) Der Schnittpunkt liegt auch auf der Geraden c und c ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung) 

'' Ist der Widerspruch dadurch gezeigt?--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 19:46, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Du solltest noch schreiben, was nun genau der Widerspruch ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:57, 6. Mai 2012 (CEST)

* Wenn ich das mal hier aufgreifen und an dieser Stelle fortführen darf:
''5) Da die Geraden a und c parallel zu b sind, müssen sie laut Parallelenaxiom identisch sein, da es ja nur eine Gerade gibt die durch den (Schnitt-)Punkt geht und zur Geraden b parallel ist. (vgl. 3., 4., Parallelenaxiom und Voraussetzung) --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 18:45, 9. Mai 2012 (CEST) 

''@Sweetnightmare5: ich hab das Parallelenaxiom in meinem Beweis total vergessen... Danke für die Hilfe. Jetzt erst ist mir der Widerspruch klar geworden...--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 20:15, 10. Mai 2012 (CEST) 

[[Category:Einführung_S]]

===Lösungsvorschlag 3===
Vor.: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \</math>
Beh.: <math>a || c</math>

Ann.: <math>a||b \wedge b ||c</math> und <math>a\not \parallel c</math>

Bew.: <math>a\not \parallel c \Rightarrow b\not \parallel c</math>

Somit hab ich einen Widerspruch.
--[[Benutzer:Michael|Michael]] 14:22, 8. Mai 2012 (CEST)

* Wie begründest du deinen Beweis? --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 18:46, 9. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T18:30:32Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

==Aufgabe 3.5==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

===Lösungsvorschlag 1===

a) 
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden 

Behauptung: <math>\ a \|| c</math>

Annahme: <math> \exists P:P\in a \wedge P\in c</math>

Beweis: 
(1) <math>\ a \|| b</math> Voraussetzung 
(2) <math>\ b \|| c</math> Voraussetzung 
(3) <math>\ P\in a </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a) 
(4) <math>\ P\in c </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c) 
(5) <math>\ P\in a \wedge P\in c </math> (3),(4) da Punkt P sowohl auf a, als auch auf c liegt ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung. --[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:03, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Der Beweis ist meiner Meinung nach noch nicht richtig, denn du hast keinen Widerspruch zur VSS (a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden). Vielleicht hast du auch die richtige Idee und es ist nur beim Niederschreiben verloren gegangen... --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:25, 3. Mai 2012 (CEST)

Meine Idee war: Laut dem Parallelenaxiom gibt es doch höchstens eine Gerade, die durch den Punkt A läuft und zu g parallel ist. Ich dachte nun, dass doch in (5) gezeigt wäre, dass sowohl a als auch c durch P gehen und sie deshalb laut (5) nicht parallel sein können. Die Voraussetzung besagt doch, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math> und da dachte ich, dass in (5) gezeigt wäre, dass a und c in dem Fall nicht parallel sein können. Und das wäre dann mein Widerspruh zur Voraussetzung. Bin ich da komplett auf dem falschen Dampfer, oder hab ich es einfach falsch aufgeschrieben?????--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 18:35, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Wie du schon sagst, gibt es laut dem Parallelenaxiom '''höchstens''' eine Gerade, die durch A geht und parallel zu g (ich denke du meinst b) verläuft, aber das heißt nciht, dass a und c nicht parallel sein können. Und da ist noch etwas. Du hast im letzten Beitrag geschrieben, dass "<math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math>", aber <math>\\ a \|| c\</math> ist deine Behauptung und nicht die VSS. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:53, 3. Mai 2012 (CEST)

b) Hiermit wurde die Transitivität gezeigt.--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:17, 3. Mai 2012 (CEST) 

===Lösungsvorschlag 2===

''a) Wenn a parallel zu b ist und b parallel zu c, dann ist auch a parallel zu c. 

''Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \</math> 

''Behauptung: <math>\ a \|| c</math> 

''Beweis durch Widerspruch, daher ist es ein indirekter Beweis: es ist zu zeigen, dass die Negation der Behauptung nicht gilt. Dabei wird angenommen, dass die Behauptung nicht gilt. Dadurch wird der Widerspruch erzeugt! 

''Annahme: <math>\neg\ a \|| c</math> (a ist nicht parallel zu c. Wie kann ich das "nicht parallel" besser darstellen?) 

''1) a und c sind nicht parallel und haben somit einen Schnittpunkt. (vgl. Annahme) 
''2) Der Schnittpunkt liegt nicht auf der Geraden b. (vgl. 1. und die Voraussetzung) 
''3) Der Schnittpunkt liegt also auf der Geraden a und a ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung) 
''4) Der Schnittpunkt liegt auch auf der Geraden c und c ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung) 

'' Ist der Widerspruch dadurch gezeigt?--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 19:46, 3. Mai 2012 (CEST) 

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T18:26:26Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

==Aufgabe 3.5==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

===Lösungsvorschlag 1===

a) 
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden 

Behauptung: <math>\ a \|| c</math>

Annahme: <math> \exists P:P\in a \wedge P\in c</math>

Beweis: 
(1) <math>\ a \|| b</math> Voraussetzung 
(2) <math>\ b \|| c</math> Voraussetzung 
(3) <math>\ P\in a </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a) 
(4) <math>\ P\in c </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c) 
(5) <math>\ P\in a \wedge P\in c </math> (3),(4) da Punkt P sowohl auf a, als auch auf c liegt ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung. --[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:03, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Der Beweis ist meiner Meinung nach noch nicht richtig, denn du hast keinen Widerspruch zur VSS (a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden). Vielleicht hast du auch die richtige Idee und es ist nur beim Niederschreiben verloren gegangen... --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:25, 3. Mai 2012 (CEST)

Meine Idee war: Laut dem Parallelenaxiom gibt es doch höchstens eine Gerade, die durch den Punkt A läuft und zu g parallel ist. Ich dachte nun, dass doch in (5) gezeigt wäre, dass sowohl a als auch c durch P gehen und sie deshalb laut (5) nicht parallel sein können. Die Voraussetzung besagt doch, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math> und da dachte ich, dass in (5) gezeigt wäre, dass a und c in dem Fall nicht parallel sein können. Und das wäre dann mein Widerspruh zur Voraussetzung. Bin ich da komplett auf dem falschen Dampfer, oder hab ich es einfach falsch aufgeschrieben?????--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 18:35, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Wie du schon sagst, gibt es laut dem Parallelenaxiom '''höchstens''' eine Gerade, die durch A geht und parallel zu g (ich denke du meinst b) verläuft, aber das heißt nciht, dass a und c nicht parallel sein können. Und da ist noch etwas. Du hast im letzten Beitrag geschrieben, dass "<math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math>", aber <math>\\ a \|| c\</math> ist deine Behauptung und nicht die VSS. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:53, 3. Mai 2012 (CEST)

b) Hiermit wurde die Transitivität gezeigt.--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:17, 3. Mai 2012 (CEST) 

===Lösungsvorschlag 2===

''a) Wenn a parallel zu b ist und b parallel zu c, dann ist auch a parallel zu c. 

''Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \</math> 

''Behauptung: <math>\ a \|| c</math> 

''Beweis durch Widerspruch, daher ist es ein indirekter Beweis: es ist zu zeigen, dass die Negation der Behauptung nicht gilt. Dabei wird angenommen, dass die Behauptung nicht gilt. Dadurch wird der Widerspruch erzeugt! 

''Annahme: <math>\neg\ a \|| c</math> (a ist nicht parallel zu c. Wie kann ich das "nicht parallel" besser darstellen?) 

''1) a und c sind nicht parallel und haben somit einen Schnittpunkt. (vgl. Annahme) 
''2) Der Schnittpunkt liegt nicht auf der Geraden b. (vgl. 1. und die Voraussetzung) 
''3) Der Schnittpunkt liegt also auf der Geraden a und a ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung) 
''4) Der Schnittpunkt liegt auch auf der GEraden c und c ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung) 
''

--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 19:46, 3. Mai 2012 (CEST) 

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T18:20:46Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

==Aufgabe 3.5==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

===Lösungsvorschlag 1===

a) 
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden 

Behauptung: <math>\ a \|| c</math>

Annahme: <math> \exists P:P\in a \wedge P\in c</math>

Beweis: 
(1) <math>\ a \|| b</math> Voraussetzung 
(2) <math>\ b \|| c</math> Voraussetzung 
(3) <math>\ P\in a </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a) 
(4) <math>\ P\in c </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c) 
(5) <math>\ P\in a \wedge P\in c </math> (3),(4) da Punkt P sowohl auf a, als auch auf c liegt ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung. --[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:03, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Der Beweis ist meiner Meinung nach noch nicht richtig, denn du hast keinen Widerspruch zur VSS (a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden). Vielleicht hast du auch die richtige Idee und es ist nur beim Niederschreiben verloren gegangen... --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:25, 3. Mai 2012 (CEST)

Meine Idee war: Laut dem Parallelenaxiom gibt es doch höchstens eine Gerade, die durch den Punkt A läuft und zu g parallel ist. Ich dachte nun, dass doch in (5) gezeigt wäre, dass sowohl a als auch c durch P gehen und sie deshalb laut (5) nicht parallel sein können. Die Voraussetzung besagt doch, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math> und da dachte ich, dass in (5) gezeigt wäre, dass a und c in dem Fall nicht parallel sein können. Und das wäre dann mein Widerspruh zur Voraussetzung. Bin ich da komplett auf dem falschen Dampfer, oder hab ich es einfach falsch aufgeschrieben?????--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 18:35, 3. Mai 2012 (CEST) 
*Wie du schon sagst, gibt es laut dem Parallelenaxiom '''höchstens''' eine Gerade, die durch A geht und parallel zu g (ich denke du meinst b) verläuft, aber das heißt nciht, dass a und c nicht parallel sein können. Und da ist noch etwas. Du hast im letzten Beitrag geschrieben, dass "<math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>und dann doch auch <math>\\ a \|| c\</math>", aber <math>\\ a \|| c\</math> ist deine Behauptung und nicht die VSS. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:53, 3. Mai 2012 (CEST)

b) Hiermit wurde die Transitivität gezeigt.--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:17, 3. Mai 2012 (CEST) 

===Lösungsvorschlag 2===

''a) Wenn a parallel zu b ist und b parallel zu c, dann ist auch a parallel zu c. 

''Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \</math> 

''Behauptung: <math>\ a \|| c</math> 

''Beweis durch Widerspruch, daher ist es ein indirekter Beweis: es ist zu zeigen, dass die Negation der Behauptung nicht gilt. Dabei wird angenommen, dass die Behauptung nicht gilt. Dadurch wird der Widerspruch erzeugt! 

''Annahme: <math>\neg\ a \|| c</math> (a ist nicht parallel zu c. Wie kann ich das "nicht parallel" besser darstellen?) 

''1) a und c sind nicht parallel und haben somit einen Schnittpunkt. (vgl. Annahme) 
''2) Der Schnittpunkt liegt nicht auf der Geraden b. (vgl. 1. und die Voraussetzung) 

--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 19:46, 3. Mai 2012 (CEST) 

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T18:16:51Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T18:16:34Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T18:09:03Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T17:47:25Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

2012-05-03T17:46:19Z

Braindead: /* Aufgabe 3.5 */

Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12)

2012-05-02T13:56:31Z

Braindead: /* Lösungsvorschlag 2 */

==Aufgabe 2.2==
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

[[Category:Einführung_S]]

==== Lösungsvorschlag 1 ====
a) Wenn zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Geraden c geschnitten werden, so sind die auftretenden Stufenwinkel gleich groß. 
b) 
1.) Wenn a parallel zu b, so sind Alpha und Beta kongruent.(entspricht Stufenwinkelsatz) 
2.) Wenn Alpha und Beta kongruent sind, so ist a zu b parallel .(entspricht '''nicht''' Stufenwinkelsatz) 
3.) Wenn Alpha und Beta nicht kongruent sind, so exsistiert ein Punkt S, der Element von a und b ist.(entspricht Sws.) 
*Hier muss man aufpassen, da die Abkürzung Sws für einen anderen Satz benutzt wird. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST) 
4.) Genau dann wenn a parallel zu b, sind alpha und beta kongruent.(entspricht '''nicht''' Stufenwinkelsatz)[[Benutzer:Zigzag|Zigzag]] 
*Bitte setzt eure Signatur hinter eure Beiträge. Dazu müsst ihr in der Werkzeugleiste den Button "Deine Signatur mit Zeitstempel" auswählen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)

==== Lösungsvorschlag 2 ====
a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an geschnitten Parallelen sind kongruent zueinander. 
b) 
1.) Stufenwinkelsatz 
2.) Umkehrung Stufenwinkelsatz 
3.) a und b schneiden sich in einem Punkt S 
4.) Stufenwinkelkriterium 

--[[Benutzer:Funkdocta|Funkdocta]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST) 
*Und welche Aussagen sind jetzt äquivalent zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:13, 29. Apr. 2012 (CEST)
 

''1) ist äquivalent, Stufenwinkelsatz 
''2) ist äquivalent, Umkehrung des Stufenwinkelsatz 
''3) nicht äquivalent 
''4) ist äquivalent, da Kriterium--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 15:56, 2. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 S (SoSe 12)

2012-05-02T13:36:46Z

Braindead:

==Aufgabe 2.4==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." 

b) Ergänzen Sie: 
Voraussetzung: <math>\overline{ABC} </math> ist ein Dreieck mit… 
Behauptung:
 

[[Category:Einführung_S]]

a) Wenn ein <math>\overline {ABC}</math> zwei kongruente Innenwinkel hat, dann ist dieses Dreieck ein gleichschenkliches Dreieck. 
b) Voraussetzung: <math>\overline {ABC}</math> ist ein Dreieck mit zwei kongruenten Innenwinkeln. 
Behauptung: <math>\overline {ABC}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck.[[Benutzer:Zigzag|Zigzag]]
 

