Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Hauptseite SoSe 11

2011-07-28T23:03:44Z

Haegar:

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2011 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

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= Einführung in die Geometrie =
== Haben wir nicht, bekommen wir auch nicht rein==
{{wpd|Nürnberger_Trichter}}
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_SoSe_11, Quiz der Woche_SoSe_11, Übungsaufgaben_SoSe_11 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel_SoSe_11]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}} [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_11]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_11]]
*[[Äquivalenzrelationen_und_Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Einige grundlegende Bemerkungen zum Geometrieunterricht_SoSe_11]]
*[[Eigenschaften von Geraden_So_Se_11]]
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden_SoSe_11]]
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik_SoSe_11]]
*[[Inzidenz im Raum (SoSe_11)]]
*[[Strecken (SoSe_11)]]
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe_11)]]
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe_11)]]
*[[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe_11)]]
*[[Winkelmessung (SoSe_11)]]
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_11)]]
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_11)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_11)]]
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe_11)]]
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe_11)]]
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_11)]]
*[[Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe_11)]]
*Sätze über Dreiecke
:*[[Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
:*Dreieckstransversalen
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks (SoSe_11)]]
:::*[[Tangentenkriterium]]
::*[[Die Höhen eines Dreiecks (SoSe_11)]]
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe_11)]]
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks (SoSe_11)]]
*Sätze am Kreis
:*[[Der Satz des Thales (SoSe_11)]]
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (SoSe_11)]]
:*[[Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe_11)]]

== Videos ==
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]

== Üben... Üben... Üben...==
[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]

== Die Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen ==
{{pdf|TP_Modul2_Sommersemester_10_L.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen}}

 Ist die TP ohne Lösungen noch vorhanden und könte diese online gestellt werden? Danke schon mal. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:51, 21. Jul. 2011 (CEST)

== Die Teilprüfungsklausur WS_10/11 mit Lösungen ==
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung.pdf|Klausur}}
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung_Lösungen.pdf|mit Lösungen}}
|}

Wann wird denn die Teilprüfungsklausur SoSe 2011 endlich hochgelanden? 
Am 28.07.2011 um 11.50 h --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:23, 28. Jul. 2011 (CEST)
== Die Teilprüfungsklausur SoSe 11 mit Lösungen==
{{pdf|Klausur_zur_Teilprüfung_SS_11.pdf|Klausur}}
{{pdf|Klausur_zur_Teilprüfung_SS_11_Loesungen.pdf| mit Lösungen}}

= Didaktik der Geometrie=
* [[Hinweise und Literatur]]
===Kapitel 1: Erarbeiten geometrischer Begriffe===
* [[Erarbeitung der Begriffe Kreis und Prisma (15.04.2011)]]
* [[Erarbeitung der Begriffe senkrecht, Pyramide, Geradenspiegelung (29.04.2011)]]
* [[Arten der Begriffserarbeitung (06.05.2011)]]
* [[Haus der Vierecke (15.07.2011)]]

===Kapitel 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen===
*[[Der_Satz_des_Thales_(SoSe_11)]]
*[[Zentri-Peripheriewinkelsatz]]
*[[Satz des Pythagoras]]
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten im Tangentenviereck]]
*[[Höhensatz mit "Beweisapplikation"]]
*[[Kathetensatz mit PPT-"Beweis"]]
*[["Beweisidee" Satz des Tangentensatzes]]

===Kapitel 3: Konstruieren===
* [[Konstruktion eines Sehnen-Tangenten-Viereck]]
* [[Äußere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]
* [[Innere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]

===Körperdarstellungen===

*[[Vertretungsveranstaltung,Ausgewählte Kapitel (Spannagel)]]

= Elementargeometrie =
== Skript und mehr ==
=== Kapitel 1: Kongruenzgeometrie ===
*[[Bewegungen (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen]]
*[[Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)]]
*[[Drehungen 2010]]
*[[Verschiebungen 2010]]
*[[Drehungen und Verschiebungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (2010)]]
*[[Klassifizierung aller Bewegungen in der ebenen Geometrie]]
*[[Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)]]
=== Kapitel 2: Ähnlichkeitsgeometrie ===
*[[Projektionen und Strahlensätze 2010]]

== Übungsaufgaben ==

*[[Prüfungsschwerpunkt Ws 2010/2011]]
*[[Übungsaufgaben zur Elementargeometrie im WS 2010/11]]

