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20.06.2012: Epizykloide und Asteroide

2012-06-26T18:07:35Z

Flo 21: /* Welchen Radius muss der kleine Kreis haben? */

=Was bedeutet das?=
Asteroid kommt aus dem griechischen und bedeutet: 'Sternartiger'

=Konstruktion und Ideen bzgl. einer Asteroide=
==Wie sieht eine Asteroide aus?==
So: 
 
<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIANCc10AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIANCc10AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VrvbuO4Ef+89xSEPvTDYW3zv6StswdngUUX2NwdLtui6JeClhiHF1lyJdmxg3uo9hX6AH2mDknJli0ncTbZ7d2hwSaUyCGHnN/8Zob2jr9bzzO00mVlivwsIEMcIJ0nRWry2VmwrK8GUfDd22/GM13M9LRU6Koo56o+C7iVNOlZMJ0myVUYJ4M05PGAw+MgZjIciCROmaQcX7FpgNC6Mm/y4ns119VCJfoyudZz9bFIVO0UX9f14s1odHt7O2xVDYtyNprNpsN1lQYItplXZ0Hz8AaW25t0y5w4xZiM/nrx0S8/MHlVqzzRAbJHWJq337wa35o8LW7RrUnrazgwi2iArrWZXcOhQs4DNLJSC7DIQie1WekK5nZe3aHr+SJwYiq346/8E8q25wlQalYm1eVZgIdMCBpREschwUJaHUVpdF43sqTROWpXG6+MvvXL2ienESbVRZFNlV0R/fILophi9No2xDcUGin9EPZ9mPmG+ob7RngZ7qdzL8q9DPcynAVoZSozzfRZcKWyCkxo8qsS4Nu+V/Um024/Tcfu9OQ1nKkydyDMMPiJtzn0Y/za/kr45XZgtH9I0tFal8snKm1VEibl6Trps07KWqU8Jn2dVNxzTvmAUn/wkw4qOrYFVe6f++1pZA8d81Cjf3+eQsm/yhHHo5Yr44YeqLq2so371HpeWcKwGInY+j1BAsghQ3BzgUgMTUgR0AERgbiAVxIhadsQsRAGOGIoQlaOMOTYISL4w0O3mEQCFrO9IZASEVDEkWCIOFJxBFRCjphAUspAQggkYJJVT6hdgknEJbyxCHHYo+VkSECQwUR4B/UUMYKYnUxCRCWSdj3CLddlZLcOS1IkMZLELgi0Bkp7OoN8hJg9jWzMZfLFst4zUTJP28e6WGyxAGkISLuw5wPUXlR8Nc7UVGeQKS4tkgitVGYZ4RRdFXmNWhCp75uVanFtkupS1zXMqtDPaqU+qlqv34N01ep2skmRVz+WRf2uyJbzvEIoKTK83XORkc4z3e4aXlhngHcHRGdAdp7Do3oLGEHLSoP+oqxacZWmH6zELjSAJX/Is815qdXNojD7xxiPXNIZ62WSmdSo/C/grFaLtQva5SAbr9ocJMK43UlRppebClwYrf+mywJiFSZDSCSRpGHEYxqFAdo0I4QOmYxZGPOQCYkjG5gSZclHSDyMBMcslJzwmDNQtrlnjEqvW6+2GKm13h5/VlpqN0e3Lx+q8yLbdTkDvFOLelm6+gE2UdpTTfJZpp2TuHgLyTm5mRbryyZc+7U+bRbwhv0GpjNneATBgQoBAk079a2TsTvbSmEng50Ebt3NpNtxElMn4dqpb50U+K/fWnNS0h6T4FaNqVxIw8EecZzz20y/zE39sX2pTXLTnJR4+e+X86neutD+kuSFlhyPDlxsfKPLXGeNRwOSy2JZeYJ2nD3ViZnDqx9oDKIsWH+GDfjeVM9K3e47c5WZN5cbxV1f7XW7pd6XxfxDvvoEntDbAJRnJXgHbMLGfT+8O1N7hnGVlGZh3RFNIUfc6J3HpaZSkGLSLuksQWGRxC1Zm9oaDqi7rK8LcIT3WSEByRTCDnRbcmZ6DsUYqp3/ORfeInHhqjxrclRMf4bId4DUDlIYPuqLzmtVtrhWthJs7JKpjS73LOXWuyjSQ/u1loEosPDwL7T2juP3Cw8LWM7RbS+MASAVWnulaNO0d77E9yWuPaml4F7c9r0HSIJ7eSP1zJUv57o0ydYgN85gMHPZzN+q2zNim/D9pM6+7zMj7hiRnGjERq7KbB2O5gbqigGAMVdgFQvKtILcUsNVBPw7311FPMBtbMbObmtbyDaGFO7hyqw7bgieZe6AZ2rPJ3ahpYa0dwPFfeXiX91EOvfwJ5OmOt/u9gTI8THIuxAlxXyu8hTlrth6Z8ok08Eu+ytsHRspYuHyVl/W7UDiF2uW6OEN3OqgnTxCjycC+0R2fI55IcnqfAU7haQOl1LcXHk3uCVI27MG6ww85KTpuiMddwaQSrNGk1Z+0kpNoBoZ+CfWLDrh7VoT0Tz5zfwj9/uvfHS3tZW5Msnn48nQCCrWb1Ef1/QpuKZ9XJ/F2N8PsHgoJBVfDNsfXfbZhzbtYTl5GMv9FDZ5DMvjOYxQX3W59teRx2QItS2hkcBcxiGOm7TGKPQTCaPwE7qi+AXS3Amcm3jOkXs5p5/COf1/zh3nHFAO7/2QPv36rtGwse8cz2DnT2pzPOxOetCrh6EvYaUWV/W/BX7HsKPm8hzr2/euq+pzfOcAATNfZCYx9daSmY0FH/Ia7jnalfL968uN1gt7a/wh/1SqvLIfTR9eIe6rW93NZGvh//zrsGwVQyl4BIaAi7Ekkkb9WhI3pSST+Nt///PEejKkh+VkfHI5+Zl1FsHPLqE/q5Atk07UvScRwNlJyAWjMRUkjjk8iIcL3mPQPp5DdY+g50/Joee/mxwaxVIwAR7NIi6xbHMo5zTCsYhjKG7C2H6U/eIp9Keihit3DxcXP4F/SFEbTnsp9A9qUVR/fFIibab89q8mABeOMZGWGCG3n+z55Gqr0CgMI0EFBeZAPz9ItscENuT4ii+biUMWMUFxTGPwLkgnPhNDxGGQVmQsbFrBYRTRZyXiY7508ZgvXZziSwef/5zkS1/4U6Av91nOCVadPGbVydOtOrnPql89qHZN2/fcjfPovud+AdP3K8vGRr6+3Nl4v8o8xfZ7teZplv9aFedR426Og3HXvV3/JirOE9h17vEd2PtjS7H+ZeLco/Z3+qSaZTvp10UzDleMmEWhxJiGYnvDYBLKQC6ZwDISIRbsawW4nZ0eCXTnTw90589IHy8KQF2qRO976j4qQmJCwiiGSx4WIW1RwRxwgZEY8ygO3VeHL4DKqPsNjfuWtPkvP2//C1BLBwgA7bslgwgAAI8kAABQSwECFAAUAAgACADQnNdA1je9uRkAAAAXAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIANCc10AA7bslgwgAAI8kAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF0AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAAGgkAAAAA" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

==Wie konstruiere ich mir das?==
Zunächst ist es sinnvoll zu betrachten, was hier überhaupt los ist:
* Wir haben einen kleinen Kreis, der innerhalb eines größeren Kreises abrollt. Ein fixer Punkt auf dem Kreis (B') hinterlässt seine Spuren!
* Der kleine Kreis dreht sich ganz offensichtlich viermal im Laufe der Zeit, in der der kleine Kreis das innere des großen Kreise umlaufen hat (das kann man sich bildhaft darstellen: Im Laufe der Zeit, die die Erde braucht um einemal um die Sonne zu tigern (also in der Regel schafft sie es innerhalb eines Jahres) (vgl. kleiner Kreis im großen Kreis) dreht sie sich 365 mal um sich selbst (kleiner Kreis dreht sich um sich selbst)
* Wie hängen nun einzelne Drehwinkel zusammen?
 