''@zigzag: Deine Lösung von a) ist die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 15:36, 2. Mai 2012 (CEST) 

b) Vor.: <math>\overline {ABC} </math> ist ein Dreieck mit <math>\overline{AC}</math> = <math>\overline{BC}</math>

Beh.: <math>\left| \alpha \right|</math> = <math>\left| \beta \right|</math> --[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 19:04, 27. Apr. 2012 (CEST)

Ist es bei b) nicht genau andersrum wie bei 0z44oz:

Vorraussetzung : <math>\alpha =\beta</math>

Behauptung :<math>\overline{AC}=\overline{BC} </math>

--[[Benutzer:Funkdocta|Funkdocta]] 15:16, 29. Apr. 2012 (CEST) 
* Hier haben wir zwei verschiedene Meinungen und es wäre gut, wenn man an dieser Stelle darüber diskutieren würde.
Es hilft oft, wenn man, wie in Aufgabenteil a) gefordert, den Satz in "Wenn..., dann" formuliert. Man kann dann in dem Satzteil mit "Wenn" die Voraussetzung erkennen und nach dem "dann" kommt die Behauptung. Es lohnt sich daher, dieses "Übersetzen" zu üben.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:39, 29. Apr. 2012 (CEST)

Wurzel und KeinKurpfäzer stimmen Oz44oz zu. Am Anfang vom Baiswinkelsatz wurde zuerst das Dreieck benannt also A, dann die Basiswinkel, also B. --[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 16:29, 30. Apr. 2012 (CEST) 

''Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel konkruent zueinander. 

''Vorraussetzung: Wir haben irgendein gleichschenkliges Dreieck. Gleichschenklig sagt uns, zwei Seiten sind kongruent zueinander, also gleich lang. 
 
''Behauptung: Die Basiswikel sind konkruent zueinander, was bedeutet zwei Winkel sind kongruent zueinander, also gleich groß. 

''Meine Lösung für a) Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind zwei Innenwinkel kongruent zueinander.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 15:36, 2. Mai 2012 (CEST)

Spezielle Definitionen

2012-04-25T12:54:39Z

Braindead:

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Definitionen auch aus anderen Bereichen aus der Sicht der Mathematik'''
==Definition von Bildung nach Martin==
===Die "Definition"===
{{Definition|(Bildung) „Bildung ist das gemeinsame Erstellen von Konzepten, die Menschen ermöglichen, mit einströmenden Daten gelassen umzugehen, wobei es gilt, diese Konzepte flüssig und beweglich zu halten.”}}

===Kommentar von M.G.===
Ok, ich tue mich mit ein paar Ganoven zusammen und wir erstellen gemeinsam ein Konzept für einen Banküberfall. Mit den einströmenden Daten des Martinshorns, das das Anrückens der Polizei übermittelt, gehen wir dann ganz gelassen um ... .
===Ihre Interpretationen: ===

[[Kategorie:Einführung_S]]
[[Kategorie:Einführung_P]]

Bildung ist das Wissen, welches hilft Lebensentscheidungen zu fällen. Das eigene Leben zu schützen und Sachverhalte zu hinterfragen.
Ein gebildeter Mensch ist sich bewußt, dass Bankraub nicht die beste Möglichkeit ist um an Geld zu kommen, egal wie gut das Konzept ist.
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 22:53, 21. Apr. 2012 (CEST)

Bildung ist Wissen. Oder aus meiner Sicht: Wissen ist ein Teil von Bildung. Also Wissen ist notwendig für Bildung. Auch hinreichend? Und der Mathematiker fragt natürlich: Was ist Wissen?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:52, 21. Apr. 2012 (CEST)

Versuche es mal mit einem Vergleich. Das Kita Kind lernt die Werkzeuge kennen (Hammer, Zange usw)math. sind dass die Zahlen und Symbole ( + wird meist als Kreuz bezeichnet) Das Grundschulkind lernt mit Hammer usw umzugehen, math. es erlent die ersten Recheregel. Das Wissen wird immerfort erweitert und die Anzahl der Werkzeuge werden mehr. Auch der Umgang damit wird immer komplexer. Ein und das selbe Werkzeug kann verschieden genutz werden.
Später kommt dann der Zeitpunkt logische Verknüpfungen zu bilden um vielleicht zum Schluss ein eigenes Haus bauen zu können.--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 21:51, 22. Apr. 2012 (CEST)

Mir ist nicht ganz klar: Ist Bildung "das Erstellen von Konzepten"? Oder die Bereitschaft dazu? Oder das Ergebnis davon? Oder die Voraussetzung dafür? Oder der Prozess dahin? :-) ... Vorschlag zur Umformulierung, dann lässt sich leichter drüber diskutieren (zumindest würde ich so die Definition eher verstehen): "Bildung ist Fähigkeit (bzw. deren Erwerb) gepaart mit der entsprechenden Bereitschaft, gemeinsam Konzepte zu erstellen und dabei gelassen mit Daten umgehen zu können, wobei es gilt, diese Konzepte flüssig und beweglich zu halten." --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 22:49, 24. Apr. 2012 (CEST)

Geht es denn um irgendwelche Konzepte? Das ist doch die Frage, egal ob Prozess selbst oder Voraussetzung für den Prozess. Anders ausgedrückt: Ist Bildung wertfrei oder doch etwas, was geeignet ist, dem Gemeinwohl zu helfen? Und was ist mit gebildeten Menschen, die teamunfähig sind? Ungebildete Autisten?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:00, 24. Apr. 2012 (CEST)
 
Ich möchte nochmals an das Konzept anknüpfen: Bildung äußert sich als Unterscheidungskraft zwischen Verstandenem und Unverstandenem (um in den Worten Martin Wagenschein zu sprechen)--[[Benutzer:Tutor Dominik|Tutor Dominik]] 13:15, 25. Apr. 2012 (CEST)

@Spannagel: deine Definition ist eine gute Annäherung. Ich versuche es noch einmal:

'''Bildung als dynamischer Prozess:'''