*[[Elementargeometrie|alte Übungen zur Vorbereitung aufs Staatsexamen im Anschluss an das SS 2010]]
= Spielecke =
*[[Test]]
*[[Spieltester gesucht]]
*[[Rollkurven]]
* Rotationskörper
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==Hinweise==
Bitte beachten Sie: Die Mo-Vorlesung findet ab sofort im Raum H001 (statt H002) statt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:27, 31. Mai 2011 (CEST) 
Da das Tutorium am Freitag nicht mehr stattfinden wird, wurde ich gefragt, ob wir einen anderen Termin finden können. Ich biete deshalb an, dass wir uns am Dienstag um 12:00 Uhr vor A206 treffen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:43, 24. Jul. 2011 (CEST) Danke dir für das heutige Tutorium! --[[Benutzer:Bayer04|Bayer04]] 18:39, 26. Jul. 2011 (CEST)

Die Übung am Donnerstag, 28.7., von 16 bis 18 Uhr bei Klara Buchner findet diese Woche nicht mehr statt.--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 12:45, 26. Jul. 2011 (CEST)

==Viel Glück==
Für die ATP viel Erfolg mit Metallica!
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--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:08, 28. Jul. 2011 (CEST) 
 Vielen Dank! (cooles Stück) ;-) --[[Benutzer:Haegar|Haegar]] 01:03, 29. Jul. 2011 (CEST)
 

'''Veranstaltungsangebot:'''

=== Einführung in die Geometrie ===

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||A108 ||(Reichelt)
|-
| Mo. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Reichelt)
|-
| Mi. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 12-14 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Henrich)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Smuda)
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||A206 ||(Zähringer)
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||B109 ||(Gaß) (neuer Termin)
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A206 ||(Jäckle)

|}

=== Elementargeometrie ===
Die Elementargeometrie findet wieder Wintersemester statt.

=== Didaktik der Geometrie===

{| class="wikitable"
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A 106 ||(Gieding)
|}

([[Frühere Hinweise|mehr]])

==Hier gibt's was Neues zur "Einführung in die Geometrie"==
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([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Einführung in die Geometrie"==
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([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

==Hier gibt's was Neues zur "Didaktik der Geometrie"==
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([[Neuigkeiten zu Elementargeometrie|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Didaktik der Geometrie"==
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([[Diskussionen zu Elementargeometrie|mehr]]) ([[Statistik]])

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[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Diskussion:Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe 11)

2011-07-22T17:10:35Z

Haegar:

Wird eigentlich durch das Axiom vom Lineal unsere Axiome I/1 und I/2 "wertlos"? Mir ist zwar klar, dass es was anderes ist, wenn ich eine Gerade habe, dass diese min. zwei Punkte enthält. Ich brauche sie lediglich noch 1 mal soweit ich mir vorstellen kann und zwar genau für diesen Satz (den ich mir grad selbst überlegt habe - darauf will ich hier eigentlich hinaus): 
Für jeden Punkt P existiert wenigstens eine Gerade, die diesen Punkt enthält.
 
Voraussetzung: Punkt P
Behauptung: Es existiert wenigstens eine Gerade g mit <math>P \in g</math>
 
Beweis:
 

{| class="wikitable"
|-
| 1 || <math>\exists \ PB^{+}: |PB| = d = 2</math> <math>(o. B. d. A.)</math> || Axiom vom Lineal, Voraussetzung
|-
| 2 || <math>\exists g: P \in g \wedge B \in g</math> || (1), Axiom I.1 (so und das wars dann wohl mit Axiom I.1 - jetzt reicht schon ein Punkt und einen zweiten, den ich mir selbst generieren kann um eine Gerade zu erstellen)
|}

Das müsste es gewesen sein :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 09:47, 5. Jun. 2011 (CEST) 
Wäre es auch Korrekt den Beweis zur Eindeutigkeit eines Mittelpunkts M auf einer Strecke AB folgendermaßen zu führen?: 

Sei M ein Punkt auf der Strecke AB, genauer: Zw(A,M,B). Siehe Definition Zwischenrelation. 
Nach Axiom II/1 gibt es für M eine Zahl d; Der Abstand zu A und eine Zahl d'; der Abstand zu B. 
Ich wähle M so, dass d kongruent zu d' und mit Axiom II/1 und vor allem III/1 ist die Eindeutigkeit dieses Punktes Bewiesen.

Danke schonmal --[[Benutzer:Haegar|Haegar]] 19:10, 22. Jul. 2011 (CEST)

Diskussion:Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-22T11:10:28Z

Haegar: Die Seite wurde geleert.