Um die letzte Frage frage zu beantworten, schauen wir uns mal einen Spezialfall an:
 
Um eine bessere Verdeutlichung darstellen zu können, ist ein zusätzlicher Strahl eingezeichnet:
 
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Der Drehwinkel von <math>\ MA'^{+}</math> ist so eingestellt, dass B' wieder ein Punkt des Kreises ist. Da dies viermal passiert, ist der Drehwinkel wohl insgesamt 90°. 
Nun dreht sich der kleine Kreis genau einmal um die eigene Achse. 
==Welchen Radius muss der kleine Kreis haben?==
Dazu nutzen wir die Berechnung am Einheitskreis. Wenn der kleine Kreis einen Umfang besitzt, der genau so groß ist, wie 1/4 Kreisbogen des großen Kreises gilt folgendes: <math>2r_k* \pi = \frac{1}{4} 2r_g* \pi 
2r_k* \pi = \frac{1}{4} 2*(1)* \pi 
r_k = \frac{1}{4}*(1)</math> 
Natürlich ginge das auch ohne Einheitskreis, aber in der Vorstellung wird es wohl einfacher vorstellbar sein. (Was für ein Satz; erinnert ein wenig an: 'Vom Feeling her habe ich ein gutes Gefühl' (Andreas Möller) :-)) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:05, 23. Jun. 2012 (CEST)
 
Wir sind also zu der Erkenntnis gelangt, dass der Radius des kleinen Kreises 1/4 der Länge des Radius des großen Kreises ausmacht. 
Weil ja nun bei der Drehung des kleinen Kreises A Drehzentrum ist und somit Fixpunkt bzgl. der Drehung um A ist, bewegt sich A bei der Drehung um M auf einem Kreis.

 Wäre es möglich dies näher zu erläutern? Ich verstehe nicht, wo sich nun der Fixpunkt befinden soll. Wir haben M vom großen Kreis, der ist fest. Wir haben M vom kleinen Kreis, der bewegt sich, da sich der kleine Kreis bewegt. Und der weitere Punkt auf dem kleinen Kreis bewegt sich ebenfalls. (PS: Falls dies alles in der Animation zu sehen ist, bei mir funktioniert Java nicht)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:07, 26. Jun. 2012 (CEST) 
===Welchen Radius hat nun dieser Kreis===
...selbst ist die Frau...selbst ist der Mann...
 

==Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel um M und dem Drehwinkel des kleinen Kreises?==
Ganz offensichtlich: Wenn sich der kleine Kreis bei unserer Konstruktion (Asteroide) viermal um sich selbst drehen muss, bis sich der gesamte Kreis einmal durch den großen gerollt hat, scheint der Drehwinkel des kleinen Kreises wohl genau viermal so groß zu sein, wie der Drehwinkel um M.

=Übung=
* Konstruiere einen fünfzackigen Stern (Was fällt auf?/Gibt es Gemeinsamkeiten?)
* Konstruiere einen dreizackigen Stern (Was fällt auf?/Gibt es Gemeinsamkeiten?)
* Konstruiere einen zweizackigen Stern (Was fällt auf?/Gibt es Gemeinsamkeiten?)

=Ein Blick in die Ferne=
==Was passiert, wenn <math>|\overline{A'B'}|</math> ungeleich dem Radius des kleinen Kreises ist?==
===Fall 1: <math>|\overline{A'B'}| < r_k</math>===
 

 

===Fall 2: <math>|\overline{A'B'}| > r_k</math>===
 

 

=Ein Blick in ferne Galaxien=
Den Quellen von Wikipedia zu Folge, beträgt der Durchmesser der Erde 12.700 km. Die Umlaufbahn ist - wie sich wohl herumgesprochen hat - elliptisch. Da die Umlaufbahn der Erde allerdings nur ganz gering von einem Kreis abweicht, können wir hier auch auf einen Kreis zurückgreifen. Der Umfang dieser elliptischen Umlaufbahn beträgt (ebenfalls laut Wikipedia) 940.000.000 km (das bedeutet, wir rasen jeden Tag gemütliche 2,57 Mio. (!!!!!!!!!!!!!!!) Kilometer durchs All - soll sich das mal einer vorstellen!) 
Wenn nun Flo60 auf der Erde steht und sich ein Jahr lang nicht bewegt und Flo60 eine bengalische Fackel in der Hand hält, deren Rauch sich ein Jahr lang nicht verändert oder verzieht, dann schaut die Spur dieser Fackel wohl so aus:
 
===Berechnung der Umfänge/Radien===

<math>2*r_U*\pi = 940.000.000 
2*r_U = 313.000.000 
r_U = 15.600.000</math> 
--------
<math>r_E = 6.350 
12.700*\pi = u_E 
38.100 = u_E</math>

Wobei <math>r_U \ bzw. \ r_E</math> der Radius der Umlaufbahn bzw. der Erde ist, <math>u_E</math> der Umfang der Erde ist und <math>\pi</math> ungefähr 3 ist. 

Der Umfang der Umlaufbahn ist also 410 mal größer als der Umfang der Erde. Der Einfachheit halber gehen wir von 400 aus.

===Drehwinkel===
Der Drehwinkel der Erde um die Umlaufbahn ist mit 360° sonnenklar (ha, Wortspiel), der Drehwinkel ist unserer vorherigen Überlegung folgend mit <math>365\alpha</math> anzugeben.

===Radius des Kreises, auf dem sich der Mittelpunkt der Erde bewegt===
Weil wir den Radius der Umlaufbahn mit 15.600.000 km angegeben haben und der Erdradius mit 6.350 km angegeben ist, beträgt der Radius desjenigen Kreises, auf dem sich der Mittelpunkt der Erde bewegt, (15.600.000 - 6.350)km = 15.593.650 km. 
Es wird wohl so sein, dass die Rollkurve, die Flo60's bengalische Fackel hinterlässt, sich ebenfalls einem Kreis annhähert.