1. Die Welt stellt uns permanent vor neue Probleme (einströmende Daten). 2. Im Laufe der Menschheitsgeschichte wurden ständig Problemlösungen gemeinsam erarbeitet (Bildung als Prozess) die als Vorrat vorliegen (Bildung als Ergebnis). 3. Dieser Vorrat an Lösungen (Konzepten) ermöglicht, die neu einströmenden Daten konzeptgesteuert anzugehen. 4. Allerdings reicht dieser Vorrat nicht aus, um alle neuen Probleme zu lösen. Also muss man gemeinsam neue Lösungen erarbeiten (Bildung als Prozess). 6. Diese Lösungen reichern den Vorrat an Lösungen und Konzepten an. 7. Es stellen sich neue Probleme, usw... Bildung ist sowohl Ergebnis als Prozess. Daher auch die Ambiguität des Begriffs selbst. Wie die Zeit, die man nicht anhalten kann, kann man auch den Bildungsprozess nicht anhalten. Er fließt kontinuierlich... "Gebildete Menschen" sind also solche, die über einen umfangreichen Satz an aktuell relevanten Problemlösungen (Wissen, Strategien) verfügen, die ihnen ermöglichen, neue auftretenden Probleme zu lösen, und neue Problemlösungen zu erarbeiten, wobei das Ziel all dieser Aktivitäten das Erreichen von individuellem und kollektivem Glück ist. Ein solches Konzept (Bildungsbaustein) ist beispielsweise mein [http://wiki.zum.de/Netzsensibilit%C3%A4t?title=Lernen_durch_Lehren/Fortbildungen/Materialien Menschenbild], weil es integriert genug ist, um alle relevanten Aspekte einzuschließen und differenziert genug ist, um operationalisierbar zu bleiben. Das Menschenbild ermöglicht, menschliche Verhaltensweisen einzuordnen und vorauszusehen (konzeptgesteuerte Informationsverarbeitung). --[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 06:47, 25. Apr. 2012 (CEST)

'''Projekt als idealer Lernraum'''

Die Erarbeitung von Problemlösungen ist Wissenskonstruktion. Lernen erfolgt am effektivsten im Rahmen von Wissenskonstruktion, also als Antwort auf ein relevantes Problem der Lebenswelt. Die intensivste Auseinandersetzung mit der realen Lebenswelt erfolgt im Rahmen von Projekten. Daher: Projekt als bevorzugte Struktur für die Induzierung von Lernprozessen. Und da die Produktion von Problemlösungen wiederum zu Glücksgefühlen führt, haben wir die logische Kette: Projektstruktur führt zu permanenten Problemlösungenprozessen und Produktion von Konzepten/Wissen (=Bildung) und die Produktion von Bildung wird auf der neuronalen Ebene mit Adrenalinausschüttung (Glück) belohnt. Wenn das nicht der Fall wäre, würden wir nicht die Energie aufbringen, Problemfelder aktiv anzugehen. Daher auch mein Ansatz: "Projekt als glückbringende Struktur". Und im ersten Educamp (Lernraum) wollte ich ständig mit dir in Koatakt bleiben, damit wir intensiv in den unterschiedlichen Problemsituationen "konezptualisieren" konnten, also Wissen/Bildung produzieren!:-) --[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 09:59, 25. Apr. 2012 (CEST)

'''Bildung''' 
Die Bildung eines Menschen kann auch als die planmäßige Entwicklung seiner geistigen und körperlichen Anlagen angesehen werden. Der durch diese Entwicklung erreichte Zustand wird Bildung genannt. Die Bildung eines Menschen wird durch die ihn umgebende Umwelt, Kultur und Geschichte bestimmt.
Der Begriff Bildung ist von dem althochdeutschen Wort „bildunga“ abgeleitet. Es bedeutet soviel wie die „Formung des Menschen im Hinblick auf sein Menschsein“.
Bildung bedeutet zum einen sich zu bilden, als auch den Zustand gebildet zu sein. Ein Zeichen der Bildung ist das reflektierte Verhältnis zu sich selbst, zu anderen und zur ganzen Welt.
Der Begriff der Bildung beschreibt einen lebenslangen Entwicklungsprozess des Menschen. Er erweitert ständig seine personalen, sozialen, geistigen und kulturellen Fähigkeiten.
Unser Verständnis über die Bildung ist in der griechischen Antike entstanden. Das gesellschaftliche Leben fand dort in den sogenannten „polis“, den Stattstaaten statt, in denen ein öffentlich staatliches Handeln und die gesellschaftliche Praxis vereint waren. Die Politik nahm dadurch schon frühzeitig Einfluss auf die Bildung und war daher auch immer schon politische Bildung. Im Mittelalter verstand man unter Bildung die Gestaltung des Lebens nach der Vorstellung der „Gottesebenbildlichkeit“ des Menschen. In der Renaissance entwickelte sich immer mehr die Vorstellung, der Mensch könne mit seinem Denken die Welt gestalten und sah die menschliche Denkkraft als die Beständigkeit seiner Existenz an. (vgl. Herbert Gudjons, 1995; Der Brockhaus in 2 Bänden, 1977; www.de.wikipedia, 2010)--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:54, 25. Apr. 2012 (CEST) 


|}
</div>

Lösung von Aufgabe 2.1 S (SoSe 12)

2012-04-25T09:24:10Z

Braindead:

''==Aufgabe 2.1==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 

''Es ist glaub ich hilfreich erst einmal den Basiswinkelsatz als Implikation zu beschreiben: 

'' IMPLIKATION: Wenn die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig. 

''a) UMKEHRUNG: Wenn ein Dreieck ein gleichschenkliges ist, dann sind die Basiswinkel im Dreieck kongruent zueinander. 

''b) KRITERIUM: Ein Dreieck ist genau dann ein gleichschenkliges, wenn die Basiswinkel im Dreieck zueinander kongruent sind.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 11:18, 25. Apr. 2012 (CEST) 

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 2.1 S (SoSe 12)

2012-04-25T09:18:46Z

Braindead: /* Aufgabe 2.1 */

''==Aufgabe 2.1==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 

''Es ist glaub ich hilfreich erst einmal den Basiswinkelsatz als Äquivalenzrelation zu beschreiben: 

''Wenn die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig. 

''a) UMKEHRUNG: Wenn ein Dreieck ein gleichschenkliges ist, dann sind die Basiswinkel im Dreieck konkruent zueinander. 
 
''b) KRITERIUM: ...--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 11:18, 25. Apr. 2012 (CEST) 

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 1.3 (SoSe 12)

2012-04-25T08:40:38Z

Braindead:

Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)? 

1.) Sei <math>M</math> ein Punkt und ''P'' eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: <math>\left| MP \right|</math> ist konstant, so ist ''P'' ein Kreis mit Mittelpunkt ''M''.

2.) Sei M ein Punkt und P eine Punktmenge. Wenn gilt: X∈P∶ |XM|= r, dann ist P ein Kreis.

3.) Sei M ein Punkt in der Ebene E und P eine Punktmenge. Wenn für alle X∈P gilt∶ |XM|= r, r <math>\epsilon </math> <math>\mathbb{R}^{+}</math> und X ∈ E, dann ist P ein Kreis mit dem Mittelpunkt M.

4.) Sei M ein Punkt in der Ebene E und P eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle X∈P gilt∶ |XM|= r, r<math>\epsilon </math><math>\mathbb{R}^{+}</math>, dann ist P ein Kreis.

5.) Sei M ein Punkt und P eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von P liegen in ein und derselben Ebene wie M. Wenn gilt: |MP| ist konstant, so ist P ein Kreis mit Mittelpunkt M.