Diskussion:Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-22T10:54:54Z

Haegar:

Mir ist Axiom 1/6 unklar: Wie können 2 Ebenen genau 2 Punkte gemeinsam haben?
Kann mir jemand weiterhelfen? - Haegar

Diskussion:Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-22T10:50:13Z

Haegar: Die Seite wurde neu angelegt: „Mir ist Axiom 1/6 unklar: Wie können 2 Ebenen genau 2 Punkte gemeinsam haben? Kann mir jemand weiterhelfen?“

Mir ist Axiom 1/6 unklar: Wie können 2 Ebenen genau 2 Punkte gemeinsam haben?
Kann mir jemand weiterhelfen?

Diskussion:Spieltester gesucht

2011-05-23T09:25:56Z

Haegar:

Gute Übung zum Automatisieren! Kindern macht das bestimmt Spaß.
 
nicht so gut finde ich: 
- am Computer tränen einem fast die Augen, wenn man versucht die Rechnungen auf den schnell schwimmenden Fischen zu erkennen 
- es ist total unmotivierend, wenn man ewig ausweichen muss, weil einfach keine richtiger Fisch vorbeischwimmt (z.B. bei der Zahl 2 (Addition), oder der Zahl 10 oder 9 bei der (Multiplikation) > da frisst man irgendwann auch gerne falsche Fische :). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:33, 19. Mai 2011 (CEST)

Danke für die ersten Eindrücke, wir werden versuchen, Abhilfe zu schaffen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:33, 19. Mai 2011 (CEST) 
Erster Erfahrungsbericht: Heute hat Philip als erster Förderschüler das Spiel getestet. Die Spielidee trug tatsächlich eine Unterrichtstsunde lang. Das hätte ich nun doch nicht erwartet. Ich dachte, nach 15 Minuten spätestens wäre Schluß. Philip möchte jetzt allerdings als Tester im Hauptmenü aufgeführt werden.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:30, 19. Mai 2011 (CEST)

Ich kann mir schon vorstellen, dass die Kinder Spaß an dem Spiel haben, allerdings kann ich mir vorstellen, dass es für Förderkinder schon recht schwer ist, weil: 
- die Fische so schnell schwimmen, dass einem schwindelig wird, 
- es für die Kinder sicherlich schwer ist die Aufgaben so schnell auszurechen, dass der Fisch noch nicht weg geschwommen ist ( also kurz: die Fische schwimmen zu schnell) 
- es wäre gut wenn es mehr richtige Lösungen für die einzelnen Aufgaben kommen, da man oft sehr lange auf richtige Ergebnisse warten muss -> kann für Kinder sehr frustrierend sein 
- durch das Tempo der Fische ist es oft schwer auszuweichen 

Ich hoffe die Punkte helfen Ihnen weiter --[[Benutzer:Sissi87|Sissi87]] 19:15, 20. Mai 2011 (CEST)

Das Spiel zielte ursprünglich auf ein Smartphon als "Console" ab. Da läuft alles langsamer. Auf dem Riesendisplay des SmartBoards läuft es auch eher gemächlich ab. Aber klar: Es sollte schon so laufen, dass es auf jeder Plattform spielbar ist.
Danke --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:56, 22. Mai 2011 (CEST) 

Ich finde das eine tolle Idee. Ich würde aber vorschlagen, dass man auch ein Leben verliert, wenn man das richtige Ergebnis nicht gesehen hat und der Fisch den Bildschirm verlassen hat. Denn auch in diesem Fall kann es sein, dass man sich verrechnet hat.
Ebenfalls finde ich es dann besser, wenn es etwas langsamer liefe und man nicht ganz so lange auf richtige Futterfische warten muss.
Allerdings finde ich es auch gut, dass man gefordert ist auszuweichen und damit das ganze eben auch ein bischen was von einem Geschicklichkeitsspiel hat. 
Außerdem fallen mir dazu spontan Varianten ein wie: Der blaue Fisch trägt die Zahl "x" und muss alle Rechnungen essen deren Ergebnisse größer/kleiner/Teiler von ... sind. Und evtl. ein Modus bei dem alle Rechenarten auf einen gleichzeitig zukommen. 
Eine weitere Idee ist, dass der Fisch je richtiges Ergebnis immer größer wird, sodass man leichter seine Ziele essen kann, aber auch das Ausweichen immer schwieriger wird. (Pro falschem Fisch wird man im selben Maße wieder kleiner.) Dann sollte alles aber unbedingt deutlich langsamer laufen. In diesem Fall hätte man dann keine Leben sondern, wenn der Fisch zu klein wird hat man verloren. (Man hat Beispielsweise eine Mittlere Größe zu Beginn und kann 2 falsche Fische essen. Nach dem 3. ist man zu klein/verschwunden. Isst man aber zuerst 3 richtige Fische, verkraftet man also 5 falsche Ergebnisse... man kann sich hoch und runter arbeiten.)
Ich hoffe meine Gedanken sind so weit verständlich und wenigstens Teilweise brauchbar : -) Viele Grüße

