Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Die Kraft der Raute

2012-02-08T21:21:21Z

Lottta: /* Vorbemerkung */

=Vorbemerkung=
Die Bayern haben zum Start der Rückrunde heftig Federn gelassen. Das freut nicht nur den bekennenden 60-ger Fan und Geowiki-Aktivisten Flo60 sondern auch uns, die wir die ATP-Klausur zu erstellen haben.

Bezeichnenderweise tragen die Vereine, die den Roten aus München Punkte entführten, die Raute im Logo. Wir stellen damit unsere Klausur unter das Motto: 
'''Die Kraft der Raute'''
 
Also ich denke hier einfach mal laut: Wenn ich diese Aussage vor über einem halben Jahr gelesen hätt, hätte ich gesagt:"Dass simmt doch gar nicht. Der HSV hat doch Quadrate im Wappen." Jemand schon mal dran gedacht, dass es ich in der Klausur auch um den Spezialfall handeln könnte. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:02, 8. Feb. 2012 (CET) 

::Freut mich, dass wir doch ein wenig zu einem grundlegenden Verständnis bezüglich der Vierecksarten haben beitragen können. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:15, 8. Feb. 2012 (CET)

...dann wären die "Tipps" zur Vorbereitung aber ETWAS irreführend gewesen!?!?! --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 17:49, 8. Feb. 2012 (CET)

::Gladbach hat drei Punkte gegen die Bayern geholt. Das Logo der Borussia aus Gladbach ist eine Raute, die kein Quadrat ist. Wir sollten der Borussia die Ehre erweisen. (Deutlich genug?) --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:02, 8. Feb. 2012 (CET)

...nicht dass mir Borussia lieber wäre als der HSV, aber in diesem Fall schon :-) Danke!--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 22:21, 8. Feb. 2012 (CET)

=Aufgabe 3=
Der Beginn von Aufgabe 3 der Klausur im Vorabdruck:

:::"''Erst verlieren die Roten aus München in Gladbach drei Punkte, dann zwei beim HSV! Spontan beginnt Referendar Ole die Unterrichtseinheit '''Vierecke''' mit der '''Raute'''''.
 
Da Ole ein 1er Kandidat ist und zufällig eine reine Jungenklasse hat, beginnt der die Stunde natürlich um die Schüler zu motivieren mit einigen Wappen von Fußballvereinen. ...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:09, 8. Feb. 2012 (CET)

=Vorbereitung: Raute=

# Definieren Sie den Begriff Raute auf 5 verschiedene Arten und Weisen.
# Überlegen Sie sich, wie Sie Ihre Schüler an den Begriff der Raute heranführen könnten, indem Sie die Schüler verschieden Rauten konstruieren lassen. (Stäbchen, Metallbaukasten, Falten, Streifen, Geobrett, Geogebra, ...)
# Überlegen Sie, welche Eigenschaften von Rauten sich aus den Definitionen und Konstruktionen ergeben und beweisen Sie diese.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Die Kraft der Raute

2012-02-08T16:49:16Z

Lottta: /* Vorbemerkung */

=Vorbemerkung=
Die Bayern haben zum Start der Rückrunde heftig Federn gelassen. Das freut nicht nur den bekennenden 60-ger Fan und Geowiki-Aktivisten Flo60 sondern auch uns, die wir die ATP-Klausur zu erstellen haben.

Bezeichnenderweise tragen die Vereine, die den Roten aus München Punkte entführten, die Raute im Logo. Wir stellen damit unsere Klausur unter das Motto: 
'''Die Kraft der Raute'''
 
Also ich denke hier einfach mal laut: Wenn ich diese Aussage vor über einem halben Jahr gelesen hätt, hätte ich gesagt:"Dass simmt doch gar nicht. Der HSV hat doch Quadrate im Wappen." Jemand schon mal dran gedacht, dass es ich in der Klausur auch um den Spezialfall handeln könnte. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:02, 8. Feb. 2012 (CET) 

::Freut mich, dass wir doch ein wenig zu einem grundlegenden Verständnis bezüglich der Vierecksarten haben beitragen können. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:15, 8. Feb. 2012 (CET)

...dann wären die "Tipps" zur Vorbereitung aber ETWAS irreführend gewesen!?!?! --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 17:49, 8. Feb. 2012 (CET)

=Aufgabe 3=
Der Beginn von Aufgabe 3 der Klausur im Vorabdruck:

:::"''Erst verlieren die Roten aus München in Gladbach drei Punkte, dann zwei beim HSV! Spontan beginnt Referendar Ole die Unterrichtseinheit '''Vierecke''' mit der '''Raute'''''.
 
Da Ole ein 1er Kandidat ist und zufällig eine reine Jungenklasse hat, beginnt der die Stunde natürlich um die Schüler zu motivieren mit einigen Wappen von Fußballvereinen. ...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:09, 8. Feb. 2012 (CET)

=Vorbereitung: Raute=

# Definieren Sie den Begriff Raute auf 5 verschiedene Arten und Weisen.
# Überlegen Sie sich, wie Sie Ihre Schüler an den Begriff der Raute heranführen könnten, indem Sie die Schüler verschieden Rauten konstruieren lassen. (Stäbchen, Metallbaukasten, Falten, Streifen, Geobrett, Geogebra, ...)
# Überlegen Sie, welche Eigenschaften von Rauten sich aus den Definitionen und Konstruktionen ergeben und beweisen Sie diese.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Die Kraft der Raute

2012-02-08T16:48:54Z

Lottta: /* Vorbemerkung */

=Vorbemerkung=
Die Bayern haben zum Start der Rückrunde heftig Federn gelassen. Das freut nicht nur den bekennenden 60-ger Fan und Geowiki-Aktivisten Flo60 sondern auch uns, die wir die ATP-Klausur zu erstellen haben.

Bezeichnenderweise tragen die Vereine, die den Roten aus München Punkte entführten, die Raute im Logo. Wir stellen damit unsere Klausur unter das Motto: 
'''Die Kraft der Raute'''
 
Also ich denke hier einfach mal laut: Wenn ich diese Aussage vor über einem halben Jahr gelesen hätt, hätte ich gesagt:"Dass simmt doch gar nicht. Der HSV hat doch Quadrate im Wappen." Jemand schon mal dran gedacht, dass es ich in der Klausur auch um den Spezialfall handeln könnte. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:02, 8. Feb. 2012 (CET) 

::Freut mich, dass wir doch ein wenig zu einem grundlegenden Verständnis bezüglich der Vierecksarten haben beitragen können. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:15, 8. Feb. 2012 (CET)

...dann wären die "Tipps" zur Vorbereitung aber ETWAS irreführend gewesen!?!?!

=Aufgabe 3=
Der Beginn von Aufgabe 3 der Klausur im Vorabdruck:

:::"''Erst verlieren die Roten aus München in Gladbach drei Punkte, dann zwei beim HSV! Spontan beginnt Referendar Ole die Unterrichtseinheit '''Vierecke''' mit der '''Raute'''''.
 
Da Ole ein 1er Kandidat ist und zufällig eine reine Jungenklasse hat, beginnt der die Stunde natürlich um die Schüler zu motivieren mit einigen Wappen von Fußballvereinen. ...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:09, 8. Feb. 2012 (CET)

=Vorbereitung: Raute=

# Definieren Sie den Begriff Raute auf 5 verschiedene Arten und Weisen.
# Überlegen Sie sich, wie Sie Ihre Schüler an den Begriff der Raute heranführen könnten, indem Sie die Schüler verschieden Rauten konstruieren lassen. (Stäbchen, Metallbaukasten, Falten, Streifen, Geobrett, Geogebra, ...)
# Überlegen Sie, welche Eigenschaften von Rauten sich aus den Definitionen und Konstruktionen ergeben und beweisen Sie diese.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 15.3 (WS 11/12)

2012-02-07T22:44:19Z

Lottta:

Nennen Sie eine Umkehrung des Satzes von Thales und beweisen Sie diese.