==Konstruktion==
<ggb_applet width="800" height="607" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
Leider schafft es Geogebra nicht (wer soll es auch verübeln), dass sich die 'Erde' mit Flo60 in einem 'Jahr' (als Umlauf) 365x um sich selbst dreht. Ist aber egal, da die Ortslinie ja angegeben ist. 
Soweit viel Spass beim Erdedrehen :-) 

PS: Mit meiner obigen Vermutung, dass sich die Rollkurve einem Kreis annähert, habe ich mich wohl dezent geirrt :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 11:34, 24. Jun. 2012 (CEST)

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Hauptseite

2012-06-08T10:49:59Z

Flo 21: /* {{Schrift_orange|!!!TERMINFESTLEGUNG ÜBUNG!!!}} */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
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{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''

*Spezialveranstaltung: [[Selbstverteidigung und mentales Training]]
*Die kleine Kolumne: [[Marx, Engels und Bildzeitungsbeweise]]
|}
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| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Bitte bringen Sie in die nächste Vorlesung (12.06.12) eine CD-Hülle (Kunststoff mit transparentem Deckel) und ein kariertes Blatt Papier (DIN A4) mit.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:06, 5. Jun. 2012 (CEST)
*Hier ein sehr schönes [[Übungsblatt Halbgeraden|Übungsblatt]] zum Thema Halbgeraden aus der Sekundarstufe!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:20, 29. Mai 2012 (CEST) 

==Newsticker==
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| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-
| Mo.|| 08-10 Uhr || A206 ||Henrich
|-
| Mo.|| 16-18 Uhr || A108 ||Hucke
|-
| Di.||12-14 Uhr || A106||Zähringer
|-
| Do.|| 10-12 Uhr || A206 ||Strauß
|-
| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||Schulte

|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

|}
</div>
|}
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{| width="100%"
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| width="50%" style="vertical-align:top" |
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| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*An alle Studierende (neue Studienordnung, WrHR) mit '''Hauptfach''' Mathematik: Falls noch nicht geschehen, tragen Sie sich bitte unter folgendem link in die Liste ein: [[Informationen für Studierende "neues Lehramt" mit Hauptfach Matehmatik]].--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 12:34, 6. Jun. 2012 (CEST)
*Es ist bemerkenswert, dass die alten Übungsaufgaben nicht einfach so ad acta gelegt werden. TiCon hat die Übungsaufgabe zur Mengengleichheit noch einmal aufgegriffen. Ich hab Ihnen einen Kommentar dazu geschrieben und das Ganze durch ein Beispiel ergänzt, das nicht trivial ist: [[Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12)]] Dieses könnte ggf. u.U. in der ATP eine Rolle spielen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:08, 7. Jun. 2012 (CEST)
*@RitterSport Ich schaffe es leider heute nicht mehr (und morgen wahrscheinlich auch nicht) auf Ihre Überlegungen bezüglich des Beweises <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}</math> einzugehen. Wenn Sie Lust haben, würde ich mit Ihnen ein Video zu diesem Beweis aufnehmen. Falls Sie Interesse haben, melden Sie sich bitte auf die eine oder andere Weise bei mir. (Mail oder Bemerkung hier ...)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:41, 7. Jun. 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

====Übungen====

{{Schrift_orange|Achtung:}}Da am Do den 7.6. Feiertag ist, verschiebt sich diese Übung von Ricky Sharma auf Di den 12.6. um 10:00 Uhr. Raum bleibt gleich. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:24, 16. Mai 2012 (CEST) 
{{Schrift_orange|Achtung:}}Wegen dem Feiertag am Donnerstag den 07.06. findet die Übung von Andreas Jäckle am Mittwoch den 06.06. von 14-16 Uhr in A108 statt.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:46, 5. Jun. 2012 (CEST)
{| class="wikitable"
|-
| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
|-
| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
|-
| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
|-
| Donnerstag|| 16:00 - 18:00 || A106 ||Jäckle
|-
| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
|}

====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
{| class="wikitable"
|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen. 
Viel Erfolg im Sommersemester 2012! 

|}
</div>
|}
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag|| 10:00 - 12:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

* Wann findet eigentlich die Klausur statt?
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</div>
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| valign="top" |

=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==

=={{Schrift_orange|!!!TERMINFESTLEGUNG ÜBUNG!!!}}==
Aufgrund der Überschneidung mit der Zahlentheorieübung findet die Übungsveranstaltung folgendermaßen statt:

{{Schrift_grün|'''Mittwochs, 14:00 - 16:00 Uhr - Raum noch offen (evtl. H002) - Erste Veranstaltung: 13.06.2012'''}}

Ob Algebra 1 oder Zahlentheorie öfter besucht wird,kann ich nicht beurteilen, aber auch ich bin davon betroffen, dass dafür die Algebra 1 Übung nicht besucht werden kann. Wäre gut, wenn man beide Seiten befriedigen könnte. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:49, 8. Jun. 2012 (CEST) 
Zahlentheorie besuchen aber wahrscheinlich mehr Examenskandidaten als Algebra, daher finde ich Mi 14-16 besser.
Ich hätte aber auch nichts gegen Mi 12-14 (oder Mo 8-10, oder einen schönen Geometrie-Samstag, ... :)) --[[Benutzer:112358|112358]] 09:47, 8. Jun. 2012 (CEST) 
 
Der Termin Montags war besser. Mittwochs findet die Algebra 1 Übung statt, die manche als mdl Thema wählen werden.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:47, 8. Jun. 2012 (CEST) ERGÄNZUNG: Da vermutlich niemand mehr im Praktikum sein wird und es Mittwochs weniger Platzprobleme gibt, wie wäre es Mittwochs von 12-14 Uhr? --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:50, 8. Jun. 2012 (CEST) 
Wir sollten langsam in die Gänge kommen, was die Planung der Prüfungsvorbereitung angeht. Mein Vorschlag: Montag 12 bis 14 Uhr A236. Erste Veranstaltung: 11.06.2012--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:22, 10. Mai 2012 (CEST) 
 
Hört sich nicht schlecht an - Problem: Parallel zu diesem Zeitpunkt findet die Zahlentheorieübung statt, die der eine und die andere besucht. Vielleicht kann der Zeitpunkt getauscht werden (z. B. 14-16 Uhr) - natürlich ist das immer schwierig (wer weiß wie viele da nicht können), aber wir haben ja noch Zeit bis zum 11.06.2012 uns "Lösungsstrategien" für dieses Problem zu überlegen :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:11, 10. Mai 2012 (CEST)

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| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

|}
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[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe11)

2011-05-10T17:17:06Z

Flo 21:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, so sind sie supplementär. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
 a) Wenn zwei Winkel nicht Nebenwinkel sind, so sind sie nicht supplementär. 
b) Es gibt zwei Winkel, die Nebenwinkel sind und nicht supplementär zueinander sind.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:44, 5. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Wenn zwei Winkel nicht supplementär sind, dann sind sie keine Nebenwinkel.

b) Die Winkel sind nicht suplämenter. --[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:22, 6. Mai 2011 (CEST)

 a)In diesem Fall würde ich in a) Engel81 zustimmen da bei einer Kontraposition aus "nicht B" "nicht A" folgt. Anstelle von: aus A folgt B. und in b) Flo 21. Das hätte ich genauso formuliert.

Die Lösung der Aufgabe a) von Engel81 erscheint mir völlig richtig und die Annahme von Flo21 in Aufgabe b) ist meiner Meinung nach auch korrekt. 
Was hat Flo21 in seiner Lösung von Aufgabe a) beschrieben?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:15, 10. Mai 2011 (CEST)

Ich würde sagen die Antwort a)von Flo ist noch einmal die Implikation nur halt beides verneint.
Die b)von Engel81 ist unvollständig oder? Es fehlt der Teil mit den Nebenwinkeln. Ich würde hinschreiben: Es gibt Nebenwinkel die nicht Supplementär sind. --[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 17:53, 10. Mai 2011 (CEST)

Ich habe nochmals eine Implikation geschriebn und dies ist falsch, da die Kontraposition gefragr war, so wie sie von Engel81, m.E., richtig formuliert wurde. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:17, 10. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.1 (SoSe11)