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-10T09:58:12Z

Haegar:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
<s>Behauptung:</s> Annahme: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) 
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)
 Meine Lösung zu a) sieht so aus: Nach der Vorraussetzung schneiden sich die Geraden a und c in einem beliebigen Punkt A. Die Gerade b jedoch ist parallel zu a und zu c. Nach dem Parallelenaxiom gibt es aber in A höchstens eine Gerade die parallel zu b ist. => Widerspruch. Ist das verständlich? 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-10T09:32:19Z

Haegar:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
<s>Behauptung:</s> Annahme: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) Irgendwie kann ich euch hier nicht folgen und komme selbst auch nicht weiter. Mich stört, dass bei dem Parallelenaxiom "höchstens" steht. Könnte das nicht "genau eine" heißen? 
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-10T09:30:07Z

Haegar:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
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||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
<s>Behauptung:</s> Annahme: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
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| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
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| Nummer || Beweisschritt || Begründung
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| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
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| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
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| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
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| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) 
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)
 Irgendwie kann ich euch hier nicht folgen und komme selbst auch nicht weiter. Mich stört, dass bei dem Parallelenaxiom "höchstens" steht. Könnte das nicht "genau eine" heißen?

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe11)

2011-05-10T09:09:18Z

Haegar:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, so sind sie supplementär. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
 a) Wenn zwei Winkel nicht Nebenwinkel sind, so sind sie nicht supplementär. 
b) Es gibt zwei Winkel, die Nebenwinkel sind und nicht supplementär zueinander sind.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:44, 5. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Wenn zwei Winkel nicht supplementär sind, so sind sie keine Nebenwinkel.

b) Die Winkel sind nicht suplämenter. --[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:22, 6. Mai 2011 (CEST)

 a)In diesem Fall würde ich in a) Engel81 zustimmen da bei einer Kontraposition aus "nicht B" "nicht A" folgt. Anstelle von: aus A folgt B. und in b) Flo 21. Das hätte ich genauso formuliert.

Lösung von Aufgabe 5.3 (SoSe11)

2011-05-10T09:01:04Z

Haegar:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Antwort: 
a) Wenn zwei Geraden höchstens einen gemeinsamen Punkt haben, sind sie nicht identisch. 
b) Annahme: Es gibt Geraden, die nicht identisch sind und dennoch mehr als einen gemeinsamen Punkt haben. 
--[[Benutzer:Bubble|Bubble]] 13:46, 5. Mai 2011 (CEST)

 a) Wenn zwei Geraden g und h identisch sind, dann haben sie mindestens einen Punkt gemeinsam. 
b) Es gibt zwei Geraden, die nicht identisch sind und mehr als einen Punkt gemeinsam haben. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:42, 5. Mai 2011 (CEST) 
Was ist nun bei a) richtig, oder stimmen beide Antworten? Wie wird der Begriff "Kontraposition" verstanden bzw. wie ist er definiert?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:32, 6. Mai 2011 (CEST) An den lieben Tutor: Treffe doch bitte die Aussage, ob jmd recht hat oder nicht und verbessere gegebenenfalls. Deine Antworten sind max. bedingt hilfreich. So bringt mich das WIKI nicht weiter, es behindert mich. Schließlich merkt man sich so evtl falsche Sachen. Danke. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:50, 8. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] 
Ich würde mich Flo21 anschließen. Die Antwort von Bubble ist die Umkehrung und nicht die Kontraposition. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:08, 8. Mai 2011 (CEST) 
Ich bin der Meinung, dass man sich zu den Aussagen von anderen auch Gedanken machen sollte und diese dann diskutiert. Wenn es aber erwünscht wird, dass die Antworten mit RICHTIG oder FALSCH gekennzeichnet werden, dann werde ich mit einem Dozenten besprechen, wann und wie dies geschehen soll. Dies sollte aber auch nicht auf dieser Seite stehen, sondern auf einer allgemeinen Diskusionsseite. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 20:27, 9. Mai 2011 (CEST)
 Ich schließe mich auch FLo 21 an, würde aber zu a) hinufügen wollen, dass die Geraden mehr als einen Punkt bzw. mindestens zwei Punkte gemeinsam haben. Wie Flo 21 auch in b) formuliert. -> Welche Version davon ist richtig? Oder macht dies keinen Unterschied?

Zu der Aussage <math>\ (\ A \Rightarrow B)</math> lautet die Kontraposition <math>(\neg B \Rightarrow \neg A)</math>. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 20:59, 9. Mai 2011 (CEST)