Ist ein Winkel Peripheriewinkel eines Kreises k über der Sehne s ein rechter, so ist seine Sehne s auch der Durchmesser des Kreises k.

BEWEIS:

Vor.: Dreieck ABP, Kreis k, Peripheriewinkel P ist ein rechter, Sehne s, Durchmesser AB

Beh.: s liegt auf dem Durchmesser AB

→ meine Idee wäre, den Beweis über den Zentrie-Peripheriewinkelsatz zu führen.
--> ich denke, das klappt zwar, ist aber anscheinend nicht erlaubt/gewünscht, da der zentri-peripheriewinkelsatz in der abfolge NACH dem thales-satz (und den umkehrungen davon) folgt und somit noch nicht als wahr angenommen werden darf. oder liege ich da jetzt falsch? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 23:42, 7. Feb. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 15.3 (WS 11/12)

2012-02-07T22:43:45Z

Lottta:

Nennen Sie eine Umkehrung des Satzes von Thales und beweisen Sie diese.

Ist ein Winkel Peripheriewinkel eines Kreises k über der Sehne s ein rechter, so ist seine Sehne s auch der Durchmesser des Kreises k.

BEWEIS:

Vor.: Dreieck ABP, Kreis k, Peripheriewinkel P ist ein rechter, Sehne s, Durchmesser AB

Beh.: s liegt auf dem Durchmesser AB

→ meine Idee wäre, den Beweis über den Zentrie-Peripheriewinkelsatz zu führen.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
--> ich denke, das klappt zwar, ist aber anscheinend nicht erlaubt/gewünscht, da der zentri-peripheriewinkelsatz in der abfolge NACH dem thales-satz (und den umkehrungen davon) folgt und somit noch nicht als wahr angenommen werden darf. oder liege ich da jetzt falsch? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 23:42, 7. Feb. 2012 (CET)

Lösung von Aufg. 15.3 (WS 11/12)

2012-02-07T22:43:10Z

Lottta:

Nennen Sie eine Umkehrung des Satzes von Thales und beweisen Sie diese.

Ist ein Winkel Peripheriewinkel eines Kreises k über der Sehne s ein rechter, so ist seine Sehne s auch der Durchmesser des Kreises k.

BEWEIS:

Vor.: Dreieck ABP, Kreis k, Peripheriewinkel P ist ein rechter, Sehne s, Durchmesser AB

Beh.: s liegt auf dem Durchmesser AB

→ meine Idee wäre, den Beweis über den Zentrie-Peripheriewinkelsatz zu führen.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
--> das klappt zwar, ist aber anscheinend nicht erlaubt/gewünscht, da der zentri-peripheriewinkelsatz in der abfolge NACH dem thales-satz (und den umkehrungen davon) folgt und somit noch nicht als wahr angenommen werden darf. oder liege ich da jetzt falsch? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 23:42, 7. Feb. 2012 (CET)

Lösung von Aufg. 15.3 (WS 11/12)

2012-02-07T22:42:40Z

Lottta:

Nennen Sie eine Umkehrung des Satzes von Thales und beweisen Sie diese.

Ist ein Winkel Peripheriewinkel eines Kreises k über der Sehne s ein rechter, so ist seine Sehne s auch der Durchmesser des Kreises k.

BEWEIS:

Vor.: Dreieck ABP, Kreis k, Peripheriewinkel P ist ein rechter, Sehne s, Durchmesser AB

Beh.: s liegt auf dem Durchmesser AB

→ meine Idee wäre, den Beweis über den Zentrie-Peripheriewinkelsatz zu führen.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
--> das klappt zwar, ist aber anscheinend nicht erlaubt/gewünscht, da der zentri-peripheriewinkelsatz in der abfolge NACH dem thales-satz (und den umkehrungen davon) folgt und somit noch nicht als wahr angenommen werden darf. oder liege ich da jetzt falsch? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 23:42, 7. Feb. 2012 (CET)

Lösung von Aufg. 15.3 (WS 11/12)

2012-02-07T22:42:16Z

Lottta:

Nennen Sie eine Umkehrung des Satzes von Thales und beweisen Sie diese.

Ist ein Winkel Peripheriewinkel eines Kreises k über der Sehne s ein rechter, so ist seine Sehne s auch der Durchmesser des Kreises k.

BEWEIS:

Vor.: Dreieck ABP, Kreis k, Peripheriewinkel P ist ein rechter, Sehne s, Durchmesser AB

Beh.: s liegt auf dem Durchmesser AB

→ meine Idee wäre, den Beweis über den Zentrie-Peripheriewinkelsatz zu führen.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
--> das klappt zwar, ist aber anscheinend nicht erlaubt/gewünscht, da der zentri-peripheriewinkelsatz in der abfolge NACH dem thales-satz (und den umkehrungen davon) folgt und somit noch nicht als wahr angenommen werden darf. oder liege ich da jetzt falsch? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 23:42, 7. Feb. 2012 (CET)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-02-04T12:01:54Z

Lottta: /* Idee des Beweises eines Spezialfalls */

=Videos=
==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
{{#ev:youtube|7J9vZGf9Lps}}
===Peripheriewinkelsatz===
{{#ev:youtube|0tsVjlH7Da8}}
==Satz des Thales==
=== Satzfindung ===
{{#ev:youtube|5Hli03ctSX4}}
=== "Beweisen" am Beispiel ===
{{#ev:youtube|o_gbIikyHuw}}
=== Ikonischer Beweis ===
{{#ev:youtube|Av0LDOuvZzQ}}

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei k ein Kreis und pq ein Winkel. Winkel pq ist Peripheriewinkel von k, wenn der Scheitelpunkt C von Winkel pq auf k liegt und p und q den Kreis k jeweils in einem weiteren Punkt A bzw. B schneiden (mit A ungleich B). --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:38, 31. Jan. 2012 (CET)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei ACB ein Peripheriewinkel des Kreises k mit Mittelpunkt M. Der Winkel AMB heißt der zum Peripheriewinkel ACB dazugehörige Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:40, 31. Jan. 2012 (CET)

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

Was ist denn hier mit "Spezialfall" gemeint?? Angewendet wird der starke Außenwinkelsatz (ein Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen). Aber wieso Spezialfall? Und was ist mit den anderen Fällen??? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:01, 4. Feb. 2012 (CET)

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Zentri-Peripheriewinkelsatz: Ein Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie sein dazugehöriger Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:31, 31. Jan. 2012 (CET)

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-02-04T11:56:51Z

Lottta: /* Definition XIX.2 (Zentriwinkel) */

=Videos=
==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
{{#ev:youtube|7J9vZGf9Lps}}
===Peripheriewinkelsatz===
{{#ev:youtube|0tsVjlH7Da8}}
==Satz des Thales==
=== Satzfindung ===
{{#ev:youtube|5Hli03ctSX4}}
=== "Beweisen" am Beispiel ===
{{#ev:youtube|o_gbIikyHuw}}
=== Ikonischer Beweis ===
{{#ev:youtube|Av0LDOuvZzQ}}

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei k ein Kreis und pq ein Winkel. Winkel pq ist Peripheriewinkel von k, wenn der Scheitelpunkt C von Winkel pq auf k liegt und p und q den Kreis k jeweils in einem weiteren Punkt A bzw. B schneiden (mit A ungleich B). --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:38, 31. Jan. 2012 (CET)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei ACB ein Peripheriewinkel des Kreises k mit Mittelpunkt M. Der Winkel AMB heißt der zum Peripheriewinkel ACB dazugehörige Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:40, 31. Jan. 2012 (CET)

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Zentri-Peripheriewinkelsatz: Ein Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie sein dazugehöriger Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:31, 31. Jan. 2012 (CET)