2011-05-10T16:59:40Z

Flo 21:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 
 a) Sind die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander, dann handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:24, 5. Mai 2011 (CEST) 
kann man schon von Basiswinkel sprechen, wenn das gleichschenklige Dreieck an dieser Stelle noch nicht definiert ist - was meinen Sie?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:25, 10. Mai 2011 (CEST)
 Ich denke, dass ich die Begriffe nicht verwenden darf, sofern wir nun an dem Punkt angelangt sind, dass ich keinerlei Kenntnisse mehr aus der Schulgeometrie habe. Sind wir noch nicht an diesem Punkt, dann denke ich, dass ich das darf. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 18:59, 10. Mai 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel kongruent zueinander sind, so ist das Dreieck gleichschenklig

b) In einem Dreieck sind zwei Innenwinkel genau dann kongruent zueinander, wenn das Dreieck gleichschenklig ist .....
stimmt das ?--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:31, 6. Mai 2011 (CEST) 
<
b) In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich groß und die Basiswinkel kongruent. --[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 23:25, 9. Mai 2011 (CEST)
ein Kriterium und eine Definition sind zwei verschiedene Dinge. Fledermaus - unterscheidet sich ihr Vorschlag von einer (informellen) Definition?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:33, 10. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-08T18:15:32Z

Flo 21:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) 
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-08T17:55:52Z

Flo 21:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math>
|}

somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet ||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST)
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.3 (SoSe11)

2011-05-08T17:50:45Z

Flo 21:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Antwort: 
a) Wenn zwei Geraden höchstens einen gemeinsamen Punkt haben, sind sie nicht identisch. 
b) Annahme: Es gibt Geraden, die nicht identisch sind und dennoch mehr als einen gemeinsamen Punkt haben. 
--[[Benutzer:Bubble|Bubble]] 13:46, 5. Mai 2011 (CEST)

 a) Wenn zwei Geraden g und h identisch sind, dann haben sie mindestens einen Punkt gemeinsam. 
b) Es gibt zwei Geraden, die nicht identisch sind und mehr als einen Punkt gemeinsam haben. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:42, 5. Mai 2011 (CEST) 
Was ist nun bei a) richtig, oder stimmen beide Antworten? Wie wird der Begriff "Kontraposition" verstanden bzw. wie ist er definiert?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:32, 6. Mai 2011 (CEST) An den lieben Tutor: Treffe doch bitte die Aussage, ob jmd recht hat oder nicht und verbessere gegebenenfalls. Deine Antworten sind max. bedingt hilfreich. So bringt mich das WIKI nicht weiter, es behindert mich. Schließlich merkt man sich so evtl falsche Sachen. Danke. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:50, 8. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] 
Ich würde mich Flo21 anschließen. Die Antwort von Bubble ist die Umkehrung und nicht die Kontraposition. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:08, 8. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-05-08T17:47:48Z

Flo 21:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \cong \beta </math>
#<math>\alpha \cong \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\alpha \not\cong \beta \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \cong \beta </math>

 a) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei entstehen die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta </math>. Diese Winkel sind kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel zueinander sind.

 b) Version 1 und 2 können als "genau dann wenn" Aussage zusammengefasst werden
beI 3. fehlt, dass in diesem Fall die Geraden nicht parallel sein dürfen
4. stellt die Kombination aus 1 und 2 dar--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:33, 5. Mai 2011 (CEST) 
Bei welcher Aussage handelt es sich denn um den Stufelwinkelsatz? Ist eine der Aussagen eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:20, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] Liest man die Aufgabe, dann werden auch die Antworten klar!--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:47, 8. Mai 2011 (CEST)

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an zwei geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:36, 6. Mai 2011 (CEST) 
 
b) 1. ist der Stufenwinkelsatz, 2. die Umkehrung und 4. die Zusammenfassung--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:01, 8. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe11)

2011-05-05T13:50:13Z

Flo 21:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 
'''Lösung:''' Es handelt sich hierbei um keine korrekte Definition. Bei einem Drachen halbieren sich auch die Diagonalen aber nicht jeder Drachen ist ein Parallelogramm.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
An dieser Stelle sollte man sich noch einmal einen Drachen anschauen. Bei einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, aber nur eine Diagonale halbiert die jeweils andere Diagonale <math>\Rightarrow</math> sie halbieren sich nicht zwangsläufig gegenseitig. Wenn sich bei einem Drachen die Diagonalen gegenseitig halbieren, dann handelt es sich um eine Raute und Rauten sind auch Parallelogramme. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:08, 21. Apr. 2011 (CEST) 
Genau, korrekte Konventionaldefintion also! --[[Benutzer:Nitnelav12|Nitnelav12]] 16:09, 27. Apr. 2011 (CEST)

2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm. 
'''Lösung:'''Müsste eine korrekte Konventionaldefinition sein?[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Es handelt sich um eine korrekte Konventionaldefinition: Definiert wurde ein Raute und eine Raute ist auch ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) Dies ist keine korrekte Definition, da nur ein Spezialfall des Parallelogramms definiert wird (Raute)--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:19, 27. Apr. 2011 (CEST) 
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Definition. Der Begriff Parallelogramm wird nicht eindeutig abgegrenzt.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Es ist ein Satz --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) 
Dies ist keine Definition, sondern eine Existenzaussage. --[[Benutzer:matthias|matthias]] 12:34, 27. Apr. 2011 (CEST) 
Ich stimme Matthias zu! keine Defintion,weil Existenzaussage.--[[Benutzer:Nitnelav12|Nitnelav12]] 16:09, 27. Apr. 2011 (CEST)

4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Realdefinition.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
<ggb_applet width="482" height="212" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAB1ZlT4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VjNcts2ED43T4FhZ3ITxR9JkSaSM5bcg2ecpDNyc+ilA5KwhJokGAC0JT9B+xg99MXyJN0FSIkUW7dy0nEUXSgsoMXi+779wNH0zSZLyR2Tiot85viu5xCWxyLh+WrmlPqmN3benL2YrphYsUhSciNkRvXMCd3AwXjJz158N1VrcU9oapZ84Ox+5tzQVDGHqEIymqg1Y7oVp+WGp5zK7fvoVxZrtZ+wSS7zooRdtCwhFmfJFVf1sG82LFKuL/gdT5gkqYhnzmgIpcO3D0xqHtN05gw8GwlmTnAwCaEQZ9dC8geRa1y+T34DEUIUf2CASICxad8cdMrKOOUJpzkextQBiwi554lew4bjAFIyvlpDrYHv2WyxEDJZbpVmGdn8zKSApOMRAr2tRxMcKagLNhx6Zqo5MmnY3ZJpDbQoQjdsD9hK8qQ1uFRzke5DheC5XtBCl9JwGlahpd7iBrCXxILP81XKqpgPkK9ZfBuJzdKCENrU19vC/MQUFK0WIhWSSIR3CAuqZ2SfZg1WulvlmTWeWVHlwKS7eX8SmBXmGdmnWZXy3JZWndyvT11DTDdcEQwgjCDF3eFTGjGg1iFlzvVVPQAJ3O6Pij94V2YR9EBTBLuc/pfKOe0fyGd6y2TOUiuSHLgtRanIHYrR7mUKSVjMMxjaiQoSinT9BAXYaMJWktWF2w6ygJnZlhAPwtN+XQTWoKDWWIMVwHk0ngU7VUOX4LeEaoxgG6QsY9Aj2ujByGmHy7mzMwRhervu4mp+jzBM/602jIpoWqwpRGr5p3QLnd48jsn3ViTtQ9IcwDIngIYrMAHSUTBmmdSVgkkBCU0/NJA2ACmymTk9sLcBdCH+Hp4P1hnNIts82PZm27Bi1iLyL9jMvwVsQncUPA2aWGQZzROS0ww2WrIVxg0kHO2eUA/lQ6iPSFkYSl1PUJutytEBWlXZaiip03YOvYYGzZlS2EK7o/Y/lw/v6WzsEbWOD1eYOx4ZRHuB+2oA19f+8+rQCR85D/uY2zXK+hHP4LKMud5BmiK7l7kGd2Km27umc8tYgW7/Pr+WNFd469s1DTP7T5JffAuSD9yhlXzgTj5H8ldA34HeF1bvtKP36Bf/ccWjFnYw4uqnCb59qz2b4v2JO540Jd+5+5+o+GMNaG4JWXQJOc6AohMyIPCboeGj52N/AB8TdzCeND7jr9l/uk0255hZyANuu12WHNVlyWl1Wc+217bqN+NboReGDV6/1L3yz3S85VJ2iKhcr0K/xcjF43y0b5eL571dWh3kN3FFZKsLw2t9/odXpgsL5nlX3Mc5VnJCjgWG1cG18q92fGjwHrvD1utUeDp29ijn3VsqPo7z+IQ4H7jwTjyeBN5kDOSPgtEPPd/a28Ad1a8RoTv0B18zu2xTSKgEX0kr+K7ZRsOtCxMz5+XHUujXEfn0+x8kIS+/973X53Py6bc/yeLCzpl8bVI1JHDa2Z6RMKWp1D+irxHLmt9qPb/yxWHLCZsI9Zt/RJj/3qo/H8/+AlBLBwhyUhyMcgQAAK4UAABQSwECFAAUAAgACAAdWZU+clIcjHIEAACuFAAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAKwEAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Mal wieder eine Abbildung zum Verdeutlichen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:17, 21. Apr. 2011 (CEST)
 Es handelt sich um keine korrekte Definition, da mit den beiden kongruenten Seiten nicht zwangsläufig ein Parallelogramm definiert wurde. Wie die Abbildung zeigt, kann es sich auch um ein gleichschenkliges Trapez handeln. Und ein Trapez ist kein Parallelogramm, umgekehrt hingegen schon. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:15, 27. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-05T13:46:13Z