Zur 1.):

Ich hätte gesagt, dass die Definition falsch ist. Es ist die Rede von Mächtigkeit/ Betrag von MP, aber eigentlich müsste dastehen: Betrag der STRECKE von MP. (Ich wollte eine neue Formel einfügen, habe es aber nicht hinbekommen!) --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 20:43, 21. Apr. 2012 (CEST) Meintest du sowas |<math>\overline {MP}</math>| ?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:40, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ja, genau diese Formel meine ich. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:45, 22. Apr. 2012 (CEST) 

Ich war gerade auf dem falschen Weg unterwegs. <math>\left| MP \right|</math> geht ja überhaupt nicht! Es gibt keinen Abstand zwischen einem Punkt und einer Menge- nur zwischen zwei Punkten! Ist das korrekt? Ebenfalls fehlt, dass M und alle Elemente von P in der Ebene liegen. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST) 

''Ist hier mit dem Abstand nicht der Radius gemeint?--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 10:29, 25. Apr. 2012 (CEST) 

Zu 2.):

Die Definition halte ich für fast richtig. Es fehlt meiner Meinung nach die Angabe "für alle X Element P". Ebenfalls weis man nicht, wo der Punkt x und die Punkte der Punktmenge liegen- Es fehlt der Hinweis auf die Ebene. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST)

Zu 3. und 4.):

Verstehe die Formeln nicht. Kann mir jemand sagen was R+ ist? Kann sie jemand formulieren, das würde mir weiterhelfen? --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 20:43, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Unter <math>\mathbb{R}^{+}</math> verstehen wir die Menge aller positiven reellen Zahlen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:42, 23. Apr. 2012 (CEST)

Hätte jetzt gesagt, dass die drei richtig ist! Für mich sind die beiden Definitionen bis auf X ∈ E in der 3.) gleich. Das fehlt in der 4.)
--[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST)

Zu 5.):

Ich würde sagen, die Definition ist nicht korrekt. Ein Kreis ist eine geometrische Form in der Ebene (sonst könnte es eine Kugel sein). Bei einem Kreis befindet sich der Mittelpunkt auf gleicher Ebene wie die Punkte der Punktmenge (Jeder Kreis ist eine Menge von Punkten!). Alle diese Punkte der Punktmenge haben bei einem Kreis den gleichen Abstand zum Mittelpunkt (|MP| ist konstant). --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 20:43, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Ja, ich habs gerade gemerkt. Hier ist das selbe Problem wir in 1.) zu sehen: Es gibt keinen Abstand zwischen einem Punkt und einer Menge (Punktmenge)! --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST) 

''Bei eiem Kreis wird doch nur eine Linie um einen Punkt beschrieben: "Die Menge an Punkten die von einem Punkt den selben Abstand haben". Bei einer Kugel sind es doch alle Punkte die zwischen Mittelpunkt und Außenlinie liegen und nicht nur die den selben Abstand haben. --[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 10:40, 25. Apr. 2012 (CEST) 

Die Lösungen der Aufgabe stimmt so noch nicht alle - diskutiert und korrigiert euch selbst!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:57, 24. Apr. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_S]]

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 1.3 (SoSe 12)

2012-04-25T08:29:37Z

Braindead:

Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)? 

1.) Sei <math>M</math> ein Punkt und ''P'' eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: <math>\left| MP \right|</math> ist konstant, so ist ''P'' ein Kreis mit Mittelpunkt ''M''.

2.) Sei M ein Punkt und P eine Punktmenge. Wenn gilt: X∈P∶ |XM|= r, dann ist P ein Kreis.

3.) Sei M ein Punkt in der Ebene E und P eine Punktmenge. Wenn für alle X∈P gilt∶ |XM|= r, r <math>\epsilon </math> <math>\mathbb{R}^{+}</math> und X ∈ E, dann ist P ein Kreis mit dem Mittelpunkt M.

4.) Sei M ein Punkt in der Ebene E und P eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle X∈P gilt∶ |XM|= r, r<math>\epsilon </math><math>\mathbb{R}^{+}</math>, dann ist P ein Kreis.

5.) Sei M ein Punkt und P eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von P liegen in ein und derselben Ebene wie M. Wenn gilt: |MP| ist konstant, so ist P ein Kreis mit Mittelpunkt M.

Zur 1.):

Ich hätte gesagt, dass die Definition falsch ist. Es ist die Rede von Mächtigkeit/ Betrag von MP, aber eigentlich müsste dastehen: Betrag der STRECKE von MP. (Ich wollte eine neue Formel einfügen, habe es aber nicht hinbekommen!) --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 20:43, 21. Apr. 2012 (CEST) Meintest du sowas |<math>\overline {MP}</math>| ?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:40, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ja, genau diese Formel meine ich. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:45, 22. Apr. 2012 (CEST) 

Ich war gerade auf dem falschen Weg unterwegs. <math>\left| MP \right|</math> geht ja überhaupt nicht! Es gibt keinen Abstand zwischen einem Punkt und einer Menge- nur zwischen zwei Punkten! Ist das korrekt? Ebenfalls fehlt, dass M und alle Elemente von P in der Ebene liegen. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST) 

''Ist hier mit dem Abstand nicht der Radius gemeint?--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 10:29, 25. Apr. 2012 (CEST) 

Zu 2.):

Die Definition halte ich für fast richtig. Es fehlt meiner Meinung nach die Angabe "für alle X Element P". Ebenfalls weis man nicht, wo der Punkt x und die Punkte der Punktmenge liegen- Es fehlt der Hinweis auf die Ebene. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST)

Zu 3. und 4.):

Verstehe die Formeln nicht. Kann mir jemand sagen was R+ ist? Kann sie jemand formulieren, das würde mir weiterhelfen? --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 20:43, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Unter <math>\mathbb{R}^{+}</math> verstehen wir die Menge aller positiven reellen Zahlen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:42, 23. Apr. 2012 (CEST)

Hätte jetzt gesagt, dass die drei richtig ist! Für mich sind die beiden Definitionen bis auf X ∈ E in der 3.) gleich. Das fehlt in der 4.)
--[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST)

Zu 5.):

Ich würde sagen, die Definition ist nicht korrekt. Ein Kreis ist eine geometrische Form in der Ebene (sonst könnte es eine Kugel sein). Bei einem Kreis befindet sich der Mittelpunkt auf gleicher Ebene wie die Punkte der Punktmenge (Jeder Kreis ist eine Menge von Punkten!). Alle diese Punkte der Punktmenge haben bei einem Kreis den gleichen Abstand zum Mittelpunkt (|MP| ist konstant). --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 20:43, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Ja, ich habs gerade gemerkt. Hier ist das selbe Problem wir in 1.) zu sehen: Es gibt keinen Abstand zwischen einem Punkt und einer Menge (Punktmenge)! --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:57, 24. Apr. 2012 (CEST)

Die Lösungen der Aufgabe stimmt so noch nicht alle - diskutiert und korrigiert euch selbst!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:57, 24. Apr. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_S]]

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-25T08:12:55Z

Braindead: /* Bemerkungen zum Begriff Symmetrieachse */

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff. 
Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat 

''vielleicht hilft uns hier die Didaktik der Geometrie.... vgl. http://wikis.zum.de/geowiki/Haus_der_Vierecke_%2815.07.2011%29 --[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 15:57, 23. Apr. 2012 (CEST) 

===Viereck:===

Ein Vieleck mit genau vier Ecken ist ein Viereck.--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 23:30, 19. Apr. 2012 (CEST) 
FRAGE: Ist Vieleck ein Überbegriff???

Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4. --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 14:41, 20. Apr. 2012 (CEST)
::Vieleck und n-Eck sind synonym zu verstehen. Ja, Vieleck/n-Eck ist ein Oberbegriff bzgl. des Begriffs Viereck.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:51, 21. Apr. 2012 (CEST)

===Quadrat:===

Ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten ist ein Quadrat.--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 23:36, 19. Apr. 2012 (CEST) 

Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Innenwinkel.

===Raute:===

''Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute. 
''Ein Drache mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute. 
''Ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:42, 21. Apr. 2012 (CEST) Lässt sich eine Raute über die beiden genannten Oberbegriffe auch mit weniger als 4 kongruenten Seiten exakt definieren?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:34, 24. Apr. 2012 (CEST) 

''Wenn du schon so fragst vermute ich es reicht auch "mit drei konkruenten Seiten" da sich die dritte ergibt.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 11:41, 24. Apr. 2012 (CEST) 

Ein Viereck dessen gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind nennt man Raute.--[[Benutzer:Michael|Michael]] 20:22, 21. Apr. 2012 (CEST) Ein Parallelogramm? --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 13:53, 22. Apr. 2012 (CEST) Richtig, das ist die Definition für ein Parallelogramm. Super, PippiLotta. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:34, 24. Apr. 2012 (CEST) 
 
Ein Viereck dessen gegenüberliegende Winkel gleich groß und dessen Seiten kongruent sind nennt man Raute. --[[Benutzer:Huberj01|Huberj01]] 10:02, 24. Apr. 2012 (CEST) 
Diese Definition ist informell, d.h. sie enthält mehr Informationen als nötig. Für die Schule sind solche Definitionen sehr sinnvoll. Mathematisch (formale Definition) sollte nur die nötigsten Eigenschaften genannt werden, damit der Begriff eindeutig definiert ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:34, 24. Apr. 2012 (CEST) 

===Rechteck:===

Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln ist ein Rechteck. 
Ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck. 
FRAGE: Kann ich auch folgende Definition geben: Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkel.
Eine Definition der beiden Definitionen oben besagt, "einem rechten Winkel", aber daraus ergibt sich ja, dass es vier rechte Winkel sein müssen. Ist es nun richtig, wenn man in der Definition schreibt "einen rechten Winkel" oder "vier rechte Winkel"? Welche der beiden Versionen ist korrekt? 
Bitte immer eure Signatur einfügen, damit alle sehen können, ob die Aussage von einer oder mehreren Personen geschrieben wurde. Zu deiner Frage: Informelle Defnitionen dürfen auch mehr Informationen enthalten (sinnvoll v.a. im Unterricht). Formale Definitionen, wie sie hier geübt werden sollen, enthalten nur so viel wie nötig d.h. Parallelogramme mit ''einem rechten Winkel'' heißen Rechtecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:39, 24. Apr. 2012 (CEST) 

====über gleichschenkliges Trapez====

Ein gleichschenkliges Trapez mit einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:50, 21. Apr. 2012 (CEST) 

===Trapez:===

''Ein Viereck mit einem Paar paralleler Gegenseiten ist ein Trapez.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:52, 21. Apr. 2012 (CEST) 

Ein Viereck wo immer genau zwei Seiten parallel sind --[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:01, 22. Apr. 2012 (CEST) 
@H2O Bei einem Parallelogramm sind je zwei Seiten parallel zueinander... nach deiner Definition ist ein Parallelogramm kein Trapez, da nicht '''genau''' zwei Seiten parallel sind.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:22, 22. Apr. 2012 (CEST)

===Parallelogramm:===

Ein Parallelogramm ist ein Trapez, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 01:13, 21. Apr. 2012 (CEST)

Anmerkung: Oberbegiff ist Trapez. Unterbegriffe wären u.a. Raute und Rechteck. Frage: Auf die nicht vorhandenen rechten Winkel muss ich bei der Definition nicht eingegen, da der Oberbegriff Trapez diese auch nicht hat. Ist das korrekt? --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 01:13, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Ein Parallelogramm muss ja keinen rechten Winkel haben und Dinge, die nicht relevant sind, sollten in einer Definition auch nicht vorkommen. Ich hoffe, dass ich deine Frage richtig verstanden habe, wenn nicht, dann einfach nochmal anders formulieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:34, 22. Apr. 2012 (CEST)

Danke. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:09, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ein Parallelogramm ist ein Trapez, bei dem die gegenüberliegenden Innenwinkel gleich groß sind. --[[Benutzer:Huberj01|Huberj01]] 09:55, 24. Apr. 2012 (CEST)

Ein Viereck mit 2 parallelen kongruenten Paaren, heißt Parallelogramm. Ist das korrekt? --[[Benutzer:maliglowka|Maliglowka]] 12:59, 24. Apr. 2012 (CEST) Was sind Paare?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:35, 24. Apr. 2012 (CEST)

===Drachenviereck:===
====Variante 1====
Wenn ein konvexes Viereck zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt, dann nennt man es Drachenviereck.
(Konventionaldefinition)
--[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 00:53, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Könnte bei dieser Definition nicht auch dieses Viereck entstehen: 
<ggb_applet width="331" height="163" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 24. Apr. 2012 (CEST) 

====Variante 2====
Ein Drachenviereck ist ein konvexes Viereck, bei dem eine Diagonale auf der Mittelsenkrechten der anderen Diagonalen liegt.
====Kommentar von Tutor Andreas====