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-02-04T11:56:25Z

Lottta: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */

=Videos=
==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
{{#ev:youtube|7J9vZGf9Lps}}
===Peripheriewinkelsatz===
{{#ev:youtube|0tsVjlH7Da8}}
==Satz des Thales==
=== Satzfindung ===
{{#ev:youtube|5Hli03ctSX4}}
=== "Beweisen" am Beispiel ===
{{#ev:youtube|o_gbIikyHuw}}
=== Ikonischer Beweis ===
{{#ev:youtube|Av0LDOuvZzQ}}

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei k ein Kreis und pq ein Winkel. Winkel pq ist Peripheriewinkel von k, wenn der Scheitelpunkt C von Winkel pq auf k liegt und p und q den Kreis k jeweils in einem weiteren Punkt A bzw. B schneiden (mit A ungleich B). --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:38, 31. Jan. 2012 (CET)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei APB ein Peripheriewinkel des Kreises k mit Mittelpunkt M. Der Winkel AMB heißt der zum Peripheriewinkel APB dazugehörige Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:40, 31. Jan. 2012 (CET)

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==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Zentri-Peripheriewinkelsatz: Ein Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie sein dazugehöriger Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:31, 31. Jan. 2012 (CET)

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-02-02T15:20:17Z

Lottta: /* Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

* Jeder Punkt der zu den Schenkeln des Winkels jew. ein und denselben Abstand hat, gehört zur Winkelhablbierenden des Winkels --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:16, 28. Jan. 2012 (CET)
** Fast - die Definition stimmt nicht ganz. Von diesen beschriebenen Punkten, gehören einige nicht zur Winkelhalbierenden. Warum? Wie muss die Definition verändert werden? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:26, 29. Jan. 2012 (CET)
 .. und im Inneren des Winkels liegt ?--[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 19:11, 30. Jan. 2012 (CET)
 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ g</math> berührt den Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit ihm genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente an Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math>, wenn <math>\ t</math> und <math>\ k</math> in derselben Ebene liegen und <math>\ t</math> den Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math> berührt.

===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 
...Teilmenge einer Tangenten des Kreises k ist. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:53, 19. Jan. 2012 (CET) 
da fehlt noch was--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:01, 25. Jan. 2012 (CET)
Ergänzung: (hier ausfüllen) 

dann so: ...Teilmenge einer Tangenten des Kreises k ist und mit k den selben Punkt gemeinsam hat wie die Tangente mit k. ?? sehr komplizierte formulierung...--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 16:20, 2. Feb. 2012 (CET)

* ... wenn sie mit k genau einen Punkt gemeinsam hat. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:13, 28. Jan. 2012 (CET)
So könnte man es definieren. Allerdings ist damit etwas anderes definiert, als Lottta versucht hat.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:30, 29. Jan. 2012 (CET)
 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks. 
* Ein Kreis der alle drei Seiten eines Dreiecks schneidet und vollständig im inneren deises Dreicks liegt, heißt Innenkreis deises Dreiecks.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 19:28, 31. Jan. 2012 (CET)

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:56, 19. Jan. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-01-31T18:40:27Z

Lottta: /* Definition XIX.2 (Zentriwinkel) */

=Videos=
==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
{{#ev:youtube|7J9vZGf9Lps}}
===Peripheriewinkelsatz===
{{#ev:youtube|0tsVjlH7Da8}}
==Satz des Thales==
=== Satzfindung ===
{{#ev:youtube|5Hli03ctSX4}}
=== "Beweisen" am Beispiel ===
{{#ev:youtube|o_gbIikyHuw}}
=== Ikonischer Beweis ===
{{#ev:youtube|Av0LDOuvZzQ}}

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei k ein Kreis und pq ein Winkel. Winkel pq ist Peripheriewinkel von k, wenn der Scheitelpunkt S von Winkel pq auf k liegt und p und q den Kreis k jeweils in einem weiteren Punkt A bzw. B schneiden (mit A ungleich B). --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:38, 31. Jan. 2012 (CET)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei APB ein Peripheriewinkel des Kreises k mit Mittelpunkt M. Der Winkel AMB heißt der zum Peripheriewinkel APB dazugehörige Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:40, 31. Jan. 2012 (CET)

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==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

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== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Zentri-Peripheriewinkelsatz: Ein Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie sein dazugehöriger Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:31, 31. Jan. 2012 (CET)

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-01-31T18:38:47Z

Lottta: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */

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==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
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===Peripheriewinkelsatz===
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==Satz des Thales==
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=== "Beweisen" am Beispiel ===
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=== Ikonischer Beweis ===
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==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei k ein Kreis und pq ein Winkel. Winkel pq ist Peripheriewinkel von k, wenn der Scheitelpunkt S von Winkel pq auf k liegt und p und q den Kreis k jeweils in einem weiteren Punkt A bzw. B schneiden (mit A ungleich B). --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:38, 31. Jan. 2012 (CET)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 
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==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

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== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Zentri-Peripheriewinkelsatz: Ein Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie sein dazugehöriger Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:31, 31. Jan. 2012 (CET)

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-01-31T18:38:14Z

Lottta: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */

=Videos=
==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
{{#ev:youtube|7J9vZGf9Lps}}
===Peripheriewinkelsatz===
{{#ev:youtube|0tsVjlH7Da8}}
==Satz des Thales==
=== Satzfindung ===
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==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Es sei k ein Kreis und pq in Winkel. Winkel pq ist Peripheriewinkel von k, wenn der Scheitelpunkt S von Winkel pq auf k liegt und p und q den Kreis k jeweils in einem weiteren Punkt A bzw. B schneiden (mit A ungleich B). --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:38, 31. Jan. 2012 (CET)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Zentri-Peripheriewinkelsatz: Ein Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie sein dazugehöriger Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:31, 31. Jan. 2012 (CET)

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-01-31T18:31:09Z

Lottta: /* Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) */

=Videos=
==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
{{#ev:youtube|7J9vZGf9Lps}}
===Peripheriewinkelsatz===
{{#ev:youtube|0tsVjlH7Da8}}
==Satz des Thales==
=== Satzfindung ===
{{#ev:youtube|5Hli03ctSX4}}
=== "Beweisen" am Beispiel ===
{{#ev:youtube|o_gbIikyHuw}}
=== Ikonischer Beweis ===
{{#ev:youtube|Av0LDOuvZzQ}}