Flo 21:

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-05T13:30:58Z

Flo 21:

Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe11)

2011-05-05T12:44:39Z

Flo 21:

Lösung von Aufgabe 5.3 (SoSe11)

2011-05-05T12:42:02Z

Flo 21:

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-05-05T12:33:59Z

Flo 21:

Lösung von Aufgabe 5.1 (SoSe11)

2011-05-05T12:24:38Z

Flo 21:

Definition der Woche 4 (SoSe 11)

2011-04-26T22:25:05Z

Flo 21:

Scherenwagenheber beruhen auf einer besonderen Eigenschaft von Rauten. Sie müssten allerdings nicht zwangsläufig auf der Form einer Raute beruhen. Definieren Sie den Begriff ''Wagenheberviereck''.
 Bei einem Wagenheberviereck handelt es sich um ein Viereck, bei dem eine gleichmäßige Lastverteilung auf alle vier Seiten gegeben ist. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:25, 27. Apr. 2011 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe11)

2011-04-26T22:15:20Z

Flo 21:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 
'''Lösung:''' Es handelt sich hierbei um keine korrekte Definition. Bei einem Drachen halbieren sich auch die Diagonalen aber nicht jeder Drachen ist ein Parallelogramm.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
An dieser Stelle sollte man sich noch einmal einen Drachen anschauen. Bei einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, aber nur eine Diagonale halbiert die jeweils andere Diagonale <math>\Rightarrow</math> sie halbieren sich nicht zwangsläufig gegenseitig. Wenn sich bei einem Drachen die Diagonalen gegenseitig halbieren, dann handelt es sich um eine Raute und Rauten sind auch Parallelogramme. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:08, 21. Apr. 2011 (CEST) 
2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm. 
'''Lösung:'''Müsste eine korrekte Konventionaldefinition sein?[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Es handelt sich um eine korrekte Konventionaldefinition: Definiert wurde ein Raute und eine Raute ist auch ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) 
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Definition. Der Begriff Parallelogramm wird nicht eindeutig abgegrenzt.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Korrekte Definition, da Trapeze bereits ein Paar paralleler Seiten hat und kommt ein weiteres Paar hinzu, dann ist es ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) 
4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Realdefinition.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
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Mal wieder eine Abbildung zum Verdeutlichen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:17, 21. Apr. 2011 (CEST)
 Es handelt sich um keine korrekte Definition, da mit den beiden kongruenten Seiten nicht zwangsläufig ein Parallelogramm definiert wurde. Wie die Abbildung zeigt, kann es sich auch um ein gleichschenkliges Trapez handeln. Und ein Trapez ist kein Parallelogramm, umgekehrt hingegen schon. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:15, 27. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe11)

2011-04-21T10:23:23Z

Flo 21:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 
'''Lösung:''' Es handelt sich hierbei um keine korrekte Definition. Bei einem Drachen halbieren sich auch die Diagonalen aber nicht jeder Drachen ist ein Parallelogramm.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
An dieser Stelle sollte man sich noch einmal einen Drachen anschauen. Bei einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, aber nur eine Diagonale halbiert die jeweils andere Diagonale <math>\Rightarrow</math> sie halbieren sich nicht zwangsläufig gegenseitig. Wenn sich bei einem Drachen die Diagonalen gegenseitig halbieren, dann handelt es sich um eine Raute und Rauten sind auch Parallelogramme. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:08, 21. Apr. 2011 (CEST) 
2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm. 
'''Lösung:'''Müsste eine korrekte Konventionaldefinition sein?[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Es handelt sich um eine korrekte Konventionaldefinition: Definiert wurde ein Raute und eine Raute ist auch ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST)
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Definition. Der Begriff Parallelogramm wird nicht eindeutig abgegrenzt.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Krrekte Definition, da Trapeze bereits ein Paar paralleler Seiten hat und kommt ein weiteres Paar hinzu, dann ist es ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST)
4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Realdefinition.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
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Mal wieder eine Abbildung zum Verdeutlichen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:17, 21. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.6 (SoSe 11)

2011-04-18T17:39:17Z

Flo 21:

Peter möchte den Begriff Tangentendreieck definieren. Kommentieren Sie dieses Unterfangen. 

Jedes Dreieck ist ein Tangentendreieck.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:39, 18. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.5 (SoSe 11)

2011-04-18T17:38:27Z

Flo 21:

Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren. 
 
Nicht jeder Viereck ist ein Tangentenviereck, da es z.B. Rechtecke derart gibt, dass Seite a sehr lang und Seite b sehr kurz ist.
 