Wenn die Diagonalen eines Viereckes eine Symmetrieachse bildet so spricht man von einem Drachen. --[[Benutzer:Michael|Michael]] 20:22, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Diese Definition muss auch noch ein bischen verändert werden... hier einige Vorschläge... 
(1) Wenn die Diagonalen eines Viereckes Symmetrieachsen bilden, so spricht man von einem Drachen. 
(2) Wenn eine Diagonale eines Viereckes eine Symmetrieachse bildet, so spricht man von einem Drachen. 
(3) Wenn die Diagonale eines Viereckes eine Symmetrieachse bildet, so spricht man von einem Drachen. 
Vielleicht könnte man an dieser Stelle darüber diskutieren, welche Variante korrekt ist. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:27, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ich würde sagen, dass (2) korrekt ist. Ein Drachendreieck hat zwei Diagonalen, aber nur eine Diagonale bildet die Symmetrieachse. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:09, 22. Apr. 2012 (CEST)
====Kommentar von m.g.====
=====Bemerkungen zum Begriff Symmetrieachse=====
{{Definition|(Symmetrieachse) Es sei <math>\mathbb{F}</math> eine beliebige Figur und <math>s</math> eine Gerade. Wenn bei der Spiegelung an <math>s</math> <math>\mathbb{F}</math> auf sich selbst abgebildet wird, ist <math>s</math> eine Symmetrieachse von <math>\mathbb{F}</math> }}
Eine Gerade ist nicht einfach so eine Symmetrieachse, sondern immer eine Symmetrieachse von irgendeinem anderen geometrischen Objekt. A priori ist jede Gerade eine Symmetrieachse: Es sei <math>g</math> eine Gerade in einer Ebene <math>\varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt von <math>g</math>. In <math>\varepsilon</math> existiert jetzt <math>s_{Pg}</math>, die Senkrechte in <math>P</math> auf <math>g</math>. Weil bei der Spiegelung an <math>g</math> die Gerade <math>s_{Pg}</math> auf sich selbst abgebildet wird, ist <math>g</math> eine Symmetrieachse von <math>s_{Pg}</math>. 

Aus dieser Sicht wäre alle Definitionen des Begriffs Drachen, die die Idee der Symmetrieachse verwenden noch einmal zu überdenken. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:08, 23. Apr. 2012 (CEST)

Ein Viereck bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist, ist ein Drachen.--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 19:44, 23. Apr. 2012 (CEST)

{{{{Vorlagenname}}}}===gleichschenkliges Trapez===

Ein Trapez, welches zwei gleichlange Schenkel besitzt, heißt gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 22:22, 22. Apr. 2012 (CEST)

Dann müssen Sie aber auch den Begriff Schenkel eines Trapez definieren. Und könnte zwei Seiten eines Vierecks eigentlich Schenkel sein, wenn sie nicht gleichlang wären?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:46, 23. Apr. 2012 (CEST)
 
''Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, welches eine Symmetrieachse besitzt, die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes. 
''Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez. 
''Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist. 

''Ein Trapez, in dem nicht gegenüberliegende Innenwinkel zu einander kongruent sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 20:33, 23. Apr. 2012 (CEST) 
Braindead - diese letzte Definition stimmt so nicht. Warum? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:53, 24. Apr. 2012 (CEST) 

''Die Definition ist wohl etwas ungenau. Es könnte auch ein Rechteck oder Quadrat gemeint sein. Bei der Formulierung "nicht gegenüberliegende Innenwinkel" ist auch nicht ganz klar, welche diese sind. Es könnten ja zwei verschiedene sein. Daher denke ich nun, dass diese Definition eher ein rechtwinkliges Objekt beschreibt.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 10:12, 25. Apr. 2012 (CEST) 
 

Ein Trapez dessen nicht parallele Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Huberj01|Huberj01]] 09:50, 24. Apr. 2012 (CEST) 
Huberj01 - die Definition ist so noch nicht ganz richtig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:53, 24. Apr. 2012 (CEST) 

Ich habe echte Probleme ein Drachendreieck zu definieren. Meine Definition oben, passen mir selbst irgendwie nicht. Ich komme nicht weiter. Der Oberbegriff muss Viereck oder n-Eck mit n=4 sein, aber weiter weis ich nicht. Ich will eine Realdefinition erstellen, d.h ich habe mein Oberbegriff (Viereck) und muss ihm jetzt Eigenschaften zuschreiben. Aber irgendwie komme ich nicht weiter. Definiert man formal über die Seiten, Winkel, Diagonalen, ...? --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 23:21, 24. Apr. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 1.6 (SoSe 12)

2012-04-25T07:51:47Z

Braindead: /* Kommentar M.G */

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
1) Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 
2) Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm. 
3) Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden. 
4) Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 

[[Kategorie:Einführung_P]]
[[Kategorie:Einführung_S]]

1) nicht ausreichend, da bei einem Rechteck genau das Gleiche gilt 
2) in Ordnung --> es sind die Eigenschaften gegeben, dass die zwei Paare der Seiten parallel zueinander sind und gleich lang 
3) in Ordnung 
4) nicht ausreichend, da es eher heißen müsste: Trapeze mit zwei Paar zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
-- [[Benutzer:Nala23|Nala23 ]] 14:04, 22. Apr. 2012 
Was meinen denn die anderen dazu? Hier bietet es sich meiner Meinung nach an, auf die Lösungsvorschläge von Nala23 einzugehen und nicht nur eine weitere Lösung einzustellen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:47, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ich hätte zu 2) gasagt, dass man man diese beiden geometrischen Figuren (Drachen und Parallelogramm) nicht aufeinander beziehen kann (siehe Haus der Vierecke). 

Derjenige möchte Parallelogramm definieren, dann sollte man als Oberbegriff Trapez oder Viereck/n-Eck mit n=4 benutzen. 
Bei Nala23s Kommentaren zu 1) und 3) stimme ich zu. 
Zu 4) hätte ich gesagt: Trapeze, bei deen die gegenüberliegenden Seiten stets parallel sind heißten Parallelogramme. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 23:06, 22. Apr. 2012 (CEST) 
Mh? zu 1) für Rechtecke gilt das auch, das stimmt. Na und? 
zu 2)und 3) überlegt nochmal...--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:32, 24. Apr. 2012 (CEST)

 
 
''Zu 4: 
''Alle Parallelogramme gehören zur Klasse der Trapeze, schiefer Drachen und Vierecke. Sie sind ein Oberbegriff für Parallelogramme und können damit auch definiert werden. (vgl. Haus der Vierecke, in Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe 1,S.137) oder vgl. http://wikis.zum.de/geowiki/Haus_der_Vierecke_%2815.07.2011%29 Habe gerade festgestellt, dass sich meine beiden Quellen widersprechen. Sind meine Definitionen nun falsch? Oder hab ich einen Denkfehler? 

''1. Ein Trapez/schiefer Drachen/Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten ist ein Parallelogramm. 
''2. Ein Trapez/schiefer Drachen/Viereck mit sich gegenseitig halbierenden Diagonalen ist ein Parallelogramm. 
''3. Ein Trapez/schiefer Drachen/Viereck mit einem Paar paralleler und zueinander kongruenter Seiten ist ein Parallelogramm. 
''Bei Betrachtung meiner dritten Definiton fällt auf, dass sie fast der ursrünglichen entspricht - zwei konkruente Seiten sind in der Definiton gegeben, es fehlt meiner Meinung nach der Verweis auf ein paar paralleler konkruenter Seiten.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 15:26, 23. Apr. 2012 (CEST)
 
Ja richtig, das ist eine Möglichkeit: Deine dritte Definition verbessert Nr. 4 der Aufgabenstellung. Wenn du schreibst "Ein Viereck mit..." und dann "ein Trapez mit", dann brauchst du bei zweiterem meist weniger zusätzliche Eigenschaften nennen, da ja das Trapez schon Eigenschaften in die Definition miteinbringt. Deshalb kann man so "Trapez/schiefer Drachen/Viereck" schlecht beurteilen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:32, 24. Apr. 2012 (CEST)

3) ist eine Aussage und keine Definition. Es handelt sich hier also um das selbe Problem wie in Aufgabe 1.5.--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 20:11, 24. Apr. 2012 (CEST)

==Kommentar M.G==

:: In 3. wird behauptet, dass irgendetwas existiert. Es obliegt uns nicht mittels einer Definition festzulegen, dass etwas existiert oder nicht (wir und auch die Mathematiker sind nicht Gott oder ein anderes höheres Wesen). Wir müssen die objektive Realität so nehmen wie sie ist. Wir können den Dingen nur Namen geben und fertig. User KeinKurpfälzer hat also Recht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:17, 24. Apr. 2012 (CEST)

::Es ist nicht egal für die Definition eines Begriffs, auf welchen Oberbegriff man sich bezieht:
::: 1. Beziehe ich mich für die Definition des Begriffs ''Parallelogramm'' auf den Oberbegriff ''Viereck'', dann muss ich festlegen, dass unser Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat: Wenn ein ''Viereck'' zwei Paare paralleler Seiten hat, so heißt es ''Parallelogramm''.
::: 2. Beziehe ich mich auf den Oberbegriff ''Trapez'', so brauche ich nur ein weiteres Paar paralleler Seiten zu fordern, denn jedes ''Trapez'' hat ja bereits ein solches: Wenn ein ''Trapez'' ein weiteres Paar zueinander paralleler Seiten besitzt, so heißt es ''Parallelogramm''.
::: 3. Will ich den relativ selten verwendeten Oberbegriff ''schiefer Drachen'' verwenden, so macht es Sinn, zunächst die Definition für den Begriff ''schiefer Drachen'' zu betrachten: Wenn eine Diagonale eines Vierecks die andere Diagonale dieses Vierecks halbiert, so ist das Viereck eine schiefer Drachen. In jedem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Also gibt es in jedem Parallelogramm eine Diagonale , die die halbiert: Jedes Parallelogramm ist somit ein schiefer Drachen. Das Besondere eines jeden schiefen Drachens, der auch als Parallelogramm bezeichnet werden darf ist, dass in einem solchen schiefen Drachen nicht nur die eine Diagonale die andere sondern auch die andere die eine Diagonale halbiert (meint sie halbieren einender gegenseitig): Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein schiefer Drachen, wobei die Diagonale <math>\overline{AC}</math> die Diagonale <math>\overline{BD}</math> halbieren möge. Wenn auch die Diagonale <math>\overline{BD}</math> die Diagonale <math>\overline{AC}</math> halbiert, so heißt der <math>schiefe Drachen</math> <math>\overline{ABCD}</math> ''Parallelogramm''.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:17, 24. Apr. 2012 (CEST)

 
''Frage zur Definition schiefer Drachen in 3.: Wo halbieren sich die Diagonalen in einem schiefen Drachen?--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 09:51, 25. Apr. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-24T09:41:13Z

Braindead: /* Raute: */

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-23T18:34:45Z

Braindead: /* gleichschenkliges Trapez */

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-23T18:33:54Z

Braindead: /* gleichschenkliges Trapez */

Datei:Passionsblume - Passiflora.JPG

2012-04-23T14:25:29Z

Braindead: hat eine neue Version von „Datei:Passionsblume - Passiflora.JPG“ hochgeladen: Zurückgesetzt auf die Version vom 23. April 2012, 14:16 Uhr

== Beschreibung ==
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|Genehmigung =
|Andere Versionen =
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== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Datei:Passionsblume - Passiflora.JPG

2012-04-23T14:24:43Z

Braindead: hat eine neue Version von „Datei:Passionsblume - Passiflora.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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== Lizenz ==
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Datei:Passionsblume - Passiflora.JPG

2012-04-23T14:16:22Z

Braindead: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

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Lösung von Aufgabe 1.6 (SoSe 12)

2012-04-23T14:03:19Z

Braindead:

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-23T13:57:54Z

Braindead:

Lösung von Aufgabe 1.6 (SoSe 12)

2012-04-23T13:53:39Z

Braindead:

Lösung von Aufgabe 1.6 (SoSe 12)

2012-04-23T13:36:56Z

Braindead:

Lösung von Aufgabe 1.6 (SoSe 12)

2012-04-23T13:26:45Z

Braindead:

Lösung von Aufgabe 2.1 (SoSe 12)

2012-04-22T09:45:37Z

Braindead:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

[[Category:Einführung_P]] 

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 

a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 

b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).

Lösung von Aufgabe 1.4 (SoSe 12)

2012-04-21T13:00:12Z

Braindead:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!
 

''Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel. 
''Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez mit einem rechten Innenwinkel.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 15:00, 21. Apr. 2012 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-21T12:52:21Z

Braindead:

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-21T12:50:50Z

Braindead:

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-21T12:42:19Z

Braindead:

Beweisen SoSe 12 S

2012-04-21T12:33:41Z

Braindead: /* Implikationen */

==Implikationen==
Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten ''Wechselwinkelsatz''. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 
''Es seien a und b zwei verschiedene Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. 
''Wenn zwei geschnittene Geraden paralell zueinander sind, so sind die entstehenden Wechselwinkel kongruent.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:33, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
 
'' Wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 13:42, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
''
Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
 
Umkehrung als Äquivalenz: 
 
''Genau dann, wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:23, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
''

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 
 

[[Category:Geometrie_S]]

Beweisen SoSe 12 S

2012-04-21T12:26:13Z

Braindead: /* Implikationen */

==Implikationen==
Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten ''Wechselwinkelsatz''. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
 
''Es seien a und b zwei verschiedene Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 13:42, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
''
Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
 
Umkehrung als Äquivalenz: 
 
''Genau dann, wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:23, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
''

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 
 

[[Category:Geometrie_S]]

Beweisen SoSe 12 S

2012-04-21T12:23:32Z

Braindead: /* Implikationen */

==Implikationen==
Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten ''Wechselwinkelsatz''. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
 
''Es seien a und b zwei verschiedene Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 13:42, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
''
Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
 
''Genau dann,wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:23, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
''

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 
 

[[Category:Geometrie_S]]

Beweisen SoSe 12 S

2012-04-21T11:44:18Z

Braindead: /* Implikationen */

==Implikationen==
Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten ''Wechselwinkelsatz''. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
 
''Freie Schenkel an kongruenten Wechselwinkeln sind parallel.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 13:42, 21. Apr. 2012 (CEST)'' 
''
Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 
 

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Beweisen SoSe 12 S

2012-04-21T11:42:41Z

Braindead: /* Implikationen */

==Implikationen==
Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten ''Wechselwinkelsatz''. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
 
Freie Schenkel an kongruenten Wechselwinkeln sind parallel.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 13:42, 21. Apr. 2012 (CEST) 

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 
 

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