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADGnPT4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vnbcts2EH1uvoLDd9G4g5yRkpHd6Uxm4qYTp3noG0VCEmqKVEnIlvxXmf5Hv6kLgNTVUa04dSK/0FxAi8U5e3YBqf9mOSuCO1U3uioHIY5QGKgyq3JdTgbhwox7cfjm9av+RFUTNarTYFzVs9QMQhqR0NoX+vWrn/rNtLoP0sJN+aTV/SAcp0WjwqCZ1yrNm6lSZseeLpa60Gm9ej/6U2Wm2Qx4J2/L+QJWMfUCbNksf6eb7vXCLTgvtPlZ3+lc1UFRZYNQcAgd/vukaqOztBiEDHkLGYRkbxBM1I5Oq1o/VKWx0zfOx2AJgkY/KECEWFv/wm20rxZZoXOdlnYzLg6YFAT3OjdTWFAIcKn0ZGoBSqT3llVVnd+sGqNmwfIPVVeDUDKL88q/UOxQbyAsWI8jN7T95ryouxtlDLDSBOlSbfCa1DrfeXnbXFbFxjSvdGmu0rlZ1I5S2ppuzMouAGvVNt5hOSlUayOA+FRlt6NqeeMxoN71x9XcfcQFNJpcVUVVB7VFl8OE9jnyTzfHRrqehdwc5Ga0PqzT9ThOiJvhniP/dLMKXfrQ2p3jbtcYdcvoJrAGCyNk4nrzRTpSwGwYLEpt3nUvkAG37Vax/8Cvi9kIJLCdA2uf+Fv57F/sZU//VtWlKnyOlMDtolo0wZ3NRb+WCyRXmZ7Bqx9oIUktXb9DAN6aq0mtusC9gDxgbhRt5+GeuX/RBWFjaCDWzEAlgP0YuxcrVAMiGYQ32bTUdTYNgzw1dsSqoVAzBVIxLi9cWq3xuQ7XdaFyEu/E3I5vkIbhR3PEZVNazKcpWDoZFOkKBL+9Lefvusp3N5uWAJrbCehubh1YWuZKeUZNm8nBHBw6XWwh7oBqgqUtcgy0aMtiAsp+8PXRzfEasuJ3q9KWYA/If0DzyyE0u7l1FtiQCHlwWMTIaeBk1WyWlnlQpjNY6QrSqlAOE22rfpAimz5Bii1UHoaF6QZuvbPWxQHSkMQ6WwN5G+7WDzMFmZaqaVyRM9vl7DmZip7MxfvxuFHGwtejxKHXw+QYV0+KHTqOKu8g8qpugmCJ2j6+Qj6g4KGzLAHSnm8wuDU94C3iIC1qvQyG3fxhN2sIDVNGHCGabP7ATNsVhszuyKplyO2erF58aH+VPvzGF0dIs0yPgaKjKfGb08tuRtwepMLV8VTYFd3VV9UjTHxnc88fQ3dw8OIsRoQynCDCqZCtCqWQmDNJKMFSEPocST4N/+Ep+A9fHP8treHEYfQC7KBIYoISnsQCJQQL3DUQTCWPsUBSxCzBLP7/6bk8hZ7L70iP8BC9ADs8igF/IAdkgyRBiPu8iAQFzihhCYlpwixpX8/Oh3S1x82Vb2bDA4rS4xTV4KkjIP0WrWwLlOf3sgOOtmuUIAmXcLPhgKpEsVdBj0ScwaugHLSAQBG+SqGIIplQzCl8hHEOVeyU7rfXYvQM7oaZNmu0C5sRb0sDp3HlTreHh+xbpeb2dvO+/FinZWMvuX7O1uH9VLovD+gePZ3u0TnRzaC6CYIwkzShVMTYsU0gCQjikmMsEVyNvah6hMPhgBBpqyTDmODzodpdkvfIHnqyLefkMc7/+fs46e4mt2YMZtvPQzyLFmzoHBJaCUoEjyVlnJDnnFcxOqQdP5H2U4hK62yrXnbGoqjuP6hxoZYOyafCfqMm1v448IeIZ8cBb1pvHVzZOSkNwRlcCGhSPGYIJZAQTmo8woJJQWMBauNwSPdSExGhAkP1RQzLGHR4PlI7yvn1Aef5aZzn58Q5XNhiQhiGkwmBHoliTrr6GssEMYRpgmRMY94W2AguAUhAJaY0jpFk58769ZeUrk5jXZ0T6ziiBMgFQSMJ1wYei5Z0tnuC9d9L9ZIIzk6gcyI4R0zig69Of1zSj3TV6y921c8nddXP+12VRJQTHGM4dEomAGf2sl11c/nxt/ce/d4t92L761/3g0f7i8/rfwFQSwcIHuZo3L0FAAAjGgAAUEsBAhQAFAAIAAgAMac9Ph7maNy9BQAAIxoAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAAD3BQAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Zentri-Peripheriewinkelsatz: Ein Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie sein dazugehöriger Zentriwinkel. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:31, 31. Jan. 2012 (CET)

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS 11/12

2012-01-31T18:29:02Z

Lottta: /* Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) */

=Videos=
==Peripheriewinkelsatz==
===Begriff des Peripheriewinkels===
{{#ev:youtube|7J9vZGf9Lps}}
===Peripheriewinkelsatz===
{{#ev:youtube|0tsVjlH7Da8}}
==Satz des Thales==
=== Satzfindung ===
{{#ev:youtube|5Hli03ctSX4}}
=== "Beweisen" am Beispiel ===
{{#ev:youtube|o_gbIikyHuw}}
=== Ikonischer Beweis ===
{{#ev:youtube|Av0LDOuvZzQ}}

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist...

 

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel am Kreis k über der gleichen Sehne sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 19:29, 31. Jan. 2012 (CET)

Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium WS 11/12

2012-01-19T15:34:59Z

Lottta: /* Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:

[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC}</math>:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \tilde {=} \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \tilde {=} \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SSS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum? WARUM???--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 12:20, 19. Jan. 2012 (CET) aaah ok, weil für den Beweis von SSS der Basiswinkelsatz benötigt wird...--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 16:34, 19. Jan. 2012 (CET)

 

===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus. 

======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
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== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::::Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn <math>\overline{AP} \tilde {=} \overline{BP}</math> gilt.

 

=====Bezug zur Schule:=====
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke <math>\overline{AB}</math>

gesucht: <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

Frage: ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

===== Beweis von Satz VII.6 a =====

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.

Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:
::Wir wissen, eine Implikation ''aus a folgt b'' bedeutet, dass ''a'' eine hinreichende Bedingung für ''b'' ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?

::Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt <math>\ P</math> zu zwei verschiedenen Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> liegt.
::Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>. 

Beweis: Übungsaufgabe
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium WS 11/12

2012-01-19T15:34:38Z

Lottta: /* Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:

[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC}</math>:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \tilde {=} \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \tilde {=} \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SSS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum? WARUM???--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 12:20, 19. Jan. 2012 (CET) aaah ok, weil für den Beweis von SSS der Basiswinkelsatz benötigt wird...

 

===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus. 

======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
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" 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== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::::Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn <math>\overline{AP} \tilde {=} \overline{BP}</math> gilt.

 

=====Bezug zur Schule:=====
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke <math>\overline{AB}</math>

gesucht: <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

Frage: ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

===== Beweis von Satz VII.6 a =====

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.

Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:
::Wir wissen, eine Implikation ''aus a folgt b'' bedeutet, dass ''a'' eine hinreichende Bedingung für ''b'' ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?

::Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt <math>\ P</math> zu zwei verschiedenen Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> liegt.
::Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>. 

Beweis: Übungsaufgabe
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-19T12:56:59Z

Lottta: /* Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) */

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-19T12:56:44Z

Lottta: /* Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) */

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-19T12:53:44Z

Lottta: /* Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) */

Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom WS 11/12

2012-01-19T12:31:38Z

Lottta: /* Satz XII.3 */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====

Übungsaufgabe
 

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Vor: g parallel zu h
Beh: /alpha/ + /betta/ = 180

Bew: 1) alpha und alpha` sind Nebenwinkel
--> /alpha/ + /alpha´/ =180

2) betta kongruent zu alpha´ (Def. Stufenwinkel, Stufenwinkelsatz)
3) /alpha/ + /betta/ =180 (1,2, Rechnen in R) --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:31, 19. Jan. 2012 (CET) stimmt das??

Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium WS 11/12

2012-01-19T11:20:53Z

Lottta:

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:

[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC}</math>:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \tilde {=} \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \tilde {=} \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \tilde {=} \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SSS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum? WARUM???--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 12:20, 19. Jan. 2012 (CET)

 

===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus. 