______________________________________________________
|______________________________________________________| Seite b

--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:38, 18. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 11)

2011-04-18T17:31:13Z

Flo 21:

Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck dessen Seiten einen Kreis berühren. Oder: Jedes Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. Jeder Punkt des Kreises liegt dabei im Inneren des Vierecks wobei das Inneren definiert sein soll als die Schnittmenge aller Ebenen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:31, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-18T09:17:05Z

Flo 21:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.1 (SoSe 11)

2011-04-18T09:12:03Z

Flo 21:

Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
 Wenn jeder Punkt einer Geraden zu den Endpunkten einer jeweils Strecke ein und denselben Abstand hat, dann ist die Gerade eine Mittelsenkrechte.
 Wenn es eine Gerade gibt, die durch den Mittelpunkt einer Strecke geht und senkrecht auf ihr steht, dann ist die Gerade eine Mittelsenkrechte. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:12, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T20:54:55Z

Flo 21: /* Definition: Trapez */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

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==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:54, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) statt 4 rechten Innenwinkeln nur 3 verwenden. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:52, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)
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Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T20:52:40Z

Flo 21: /* Definition: Rechteck */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAKyeWD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vjfb9s2EH5e/wpCr1tskdQvA3aKLF2BAt1iwF0fNuyBlmibi0RpFJXI+et3JCVbthMvabqHFn6QfTwd777v7nj09G1b5OiOq1qUcubhke8hLtMyE3I98xq9uki8t5dvpmtervlSMbQqVcH0zKMj4hl5Iy7f/DCtN+U9YrlV+Sz4/czTquEeqivFWVZvONdOvGJ5DXLWtCIXTG1vln/zVNf7BWfjg6wa3RtJi+yjqPufY7tflQv9TtyJjCuUl+nMi0LwHL595kqLlOUzL/CdhEBYYXCwCCJqVjelEg+l1EZ9b3wFEoRq8cDhTWJk07GNc8qbNBeZYNIEY/0AJYTuRaY3My+mBExysd6AryH2nbW0LFW22NaaF6j9g6sSjMZ4RClJKAnCKJ5MgtBD236JjIKQxpMA00kcwDqACB6DKzQehVEYQ1hB6MdJMoGXnlyyW/O7BdcamKwRa3nd47lWItsBbn58qH8u872oKoXU16zSjbJZQDvRQm/NZoCbMjFeyXXOOxkEnm54erss24XDjTrTn7aVfcX6s1xfl3mpkIIXQoh53T2X7ml1jKM7Ld/q+Fajs2GM7tbxhFgN+1y6p9XKhXSudYHjPuqeFdaKGhkBGDfJ22OTsyWHZPBQI4X+2P+ApLntIsVO/7emWELRDNNmZxJ/JZPT8VG+TW+5kjx3WSWB2KZsanRnstdRZ/3IeCoK+OkWOkCYIet3cMBJM75WvPfblZyDy64eZO6ReDrunTA+1OBrqqF1QDzaxGJKW0NZzbxFupFCpRsPZUybFVM/OS84FJe2WWGTaofPe+ztOklpu8IRgHukYfnRFLHJxPJqw0Ay6qLI2RZ6xDAua+/XMjuMlklAzYYCpVoZA4aXinPHqO4SGVVg0JbFAHKLVI3amXdBTQfduv3Rg+uoVseVkOkXdlfaMewQ+S9syPeAzf8CzfX3gMwF7ItJvP/gICEWKzKKwmDwocHLoEvLomAyQ5IV4MgveS4q2N68KcwRi5hvKw8xbLMMMWIgdXg1utdIndnO2Akj0AhEukM89Q47sN5Aq5O8ru1JoocHwgFt3elzwhtYz4SDGNRvOu0nSQ3x61l9lvNw0HN5B86Uqkao9bvpaev3Gd5LWuwYhjXciR7wgENIICVadGX0MRnFQTQhMBrACBCbyeAKm2iiQzmIgakLnPiTEcEB9imGgSKhCSzQzoGroN/3Kuy+Ocf/kS642p0/ooBpKhX6fO7MbdkdZk56kinz85lyWLvzL6pdTNzoYJ+vZVorlnaSwUn+dYoaj+IIBzCS4TgOMIkI7UqaJgGOgsRPMAx4FL+mohd8beRPVPT8hB92np+6M9czwJ6uZXKulp9BYz8BuiZsqvZLORxA/gi2W4MtoUk4CaGpkjCJaRxbyC/iEQ5NPQUkCCgNJ/RM9R+He66ILOK5SY0PUsNIx+2IdDqp3XJemQH5Rn5STNbmanWYii/lfb5r5Me8L1/G+/Lb4v1x2oPj+vsGWect3KBrcznvUc3ggt5CU3oHV2ImU/7ne/wTmv+FfkR7CTESD41PeJZNwdXgrM4sz7B700GbwCCCo4jgGC6hEQnw+dnJH7CHz49ty7LMOZO7rfnx1gOIXjPO+c9OqJvVquba5g9x0xYlZ/MNrsSGCCvrR6mjmMfDS5H946D74+TyX1BLBwj/in845AQAAGoRAABQSwECFAAUAAgACACsnlg9/4p/OOQEAABqEQAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAB4FAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) statt 4 rechten Innenwinkeln nur 3 verwenden. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:52, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)
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Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T20:51:18Z

Flo 21: /* Definition: Raute */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)
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Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T20:49:36Z

Flo 21: /* Definition: Drachen */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 11)

2011-04-13T20:44:32Z

Flo 21:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt: 
Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat 
 
Ein Viereck ist eine geometrische Figur mit genau 4 Ecken.--[[Benutzer:Mathefix|Mathefix]] 11:55, 12. Apr. 2011 (CEST)
 
Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4. 
 
Ein Trapez ist ein Viereck mit einem paar paralleler Seiten. 

<s>Ein Rechteck hat 4 rechte Innenwinkel</s>. Ein Viereck mit drei rechten Innenwinkeln heißt Rechteck.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Viereck mit min. vier (drei) rechten Winkeln - das oben müsste eine logische Aussage sein Bitte Signatur angeben--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und einen rechten Winkel. 
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. 
Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:38, 13. Apr. 2011 (CEST) - muss hier explizit angegeben werden, dass beide Seitenpaare parallel sein müssen? reicht nicht zu sagen: "...Viereck mit '''mindestens''' zwei parallelen Seiten"? Eine Bitte an Person xyz: Setze deine Signatur dahinter, danke. Zu deiner Frage: Wenn du nur von min 2 parallelen Seiten sprichst, dann kann es auch sein, dass du ein Trapez beschreibst, das noch weitere Parallelen hat. Ich versuche es zu skizzieren:

------------------------ <-- Parallelen
| | das gesamte "Bild" soll ein Trapez sein
|----------------------------|
|-------------------------------|
__________________________________

--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:37, 13. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 11)

2011-04-13T20:37:51Z

Flo 21:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt: 
Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat 
 
Ein Viereck ist eine geometrische Figur mit genau 4 Ecken.--[[Benutzer:Mathefix|Mathefix]] 11:55, 12. Apr. 2011 (CEST)
 
Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4. 
 
Ein Trapez ist ein Viereck mit einem paar paralleler Seiten. 
Ein Rechteck hat 4 rechte Innenwinkel. 
Ein Rechteck ist ein Viereck mit min. vier (drei) rechten Winkeln - das oben müsste eine logische Aussage sein 
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und einen rechten Winkel. 
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und eine die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. 
Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten, indem sich die Diagonalen halbieren. 
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:38, 13. Apr. 2011 (CEST) - muss hier explizit angegeben werden, dass beide Seitenpaare parallel sein müssen? reicht nicht zu sagen: "...Viereck mit '''mindestens''' zwei parallelen Seiten"? Eine Bitte an Person xyz: Setze deine Signatur dahinter, danke. Zu deiner Frage: Wenn du nur von min 2 parallelen Seiten sprichst, dann kann es auch sein, dass du ein Trapez beschreibst, das noch weitere Parallelen hat. Ich versuche es zu skizzieren:

------------------------ <-- Parallelen
| | das gesamte "Bild" soll ein Trapez sein
|----------------------------|
|-------------------------------|
__________________________________

--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:37, 13. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 11)

2011-04-13T20:31:31Z

Flo 21:

In welchen Fällen handelt es sich um Definitionen? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# <math>\ n!=(n-1)! \cdot n </math>, falls <math>\ n > 0 </math> <math>\ n!=1 </math>, falls <math>\ n=0 </math> 
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Jedes Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Jedes Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Punkt vor Strich.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Ein Quadrat ist ein Rechteck.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.
 

1. ist eine Definition ( n-Eck ist der Oberbegriff-muss bekannt sein, Merkmal n= 4); 
2. Definition ( Fakultät); 
3. keine Definition, kann man beweisen; 
4. Definition; 
5. Definition ( gibt es Dreicksschneidende?) Anmerkung: Muss eine Definition immer sinnvoll sein, bzw. muss es etwas auch wirklich geben, wenn man es definiert? Was dies betrifft, sollte man sich auch 4. noch einmal genauer anschauen.--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:44, 12. Apr. 2011 (CEST) ; 
6. keine Definition - Aussage ?; es ist ein Satz--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
7. falsch - auch ein 5- Eck hat vier Ecken--[[Benutzer:Mathefix|Mathefix]] 11:59, 12. Apr. 2011 (CEST) es ist eine Def., aber eine unsinnige: Bei Def. gibt es kein richtig/falsch, sondern nur sinnvoll oder eben nicht sinnvoll --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST) 
8. Def. 
9. Existenzaussage --> Satz 
10. keine Def. 
11. Satz des Thales 
12. Def. aber man muss noch klären was kongruent und Nebenwinkel bedeuten 
13. Def. 
14. intuitive Def. 
15. genetische Def. (Konstruktionsvorschrift) 
16. Def. der Mittelsenkrechten 
17. Def--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST) 
18. Aussage - wobei: "Wenn ein Viereck vier rechte Innenwinkel hat, dann ist es ein Rechteck" müsste eine Definition sein, oder gehe ich fehl? mathematisch ist es keine korrekte Def., da der Oberbegriff Viereck fehlt --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:31, 13. Apr. 2011 (CEST) 

19. Aussage 
20. Aussage 
21. Definition

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-12T22:48:45Z

Flo 21: /* Definition: gleichschenkliges Trapez */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren ... .
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.
 
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-12T22:45:45Z

Flo 21: /* Definition: Rechteck */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren ... .
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
...
====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
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Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.
 
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-12T22:45:00Z

Flo 21: /* Definition: Raute */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren ... .
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
...
====Definition: Rechteck====
...
====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.
 
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-12T22:44:07Z

Flo 21: /* Definition: Drachen */

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-12T22:43:05Z

Flo 21: /* Definition: Quadrat */

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-12T22:42:51Z

Flo 21: /* Definition: Quadrat */

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-12T22:42:00Z

Flo 21: /* Definition: Parallelogramm */

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 11)

2011-04-12T22:38:37Z

Flo 21:

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 11)

2011-04-12T22:31:22Z

Flo 21:

In welchen Fällen handelt es sich um Definitionen? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# <math>\ n!=(n-1)! \cdot n </math>, falls <math>\ n > 0 </math> <math>\ n!=1 </math>, falls <math>\ n=0 </math> 
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Jedes Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Jedes Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Punkt vor Strich.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Ein Quadrat ist ein Rechteck.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.
 

1. ist eine Definition ( n-Eck ist der Oberbegriff-muss bekannt sein, Merkmal n= 4); 
2. Definition ( Fakultät); 
3. keine Definition, kann man beweisen; 
4. Definition; 
5. Definition ( gibt es Dreicksschneidende?) Anmerkung: Muss eine Definition immer sinnvoll sein, bzw. muss es etwas auch wirklich geben, wenn man es definiert? Was dies betrifft, sollte man sich auch 4. noch einmal genauer anschauen.--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:44, 12. Apr. 2011 (CEST) ; 
6. keine Definition - Aussage ?; es ist ein Satz--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
7. falsch - auch ein 5- Eck hat vier Ecken--[[Benutzer:Mathefix|Mathefix]] 11:59, 12. Apr. 2011 (CEST) es ist eine Def., aber eine unsinnige: Bei Def. gibt es kein richtig/falsch, sondern nur sinnvoll oder eben nicht sinnvoll --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
8. Def. 
9. Existenzaussage --> Satz 
10. keine Def. 
11. Satz des Thales 
12. Def. aber man muss noch klären was kongruent und Nebenwinkel bedeuten 
13. Def. 
14. intuitive Def. 
15. genetische Def. (Konstruktionsvorschrift) 
16. Def. der Mittelsenkrechten 
17. Def. 
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.3 (SoSe 11)

2011-04-12T22:12:54Z

Flo 21:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt:
Jedes Rechteck ist ein ...
Mit folgenden Auswahlantworten: Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm
Nehmen Sie Stellung!

leider gibt es hier 2 richtige Antworten: Trapez und Parallelogramm.

Ein Trapez wird unter anderem dadurch definier, dass es sich um (min) ein paar paralleler Seiten handelt. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:12, 13. Apr. 2011 (CEST)

Quiz der Woche 12 WS

2011-01-22T17:39:19Z

Flo 21:

<quiz>
{Ein Student führt indirekte Beweise in der '''absoluten''' Geometrie. Dabei verwendet er die nachfolgenden Formulierungen. Kennzeichnen Sie die Aussagen, aus denen eindeutig geschlussfolgert werden kann, dass der jeweils geführte Beweis nicht korrekt ist.}
+ Widerspruch dazu, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180 beträgt, die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung damit bewiesen.
|| Ja, hier haben wir die absolute Geometrie durch Verwendung des Innenwinkelsatzes bereits verlassen.
+ Widerspruch zur Behauptung, die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung deshalb bewiesen.
|| Ja was jetzt? Widerspruch zur Behauptung oder Behauptung bewiesen? Beides kann nicht funktionieren.
- Widerspruch zum schwachen Außenwinkelsatz, die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung deshalb bewiesen.
|| So eine Beweisführung kann in der absoluten Geometrie funktionieren, der Beweis könnte also richtig sein.
- ...Widerspruch...
|| Auch dieser Beweis könnte stimmen. Man kann zumindest nicht eindeutig schlussfolgern, dass er falsch sei.

{ Welche der folgenden Aussagen lassen sich nicht mit Mitteln der absoluten Geometrie beweisen? }
- Zu jeder Geraden <math>\ g </math> und zu jedem nicht auf <math>\ g </math> liegenden Punkt <math>\ P </math> gibt es eine Gerade, die durch <math>\ P </math> verläuft und zu <math>\ g </math> parallel ist.
|| es handelt sich hier um den Satz über die Existenz von Parallelen, der in der absoluten Geometrie bewiesen werden kann.
+ Zu jeder Geraden <math>\ g </math> und zu jedem nicht auf <math>\ g </math> liegenden Punkt <math>\ P </math> gibt es genau eine Gerade, die durch <math>\ P </math> verläuft und zu <math>\ g </math> parallel ist.
|| richtig, in dieser Aussage steckt die Eindeutigkeit einer Parallelen mit drin. Das ist in der absoluten Geometrie nicht mehr zu beweisen.
+ Zu jeder Geraden <math>\ g </math> und zu jedem nicht auf <math>\ g </math> liegenden Punkt <math>\ P </math> gibt es höchstens eine Gerade, die durch <math>\ P </math> verläuft und zu <math>\ g </math> parallel ist.
|| So, jetzt haben wir es mit dem Parallelenaxiom zu tun. Das ist bekanntlich überhaupt nicht beweisbar und in der Euklidischen Geometrie angesiedelt.
- Freie Schenkel an kongruenten Wechselwinkel sind parallel.
|| Ja super, hier handelt es sich um die Formulierung der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes und der ist in der absoluten Geometrie beweisbar.
+ Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
|| Für den Beweis des Wechselwinkelsatzes, der hier formuliert wurde, bedarf es des Parallelenaxioms und das gehört in die Euklidische Geometrie.

</quiz>

Bei der Frage mit den Parallen: Warum ist die 1. Aussage falsch und die 2. richtig? Worin unterscheiden sich diese Aussagen? --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 17:39, 22. Jan. 2011 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2011-01-16T18:20:31Z

Flo 21:

Hallo,

kann mir einer von euch sagen, wie genau das mit dem Hochladen von Bildern funktioniert? Hab mein Bild zwar irgendwie hochgeladen, aber irgendwie ist es nicht da, wo es sein soll...

Liebe Grüße
Verteidigungswolf

-hust- Das Wort "Hochladen" im Menue links "Werkzeuge" zwischen "Änderungen an verlinkten Seiten" und "Spezialseiten"

ja soweit hatte ich das auch...und wie bekomm ich das Bild dann dahin wo ich es haben will?? 
Schauen Sie mal hier nach: [[Bilder_einbinden|Bilder_einbinden]]--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:53, 10. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Hallo,

ich weiß jetzt nicht wer die Axiome, Definitionen und Sätze ergänzt, da dies wohl von Studierenden gemacht wird. Falls diese Studierenden alle korrekten Axiome, Definitionen und Sätze haben, wäre es nett, wenn diese komplett ergänzt werden könnte. Man kann zwar die "Sachen" sich selbst in den Skripten zusammen suchen, aber dort sind nicht alle korrekt und vor allem sind sie nicht vollständig, denn es kommen jede Woche welche hinzu.
Oder gibt es die HP vom SS10 noch, sodass man sich die ganzen Sachen komplett mal ausdrucken kann?

Vielen Dank.

lg
Flo21--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 18:20, 16. Jan. 2011 (UTC)

Diskussion:Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

2010-11-17T22:30:03Z

Flo 21:

ich habe eben die Aufgabe im Quiz gelöst. Allerdings verstehe ich nicht, warum

75 in Relation zu -61, -17, -13 und -9 steht.

Genauso sieht es bei

17 in Relation zu -83, -55, -15, -15 und -35 aus.

Kann mir das bitte jemand erklären?

danke--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 17:32, 14. Nov. 2010 (UTC)

Vielleicht hilft das?

<ggb_applet width="601" height="329" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:08, 16. Nov. 2010 (UTC)

 Ja, das hilft mir schon, danke.
Aber warum ist der Rest positiv und warum muss ich dann weiter ins Negative gehen um den richtigen Rest zu erhalten? --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:30, 17. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Diskussion:Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

2010-11-14T17:32:43Z

Flo 21: Die Seite wurde neu angelegt: ich habe eben die Aufgabe im Quiz gelöst. Allerdings verstehe ich nicht, warum 75 in Relation zu -61, -17, -13 und -9 steht. Genauso sieht es bei 17 in Relation z...

Drehungen 2010

2010-11-11T10:57:02Z

Flo 21: /* Definition verstanden? */

== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==

<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Konstruktionsbeschreibung ==
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.

Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann <math> \ P \equiv P'</math>

Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
|-

| (I)
| Konstruktion des Strahls <math>ZQ+</math> an den Strahl <math>ZP+</math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für <PZP’erhalten bleibt.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (II)
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>ZQ+</math> an Z ab und nenne den Punkt P’ab.
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

|-
| (III)
| ...
| ...
|}

== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:
# ...
# ...
==== Definition verstanden?====
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" ggbBase64="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" 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<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math>
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, R, W, B_1</math> liegen.
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
+ (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
</quiz>

Lösung von Aufgabe 3.6

2010-10-26T18:17:37Z

Flo 21: Die Seite wurde neu angelegt: <math>\ M\times{M}</math> ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} --~~~~

<math>\ M\times{M}</math> ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} 
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 18:17, 26. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 3

2010-10-26T16:11:01Z

Flo 21: /* Aufgabe 3.1 */

=Aufgaben zu Definitionen, Sätze und erste Beweise=
==Aufgabe 3.1==
Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition? 
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks. 
Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz. 
[[Lösung von Aufgabe 3.1]]

 
Hierbei handelt es sich um einen Satz. Der Unterschied zw. Satz und Definition: Ein Satz lässt sich beweisen, er kann wahr oder falsch sein, bei einer Definition ist dies nicht der Fall. Eine Definition ist höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 16:11, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 3.2==
In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
# Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
# Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
# Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
# Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
[[Lösung von Aufgabe 3.2]]

==Aufgabe 3.3==
Wir gehen von folgender Definition aus: 
Eine Winkelhalbierende eines Winkels <math>\angle (p,q)</math> ist ein Strahl ''l'', der im Inneren des Winkels <math>\angle (p,q)</math> liegt, den Scheitel des Winkels <math>\angle (p,q)</math> als Anfangspunkt besitzt und diesen Winkel in zwei gleich große Winkel <math>\angle (p,l)</math> und <math>\angle (l,q)</math> unterteilt. 
Außerdem sei folgende genetische Definition gegeben: 
*Gegeben sei ein Winkel <math>\angle (p,q)</math>.
*Man konstruiere auf den beiden Schenkeln des Winkels <math>\angle (p,q)</math> zwei Punkte ''P'' und ''Q'', die vom Scheitel ''S'' des Winkels <math>\angle (p,q)</math> gleich weit entfernt sind.
*Man konstruiere die Strecke <math>\overline{PQ}</math>.
*Man konstruiere den Mittelpunkt ''M'' der Strecke <math>\overline{PQ}</math>.
*Man konstruiere den Strahl ''w'' mit dem Anfangspunkt ''S'', der durch den Punkt ''M'' verläuft.
*Dieser Strahl ''w'' ist die Winkelhalbierende. 
Beweisen Sie, dass durch diese Konstruktionsvorschrift tatsächlich die Winkelhalbierende entsprechend der angegebenen Definition entsteht. 
[[Lösung von Aufgabe 3.3]]

==Aufgabe 3.4==
Beweisen Sie auf der Grundlage der Definition aus Aufgabe 3.3: 
Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Menge aller Punkte, die im Inneren des Winkels liegen und deren Abstände von den beiden Schenkeln des Winkels jeweils gleich sind. 
'''Anmerkung:'''
*Der Abstand eines Punktes ''P'' auf eine Gerade ''g'' ist die Länge des Lotes von ''P'' auf ''g''.
*Der Beweis geht in zwei Schritten: Sie müssen erstens zeigen, dass jeder Punkt der Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und zweitens, dass jeder Punkt, der von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und im Inneren des Winkels liegt, zur Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) gehört.
*Die Beweise lassen sich mit Hilfe der Kongruenzsätze führen, die Sie aus der Schule bereits kennen sollten.
[[Lösung von Aufgabe 3.4]]

==Aufgabe 3.5==
Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert: 
Die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Gerade ''g'', die durch den Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> verläuft und zu dieser Strecke <math>\overline{AB}</math> senkrecht steht. 
Beweisen Sie folgenden Satz: 
Die Mittelsenkrechte ''m'' einer beliebigen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Menge aller Punkte ''P'', die von ''A'' und ''B'' denselben Abstand haben: 
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4). 
[[Lösung von Aufgabe 3.5]]

==Aufgabe 3.6==
Geben Sie das kartesische Produkt <math>\ M\times{M}</math> der Menge <math>\ M\ = \lbrace {1,2,3} \rbrace</math> an. 
[[Lösung von Aufgabe 3.6]]

Übung Aufgaben 2

2010-10-24T16:14:04Z

Flo 21: /* Aufgabe 2.1 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist?

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das, was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-24T16:11:04Z

Flo 21: /* Aufgabe 2.1 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
.
.
. jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist?

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das, was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)