======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
<ggb_applet width="1272" height="830" version="3.2" 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BVJEtg82aif7oK+EblqoacmzT63k1Pt0tqUE4LuWh5kH32bHZa+ZWsfbi91g+tpkktvMU87KRs80KzILm2DyGasxh4r3asKEW+Slo01540tXGfFzkyz0jzMQVjm3z/9J2uzKQFvQtUSSFV7TQCB7RAImMM4oIy7GKBd0rhrjS5sIgqCTarabu7ukmT0Yn+5Fqp/NCsNgujmBzEJxK3BucNGgKZ9dcOMlM1FkU8/dyLl599J2UlKg/FBaxMzPYTccb0fidTrYIR6JxUbMX4q54VtVlqgPQPC8JAclINo5qC2gNNCRqqZxr9EwVToLJGl4sK+UzTYIQl5SJ5rmUBitjIwjgOBi11MuQs7ztJgNT/3KlFXaqamZmGpdfHC4HvuX4YyVcYxvEpNcunGmqlpWweUO6Tp6lUzesIZGmeEqqmMixxGGSsObWC0xBhw3BHkatLufXQtYm11/zU8/akDjL1TdY8HY0sLx21CKEbMdSHjRf5GybBDOMUOI4Rw4LA9g/PokGxfMTi87RhVC8lhW7NTpTHsIEUdMpkHZvIo5dDFDmSOQwrNdGwAHBdylxIHUtYcqjfgW83+vRYq4LNgBzQ7JPnqdXL+VKbNzI0ZpZAjArGKSgsAGXAZhtiFCACX7rl0NT8o5cvjKOzwdsq3e8pQ3TG8udPy0y8fhp0mDbr+xrSBI5cjZRgZUjaSMdx32vBxE1sI8lPeANWciHz0qYP7CNO5ix27uRXWpx25Of2dmx6zumrq//3UU6h/GBbzuuyyw9ob7J3hr8H6ibcKQJdgAgCHmGBGym0DDCOAMXKx8lyus6ft/XhItrfYNkC3HftqIUPVZYAbS01KNleJzHTk0y8dRKnDwkC9KMVP5q+x8syAK+9czO9yqYE20m9IQS5xHA6w2zzj2yo18SFJjX7JSyY1Ww7Zd9303HgsItnuDdY3PSdPs+k53YQVUrwCrLnaV7oe4wzEAWyArt+kCBrm22cXPxVeaLWsw87F3ktkNSw/qSvitusSFWAg6iJIEYKsNCsEIpeVFmfPDGR6SGaFkmwiQEnLiUCDPFXXyNJYXksv6CA1HRbI6qVm8WReh9qclREJd5bS4biYYkghgICDPYVjcUjCUfoc0nIjbNXnfB8Fd9MorJ8nXjQtLb2Tqj3/CuZHHz/ArKJnvuCTwc0HuN05zfOfLcApG2wd8/cQw+tNFspzOSA7LWk+Sy7oBhdt02Hb31Pz4aHH235Ie/vd4pU0z+VA/Y4j8HtT0OrsziNxUH/eqwh+ntX5z+303DxHDdl+KvPo0BWm6h++k3Hc9OKBmw2/MPzSm0fJV7tsf+UFcfkjvZ3nrpei4Xbsla84Y7Zb/evz+pZaGC+aYLzoDuNFE4xtXtDQ6U0BLXHUbwqo24Db87UBtUCeNQF51h3Isz7y+BhAPtILhRoCv3z0WfhXXqAKlLWh4OqD/uqDXnmhA8N2hNQHhyvMPIMQcQu9HULERxlzHyfY2oyqyTd3CHS50n1E0aujYo6Oaw3rEeJr5UUO7SC95I6wshdtjxJatuSt4Z0SDXT+j0Wbz1XZ1jjjbmWGdrT+IhB80BTV565Q096ji7PNZOipKuyQ1+q957LGW7RP62zluG02VG88yneUQAiLs94qBHMxZy5GCGGtovvlu64/T75rFZiaZGi/A72ouh8TvrDQCwu/sM4vzjtITu/T3/ePJjmbGVHoIGUBOCQMUUJ4KSOUry7q7pkTvT8kGSlzonzLGwRbyEh1V+lwkVjEmkTBNLUW4UymqQhGXmyNpbCWB07sL/8IweoWtz91kKdHPwneRWSIzV2gt4swChmgqFjvx7ZDqcMQYI7LKEXN6/31qFa3kX4jJjLMFEPvBfwmFlLF+non9FSNPLzvgF7vnaWjD/CpwKU2oRA4KgCg0CEYFCsUSk2VPgIVanEHALTnCedRnjc7EH0kKItIOGxps1+u/hcJfV38x5mv/wtQSwcI8ERz8voNAACjZgAAUEsBAhQAFAAIAAgACqboPL1cAqreCwAAWw4AADEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGI1YTFlNzczY2I3MzBjNzcwOWJhNWVhNmRjOGQ1Zjk2XEJld2Vpc3NjaGVtYS5wbmdQSwECFAAUAAgACAAKpug8IGKtYUkIAABzCgAAMQAAAAAAAAAAAAAAAAA9DAAANDYxNWE2MDE2YzMxNjhiM2I2MDc5ZWMzNTk1MDI1NGRcQmV3ZWlzc2NoZW1hLnBuZ1BLAQIUABQACAAIAAqm6DzwRHPy+g0AAKNmAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAOUUAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAMAAwD4AAAAGSMAAAAA" 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== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::::Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn <math>\overline{AP} \tilde {=} \overline{BP}</math> gilt.

 

=====Bezug zur Schule:=====
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke <math>\overline{AB}</math>

gesucht: <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

Frage: ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

===== Beweis von Satz VII.6 a =====

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.

Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:
::Wir wissen, eine Implikation ''aus a folgt b'' bedeutet, dass ''a'' eine hinreichende Bedingung für ''b'' ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?

::Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt <math>\ P</math> zu zwei verschiedenen Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> liegt.
::Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>. 

Beweis: Übungsaufgabe
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 11/12

2012-01-12T14:56:48Z

Lottta: /* So ist es zu verstehen */

= Winkel =
==Übungsblatt==
{{pdf|Uebungsblatt_01.pdf|Das Übungsblatt zur Vorlesung}}
==Videos==
{{#ev:youtube|z53LN9aGMOg}}
{{#ev:youtube|M1pMJcQp9Is}}
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel <math>\angle pq</math> verseht man die Vereinigungsmenge der beiden Stahlen p und q mit dem gemeinsamen Scheitelpunkt S.
<math>\angle pq:= \left\{ {\\ SP^{+} } \right\} \cup \left\{ {\ SQ^{+} } \right\}</math>--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:59, 12. Dez. 2011 (CET)
 

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

da sieht man mal wieder, dass viele mathematiker keine künstlerisch-malerische seite besitzen....grün und blau gibt doch nicht rot :-P

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====

Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge der beiden Halbebenen <math>\ ASB^{+}</math> und <math>\ BSA^{+}</math>--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:03, 12. Dez. 2011 (CET) 

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
 Def.1: Scheitelwinkel sind zwei Winkel, deren Schenkel vereinigt je eine Gerade bilden. 
Def.2: Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Schenkel zwei sich schneidende Geraden bilden.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:11, 12. Dez. 2011 (CET)
: Was heißt denn "Schenkel bilden eine Gerade"? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 14:01, 6. Jan. 2012 (CET) 
: Die Vereinigungsmenge der Punktmenge von zwei Schenkeln ergibt die Menge einer Gerade. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 19:35, 6. Jan. 2012 (CET)

Eine kure Frage: Darf man dann nicht einfach "..., wenn jeweils ein Schenkel von < ASB mit einem Schenkel von < CSD EINE GERADE BILDEN" schreiben?

und ist diese Definition okay: "Zwei Winkel < ASB und < CSD sind Scheitelwinkel, wenn die Vereinigungsmenge der Punktmengen von jeweils einem Schenkel von < ASB mit genau einem Schenkel von < CSD die Menge aller Punkte einer Geraden ergeben." --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 19:14, 11. Jan. 2012 (CET)

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
 
zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen identischen Schenkel haben und der jeweils andere Schenkel dieser Winkel eine Gerade bildet.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:13, 12. Dez. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal WS 11/12

2012-01-12T14:36:43Z

Lottta:

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

<ggb_applet width="598" height="267" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... 
...zu den Endpunkten A und B der Strecke AB ein und den selben Abstand hat, dann ist M Mittelpunkt der Strecke AB.--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 15:36, 12. Jan. 2012 (CET)

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

{{#ev:youtube|5KkJuWgNNeY}}

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal WS 11/12

2012-01-12T14:36:16Z

Lottta:

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

<ggb_applet width="598" height="267" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... 
...zu den Endpunkten A und B der Strecke AB ein und den selben Abstand hat, dann ist M Mittelpunkt der Strecke AB.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

{{#ev:youtube|5KkJuWgNNeY}}

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Auftrag der Woche 10 (WS 11/12)

2012-01-11T14:09:24Z

Lottta: /* Mittelschwere Aufgaben: */

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]Entwerfen Sie eigene Klausuraufgaben für Ihre Kommilitoninnen und Kommilitonen und stellen Sie diese hier ein. Schreiben Sie bitte keine Übungs- oder Tutorienaufgaben ab, sondern erfinden Sie wirklich neue eigene Aufgaben. Ordnen Sie Ihre Aufgaben in Schwierigkeitsgrade ein. 

== '''Leichte Aufgaben:''' ==

'''Definiere Wechselwinkel''' 
Es seien a, b zwei nicht identische Geraden, wenn a und b von einer weiteren Geraden c (die nicht identisch zu a und b) geschnitten werden, dann sind Wechselwinkel die Winkel, welche bezüglich c in verschiedenen Halbebenen liegen und bezüglich a in der gleichen Halbebene liegen und bezüglich b in der gleichen Halbebene liegen. Meint ihr, diese Definition ist korrekt?--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 10:13, 6. Jan. 2012 (CET) 
* Die zwei sind dann Wechselwinkel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 07:39, 10. Jan. 2012 (CET) 
 
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Ich habe versucht, deine Definition darzustellen. Allerdings stimmt das noch nicht ganz. Denn die Winkel liegen nicht komplett innerhalb der selben Halbebene bezüglich a und b. Deine Definition ist also noch nicht ganz korrekt.
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:52, 10. Jan. 2012 (CET)

'''Definiere Achtelkreis:'''--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 07:39, 10. Jan. 2012 (CET) 

...

== '''Mittelschwere Aufgaben:''' ==

1. Definiere ein Quadrat, beziehe dich dabei auf Strecken! 
: Ein Quadrat ist ein Viereck bei dem drei Strecken konguent sind und zwei Seiten senkrecht aufeinander stehen.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 07:39, 10. Jan. 2012 (CET) 
* Achte auf die Nutzung der Wörter Strecke und Seite - das ist so noch nicht ganz korrekt. Ansonsten gibt es natürlich noch andere Lösungen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 23:00, 10. Jan. 2012 (CET)
1.b. Definiere das Innere des Quadrates! --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:20, 21. Dez. 2011 (CET) 
: Es sei ABCD ein Quadrat, das innere des Quadrates ist die Schnittmenge von AB,C+ mit BC,D+ mit CD,A+ mit DA,B+. 
: Gehören die Seiten beim Quadrat zum inneren dazu? Bei der Halbebene, bei den Winkel nehmen wir sie dazu, ist sicherlich beides möglich, aber was ist Sinnvoll?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 07:39, 10. Jan. 2012 (CET) 
Da Halbebenene geschlossen sind, ist nach einer Definition das Quadart (also die Seiten) enthalten. Was sinnvoller ist, darüber könnte man sich streiten - das kommt auf den Beweis an, für den man die Definiton benötigt oder auf den Kontext - was man eben sagen möchte.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 23:00, 10. Jan. 2012 (CET) 

...

Aus einer alten Probeklausur, wir haben leider die Lösung nicht und sin uneinig, bitte fleißig mit abstimmen! 
gRh sei definiert als: Die Geraden g und h haben genau einen Punkt gemeinsam. Welche Aussagen treffen zu? 
1. R ist keine Relation in der Menge aller Geraden. 
2. R ist eine reflexive Relation in der Menge aller Geraden. 
3. R ist eine symmetrische Relation in der Menge aller Geraden. 
4. R ist eine transitive Relation in der Menge aller Geraden. 

--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 10:13, 28. Dez. 2011 (CET)

Ich würde sagen nur Punkt 3 trifft zu.
denn 1. ist es eine relation (wieso auch nicht?)
2. reflexiv ists nicht, denn g hat mit g selbst mehr als 1 Punkt gemeinsam, nämliche alle Punkte von g
3. wenn g mit h genau einen gemeinsam hat, dann auch h mit g genau einen gemeinsam
4. trifft nicht zu, wenn man an 2 Parallelen a und b denkt, die von einer dritten Gerade c geschnitten werden --> aRc und bRc aber nicht aRb. Richtig so??? :) --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 15:09, 11. Jan. 2012 (CET)

== '''Schwere Aufgaben:''' ==

Beweisen Sie den folgenden Satz: Wenn Alpha ein rechter Peripheriewinkel über der Sehne<math>\overline{AB}</math>
eines Kreises k ist, dann ist <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser des Kreises k.--[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:56, 28. Dez. 2011 (CET)

 
[[Bild:eee.png]]
Dies ist eine Aufgabe aus der letzten ATP.
Wir waren gersten in der Lerngruppe sehr gefrustet, da wir mit der Lösung nichts anfangen konnten, wir haben lange mit dem Aplet von Tutorim 3 experimentiert,
und sind der Meinung, es müsste heißen: <math>k_{1} \theta k_{2}: \Leftrightarrow \left| r_{1} -r_{2} \right| < \left| M_{1} M_{2} \right|< \left| r_{1} +r_{2} \right|</math>
Zu meiner Begründung, der erste Teil, wenn die Kreise nicht ineinander liegen, und die Summe der zwei Radien kleiner ist als der Abstand der beiden Mittelpunkte,
so haben die Kreise keinen Schnittpunkt und sehen somit nicht in Relation. Das Gleich zeichen würde ich auch weg lassen, da es heißt gemeinsame Punkte
und nicht einen gemeinsamen Punkt somit also mindestens zwei. Den hintern Teil mit der Differenz der Radien kann ich nachvollziehen,
wenn die Kreise ineinander liegen. Würde aber das gleich weg lasen.
Wie seht Ihr das?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:10, 3. Jan. 2012 (CET)
Ja genau ist in der Lösung unserer Meinung nach eindeutig Falsch!!! Möchten nicht wissen wie viele arme Komilitonen dewegen unberechtigt durchgefallen sind.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 15:48, 5. Jan. 2012 (CET) 

RicRic, Sie haben natürlich recht, dass hier in der angegebenen Lösung das erste <math>\le</math>-Zeichen ein <math>\ge</math>-Zeichen sein muss. Bitte seien Sie deswegen nicht frustiert, sondern erfreut, dass Sie diesen Fehler gefunden haben, super. 
LGDo12, Sie können aber sicher sein, dass deswegen niemand unberechtigt durchgefallen ist. Die Vorstellung, dass wir Klausuren korrigieren (können), indem wir eine Musterlösung an die Seite legen und blind diese abarbeiten ist völlig falsch. Vielmehr sind wir auch aufgrund der vielfältigen Lösungsvorschläge in den Klausuren gezwungen, jede Klausur und jede Lösung individuell durchzuarbeiten. Bei Durchfallern dann sogar mehrmals. Die richtige Lösung der Aufgabe finden Sie übrigens auch in den Lösungen von Tutorium 3. 
RicRic, Ich bin übrigens der Meinung, dass die Aussage: gemeinsame Punkte zu haben, auch auf genau einen gemeinsamen Punkt zutrifft, sonst müsste es nämlich heißen: mind. zwei gemeinsame Punkte. Aber auch darüber kann man sicherlich trefflich diskutieren! In der Klausur haben wir beide Lösungen akzeptiert!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 21:26, 7. Jan. 2012 (CET)
... 
'''Beweise!''' Genau dann wenn sich die Diagonalen in einem Viereck halbieren und senkrecht aufeinander stehen, sind alle vier Seiten gleich lang <s>und die vier Innenwinkel rechtwinklig.</s>Korregiere hier, die Winkel müssen nicht rechtwinklig sein.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:29, 3. Jan. 2012 (CET)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:29, 23. Dez. 2011 (CET) 
Also dann stelle ich mal meinen Lösungsvorschlag ein: '''An dieser Stelle noch angemerkt: Ich bin für jeden Komentar dankbar, ich weiß dass x Leute dies hier lesen, also bitte auch kurz komentieren, z.B. cool, oder kann ich nicht nachvollziehen, oder könnte da ein Fehler sein, oder sehe ich anders......; Wir wollen doch alle gute Lehrer werden :-)''' 
Def.:Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
Implikation: Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, stehen die Diagonalen Senkrecht aufeinander und halbieren sich. 
Vorr.: Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit den Seiten a,b,c,d mit: <math>a \tilde {=} b \tilde {=}c \tilde {=} d \tilde {=} a</math> 
Beh.: <math>AC \perp DB \wedge \overline{AM} \tilde {=} \overline{MC} \wedge \overline{BM} \tilde {=} \overline{DM}</math> 

Beweis:
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{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| (1)<math>a \tilde {=} d</math> || Vorr
|-
| (2)<math>a \tilde {=} d</math> || Vorr
|-
| (3)<math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{AC}</math> || trivial
|-
| (4)<math>\overline{ACD} \tilde {=} \overline{ABC}</math> || SSS, (1),(2),(3)
|-
| (5)<math>a \tilde {=} b</math> || Vorr
|-
| (6)<math>c \tilde {=} d</math> || Vorr
|-
| (7)<math>\overline{BD} \tilde {=} \overline{BD}</math> || trivial
|-
| (8)<math>\overline{ACD} \tilde {=} \overline{ABC}</math> || SSS, (5),(6),(7)
|-
| (9)<math>\angle AMB \tilde {=} \angle AMD</math> || (4)
|-
| (10)<math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{AM}</math> || trivial
|-
| (11)<math>\overline{AMD} \tilde {=} \overline{AMB}</math> || SWS, (9),(10),(1)
|-
| (12)<math>\overline{MD} \tilde {=} \overline{MB}</math> || (11)
|-
| (13)<math>\angle AMD \tilde {=} \angle AMB</math> || (11)
|-
| (14)<math>\left| \angle AMB \right| = 90 = \left| \angle AMD \right|</math>|| (13), Nebenwinkel, Sublementaxiom
|-
| (15)<math>\angle MDC \tilde {=} \angle MDA</math> || (8)
|-
| (16)<math>\overline{MD} \tilde {=} \overline{MD}</math> || trivial
|-
| (17)<math>\angle MDC \tilde {=} \angle AMD</math> || SWS (15),(16),(6)
|-
| (18)<math>\overline{MC} \tilde {=} \overline{MA}</math> || (17)
|-
| (19)<math>\angle AMD \tilde {=} \angle DMC</math> || (17)
|-
| (20)<math>\left| \angle AMD \right| = 90 = \left| \angle DMC \right|</math>|| (19),(17), Nebenwinkel, Sublementaxiom
|-
| (21)<math>AC \perp DB \wedge \overline{AM} \tilde {=} \overline{MC} \wedge \overline{BM} \tilde {=} \overline{DM}</math> q.e.d. || (14),20),(18),(12), Def Senkrecht
|}
Umkehrung: Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren, dann hat das Viereck vier konguente Seiten. 
Vorr.: Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit: <math>AC \perp DB \wedge \overline{AM} \tilde {=} \overline{MC} \wedge \overline{BM} \tilde {=} \overline{DM}</math> 
Beh.: Für die Seiten a,b,c,d von <math>\overline{ABCD}</math> gilt: <math>a \tilde {=} b \tilde {=}c \tilde {=} d \tilde {=} a</math> 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| (1)<math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{MC}</math> || Vorr.
|-
| (2)<math>\overline{MD} \tilde {=} \overline{MD}</math> || trivial
|-
| (3)<math>\left| \angle AMD \right| = 90 = \left| \angle DMC \right|</math> || Def. Senkrecht, konguente Nebenwinkel, sind rechte Winkel
|-
| (4)<math>\angle AMD \tilde {=} \angle DMC</math> || (1),(2),(3), SWS
|-
| (5)<math>c \tilde {=} d</math> || (4)
|-
| (6)<math>\overline{DM} \tilde {=} \overline{MB}</math> || Vorr.
|-
| (7)<math>\overline{MC} \tilde {=} \overline{MC}</math> || trivial
|-
| (8)<math>\left| \angle CMD \right| = 90 = \left| \angle BMC \right|</math> || Def. Senkrecht, konguente Nebenwinkel, sind rechte Winkel
|-
| (9)<math>\angle DMC \tilde {=} \angle CMB</math> || (5),(6),(7), SWS
|-
| (10)<math>c \tilde {=} b</math> || (9)
|-
| (11)analog für <math>\angle AMB \tilde {=} \angle AMB</math> ||
|-
| (12)<math>\overline{ABCD}</math> gilt: <math>a \tilde {=} b \tilde {=}c \tilde {=} d \tilde {=} a</math> q.e.d.|| (5),(10),(11)
|}
Kriterium: Genau dann wenn sich ein einem Viereck <math>\overline{ABCD}</math> die Diagonalen halbieren und Senkrecht aufeinander stehen, sind in diesem Viereck <math>\overline{ABCD}</math> alle vier Seiten konguent zueinander.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 09:34, 8. Jan. 2012 (CET) 

!!!!Müsste es in Schritt 4 und 9 nicht heißen, dass die Dreiecke kongruent sind?? Ansonsten finde ich die Lösung sehr anschaulich!!!!--[[Benutzer:Snake luzifer|Snake luzifer]] 13:10, 8. Jan. 2012 (CET) Stimmt! Habe ich im Formeleditor wohl verhaspelt. Danke.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 19:25, 9. Jan. 2012 (CET) 

Ich finde, du brauchst Voraussetzungen nicht mehrmals nennen, dafür gibt es ja die Nummern (Siehe in Beweis Teil 1 - Nr. 1,2,5) 
Ich habe nicht nachvollziehen können, wie du Schritt 9 durch (4) begründest - Warum das? 
Mehr sage ich dazu mal nicht, es sollen noch andere zu Wort kommen!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:31, 11. Jan. 2012 (CET)

== '''Weihnachtliche Spezialaufgabe:''' ==
 Ich mache mal den Anfang:) --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 23:14, 14. Dez. 2011 (CET) :
''Wie fängt man den Weihnachtsmann?'' 
Lösungsvorschläge: 
1. Die geometrische Methode: 
Man stelle einen zylindrischen Käfig im Wald auf eine schneebedeckte Lichtung: 
'''Fall 1:''' Der Weihnachtsmann ist innerhalb des Käfigs. Dieser Fall ist trivial. 
'''Fall 2:''' Der Weihnachtsmann ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und führe eine Inversion* an den Käfigwänden durch. So gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig und man selbst nach draußen. Man achte darauf, dass man sich nicht in die Mitte des Käfigs stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet. 
2. Die Projektionsmethode:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Erde eine Ebene ist. Wir projizieren nun diese Ebene auf eine Gerade, die durch den Käfig läuft, und diese Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig. 
(Quelle und weitere Methoden unter: www.unterhaltungsspiele.com) 
Inversion*: ist eine Spiegelung am Kreis, nicht ganz vergleichbar mit einer Geradenspiegelung, weiters unter: http://de.wikipedia.org/wiki/Inversion_%28Geometrie%29
 Alsoo diese Spezialaufgabe halte ich erst für lösbar, wenn mann mindestens 3 Glühwein .... vorher lohnt sich der Gedanke kaum...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:17, 21. Dez. 2011 (CET)

Strecken WS 11/12

2012-01-11T14:00:11Z

Lottta:

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)...Die Punktmenge, die A und B sowie alle Punkte, die zwischen A und B liegen, enthält, heißt StreckeAB (weiß nicht wie der Strich über AB geht..) --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 15:00, 11. Jan. 2012 (CET)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)....Der Abstand /AB/ heißt Länge der Strecke AB. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 15:00, 11. Jan. 2012 (CET)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie)
 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
(ergänzen Sie)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise WS 11/12

2012-01-10T15:16:36Z

Lottta:

==Implikationen==
Im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
Sind die Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden kongruent, so sind diese Geraden parallel zueinander.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
*Schneidet man zwei parallele Geradan sind die Wschselwinkel kongruent zueinander und genau dann wenn bei geschnittenen Geraden die Wechselwinkel konguent sind, sind die Geraden parallel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)
**Das lässt sich besser in einem Satz ohne UND aufschreiben. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:44, 3. Nov. 2011 (CET)
*Genau dann wenn zwei Wechselwinkel konguent sind, sind die geschnittenen Geraden parallel--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 21. Dez. 2011 (CET) 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

Werden nicht parallele Geraden geschnitten, so sind die Wechselwinkel nicht kongruent.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:37, 1. Nov. 2011 (CET)
 Werden zwei nicht zueinander parallele Geraden geschnitten, so sind die dabei entstehenden Wechselwinkel nicht konkruent zueinander.--Anna S 22:02, 14. Nov. 2011 (CET) 
Die zweite Formulierung ist eindeutig. Hier wird klar das Parallelität eine Relation zwischen zwei Geraden ist ("zueinander") und es sich um diese Wechselwinkel und nicht ander handelt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:24, 23. Dez. 2011 (CET)

Sind die Kontrapositionen von Ricric und Anna nicht falsch rum?? Beim Wechselwinkelsatz ist doch Vor:geschnittene Parallelen und Beh:Wechselwinkel sind kongruent. Dann müsste die Kontraposition doch lauten: Wenn Wechselwinkel an geschnittenen Geraden nicht kongruent sind, dann sind die geschnittenen Geraden nicht parallel zueinander. so ists doch richtig, oder? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:53, 10. Jan. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise WS 11/12

2012-01-10T12:53:14Z

Lottta:

==Implikationen==
Im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
Sind die Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden kongruent, so sind diese Geraden parallel zueinander.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
*Schneidet man zwei parallele Geradan sind die Wschselwinkel kongruent zueinander und genau dann wenn bei geschnittenen Geraden die Wechselwinkel konguent sind, sind die Geraden parallel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)
**Das lässt sich besser in einem Satz ohne UND aufschreiben. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:44, 3. Nov. 2011 (CET)
*Genau dann wenn zwei Wechselwinkel konguent sind, sind die geschnittenen Geraden parallel--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 21. Dez. 2011 (CET) 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

Werden nicht parallele Geraden geschnitten, so sind die Wechselwinkel nicht kongruent.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:37, 1. Nov. 2011 (CET)
 Werden zwei nicht zueinander parallele Geraden geschnitten, so sind die dabei entstehenden Wechselwinkel nicht konkruent zueinander.--Anna S 22:02, 14. Nov. 2011 (CET) 
Die zweite Formulierung ist eindeutig. Hier wird klar das Parallelität eine Relation zwischen zwei Geraden ist ("zueinander") und es sich um diese Wechselwinkel und nicht ander handelt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:24, 23. Dez. 2011 (CET)

Sind die Kontrapositionen von Ricric und Anna nicht falsch rum?? Beim Wechselwinkelsatz ist doch Vor:geschnittene Parallelen und Beh:Wechselwinkel sind kongruent. Dann müsste die Kontraposition doch lauten: Wenn Wechselwinkel an geschnittenen Geraden nicht kongruent sind, dann sind die geschnittenen Geraden keine Parallelen. so ists doch richtig, oder? --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:53, 10. Jan. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2011-10-20T21:53:57Z

Lottta:

Hallo,

mich würde interessieren ob die Vorlesung und die Übung am Montag ausfallen oder nicht.

Vorlesung 14-16 uhr
Übung 16-18 uhr

Danke--[[Benutzer:Celebino|Celebino]] 11:55, 1. Mai 2011 (CEST)

Hallo,

kann mir einer von euch sagen, wie genau das mit dem Hochladen von Bildern funktioniert? Hab mein Bild zwar irgendwie hochgeladen, aber irgendwie ist es nicht da, wo es sein soll...

Liebe Grüße
Verteidigungswolf

-hust- Das Wort "Hochladen" im Menue links "Werkzeuge" zwischen "Änderungen an verlinkten Seiten" und "Spezialseiten"

ja soweit hatte ich das auch...und wie bekomm ich das Bild dann dahin wo ich es haben will?? 
Schauen Sie mal hier nach: [[Bilder_einbinden|Bilder_einbinden]]--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:53, 10. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Hallo,

ich weiß jetzt nicht wer die Axiome, Definitionen und Sätze ergänzt, da dies wohl von Studierenden gemacht wird. Falls diese Studierenden alle korrekten Axiome, Definitionen und Sätze haben, wäre es nett, wenn diese komplett ergänzt werden könnte. Man kann zwar die "Sachen" sich selbst in den Skripten zusammen suchen, aber dort sind nicht alle korrekt und vor allem sind sie nicht vollständig, denn es kommen jede Woche welche hinzu.
Oder gibt es die HP vom SS10 noch, sodass man sich die ganzen Sachen komplett mal ausdrucken kann?

Vielen Dank.

lg
Flo21--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 18:20, 16. Jan. 2011 (UTC)

Hallo,
ich wollte mal nachfragen, wann die Lösungen zum Tutorium 10 (und dann auch 11) eingestellt werden? Es scheint ein Problem gegeben zu haben mit dem Einstellen der Lösung von Tutorium 11.
Problem behoben, danke für den Hinweis!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:18, 25. Jan. 2011 (UTC)

Hallo,
wie mache ich das denn, dass unter meinen Beiträgen mein Benutzername, Datum, usw. erscheint? bei meinen eigenen Einträgen sind die Beiträge zwar gespecihert, aber man sieht nicht, dass "Lottta" sie geschrieben hat...?! hoffe auf hilfe ;) danke 
Du musst einfach hinter deinen Beitrag noch etwas anfügen. Dazu musst du, wenn du im "Bearbeitungsmodus" bist, den Button "Deine Signatur mit Zeitstempel" anklicken. Das ist der, der rechts neben dem "durchgestrichenen W" ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:26, 20. Okt. 2011 (CEST) 
Super, vielen Dank =) Mal sehn obs klappt...--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 23:53, 20. Okt. 2011 (CEST)

Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2011-10-19T12:18:09Z

Lottta:

Lösung von Aufgabe 1.4 (WS 11 12)

2011-10-19T12:15:14Z

Lottta:

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei einander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

Das wäre doch eher eine Behauptung, die man beweisen müsste.
Wäre eine mögliche Definition:
Jedes Dreieck, das zwei kongruente Innenwinkel hat, heißt gleichschenkliges Dreieck.--[[Benutzer:Lindi 88|Lindi 88]] 17:02, 18. Okt. 2011 (CEST)

Hier müssen wir bei der Formulierung aufpassen. Gleichschenklige Dreiecke haben zwei zueinander kongruente Innenwinkel, das ist richtig. Allerdings haben gleichseitige Dreiecke ebenfalls zwei kongruente Innenwinkel. Man müsste sagen, Dreiecke, die genau zwei kongruente Innenwinkel haben, heißen gleichschenklige Dreiecke. Die Definition oben ist in meinen Augen eine Existenzaussage und keine Definition. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:42, 18. Okt. 2011 (CEST)

@ Schambes: naja...aber gleichseitige Dreiecke sind ja nunmal auch gleichschenklige. Ist die Definition von Lindi88 dann nicht doch richtig? Oder ist sie dann zu ungenau? (Lottta, 19.10.11.)

Lösung von Aufgabe 1.4 (WS 11 12)

2011-10-19T12:12:51Z

Lottta: