Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Quiz/Spiel der Woche 11 (SoSe 26)

2026-06-27T12:26:52Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „https://learningapps.org/display?v=ppf4e8kdn01 Verkettungs-Memory“

[[https://learningapps.org/display?v=ppf4e8kdn01 Verkettungs-Memory]]

Lösung von Zusatzaufgabe 11.1P (SoSe 26)

2026-06-27T12:26:15Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit zwei parallelen Achsen vertauscht? Kategorie:Geo_P“

Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit zwei parallelen Achsen vertauscht? 

[[Kategorie:Geo_P]]

Zusatzaufgaben 11 (SoSe 26)

2026-06-27T12:25:51Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 11.1== Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit zwei parallelen Achsen vertauscht? Lösun…“

==Aufgabe 11.1==
Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit zwei parallelen Achsen vertauscht? 
[[Lösung von Zusatzaufgabe 11.1P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 26)

2026-06-27T12:24:52Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie! Kategorie:Geo_P“

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.4P (SoSe 26)

2026-06-27T12:24:28Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math>…“

#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.3P (SoSe 26)

2026-06-27T12:24:02Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? Kategorie:Geo_P“

Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.2P (SoSe 26)

2026-06-27T12:23:39Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie Satz IX.9: Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </ma…“

Beweisen Sie Satz IX.9: 
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 26)

2026-06-27T12:23:16Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. Kategorie:Geo_P“

Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 11 (SoSe 26)

2026-06-27T12:22:58Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 11.1== Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. Lösung von Aufgabe 11.1P…“

==Aufgabe 11.1==
Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
[[Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 11.2==
Beweisen Sie Satz IX.9: 
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
[[Lösung von Aufgabe 11.2P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 11.3==
Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? 
[[Lösung von Aufgabe 11.3P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 11.4==
#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
[[Lösung von Aufgabe 11.4P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 11.5==
Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 
[[Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 11 (SoSe 26)

2026-06-27T12:21:42Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Gegeben seien zwei parallele Geraden ''a'' und ''b''. Erstellen Sie eine GeoGebra-Applikation die anschaulich zeigt, dass das Ergebnis der Abbildung <math>S_{a…“

Gegeben seien zwei parallele Geraden ''a'' und ''b''. Erstellen Sie eine GeoGebra-Applikation die anschaulich zeigt, dass das Ergebnis der Abbildung <math>S_{a}\circ S_{b} </math> nur vom Abstand der beiden parallelen Geraden ''a'' und ''b'' abhängt, solange die Geraden nur parallel zu den ursprünglichen Geraden verschoben werden. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche SoSe 26, Quiz der Woche SoSe 26, Übungsaufgaben SoSe 26 etc.

2026-06-27T12:20:57Z

Schnirch: /* Woche 10 */

=== Woche 1===
13.04. bis 17.04.26

*[[Auftrag der Woche 1 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_1 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_1 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 1 (SoSe_26)]]

=== Woche 2===
20.04. bis 24.04.26

*[[Auftrag der Woche 2 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_2 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_2 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 2 (SoSe_26)]]

=== Woche 3===
27.04. bis 01.05.26

*[[Auftrag der Woche 3 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_3 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_3 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 3 (SoSe_26)]]

=== Woche 4===
04.05. bis 08.05.26

*[[Auftrag der Woche 4 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_4 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_4 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 4 (SoSe_26)]]

=== Woche 5===
11.05. bis 15.05.26

*[[Auftrag der Woche 5 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_5 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_5 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 5 (SoSe_26)]]

=== Woche 6===
18.05. bis 22.05.26

*[[Auftrag der Woche 6 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_6 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_6 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 6 (SoSe_26)]]

=== Woche 7===
01.06. bis 05.06.26

*[[Auftrag der Woche 7 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_7 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_7 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 7 (SoSe_26)]]

=== Woche 8===
08.06. bis 12.06.26

*[[Auftrag der Woche 8 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_8 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_8 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 8 (SoSe_26)]]

=== Woche 9===
15.06. bis 19.06.26

*[[Auftrag der Woche 9 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_9 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_9 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 9 (SoSe_26)]]

=== Woche 10===
22.06. bis 26.06.26

*[[Auftrag der Woche 10 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_10 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_10 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 10 (SoSe_26)]]

=== Woche 11===
29.06. bis 03.07.26

*[[Auftrag der Woche 11 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_11 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_11 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 11 (SoSe_26)]]

Verkettung von drei Geradenspiegelungen SoSe 26

2026-06-27T12:19:45Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Verkettung von drei Geradenspiegelungen === Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei…“

=== Verkettung von drei Geradenspiegelungen ===
Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei Geradenspiegelungen? (gerne auch als Bild). 

===== Satz X.1: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> an zueinander parallelen Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' ist eine Geradenspiegelung an einer Geraden ''d'' mit <math>d || a </math> und <math>\left| ab \right| =\left| dc \right| </math>. 
'''Beweis:''' 

=====Satz X.2: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math>, an drei Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' die sich in einem Punkt ''S'' schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse ''d'', die durch den Punkt ''S'' verläuft mit <math>\left|\angle ab\right| = \left|\angle dc\right| </math>. 
'''Beweis:''' 

=====Definition X.1 (Schub- oder Gleitspiegelung)=====
Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> entsteht, wenn die zwei Geraden ''a'' und ''b'' parallel zueinander und die dritte Gerade ''c'' senkrecht dazu steht. 
Experimentieren Sie mit der nachfolgenden GeoGebra-Applikation. Welche Eigenschaften der Schubspiegelung entdecken Sie? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="621" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

=====Satz X.3:=====
Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung. 
'''Beweis:''' 

[[Category:Geo_P]]

Die WIKI-Seiten für die Geometrie

2026-06-27T12:19:10Z

Schnirch: /* Materialien für das Studium */

=== Wöchentlich ===
* [[Auftrag der Woche_SoSe_26, Quiz der Woche_SoSe_26, Übungsaufgaben_SoSe_26 etc.‎]]

=== Materialien für das Studium ===
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_26]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_26]]
* [[Relationen_SoSe_26]]
* [[Grundbegriffe der Geometrie - exemplarisch am Beispiel der Begriffe: Punkte und Geraden_SoSe_26]]
* [[Strecken und Halbgeraden_SoSe_26]]
* [[Halbebenen und der Satz von Pasch_SoSe_26]]
* [[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel SoSe_26]]
* [[Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel_SoSe_26]]
* [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26]]

Abbildungsgeometrie
:*[[Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe_26]]
:*[[Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe_26]]
:*[[Die Kongruenzrelation, Geradenspiegelung als Kongruenzabbildung SoSe_26]]
:* [[Der Basiswinkelsatz SoSe_26]]
:* [[Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe_26]]
:* [[Verkettung von drei Geradenspiegelungen SoSe_26]]
[[Kategorie:Geo_P]]

===Fragen zur Vorlesung===
*[[Ist etwas unklar? Bitte fragen Sie hier!]]

===Hilfestellung für ersten Wikieintrag===
*[[Mein erster Wikieintrag]]

[[Category:Geo_P]]

Quiz/Spiel der Woche 10 (SoSe 26)

2026-06-20T13:29:06Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „https://learningapps.org/display?v=ppf4e8kdn01 Verkettungs-Memory“

[[https://learningapps.org/display?v=ppf4e8kdn01 Verkettungs-Memory]]

Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 26)

2026-06-20T13:28:14Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt vertauscht? Kategorie:Ge…“

Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt vertauscht? 

[[Kategorie:Geo_P]]

Zusatzaufgaben 10 (SoSe 26)

2026-06-20T13:27:59Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Zusatzaufgabe 10.1== Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt vertauscht?<b…“

==Zusatzaufgabe 10.1==
Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt vertauscht? 

[[Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 10.5P (SoSe 26)

2026-06-20T13:26:51Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie Satz IX.3: Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{…“

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 26)

2026-06-20T13:26:18Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math>…“

Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet). Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 26)

2026-06-20T13:25:38Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beid…“

Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beiden Achsen liegen, wenn die Drehung durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugt werden soll? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
 
 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 26)

2026-06-20T13:24:33Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie Satz IX.2: Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math…“

Beweisen Sie Satz IX.2: 
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 26)

2026-06-20T13:23:41Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math>\overline{A''B''…“

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math>\overline{A''B''C''}</math> abgebildet. Konstruieren Sie die beiden Spiegelgeraden. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren] 

<ggb_applet width="649" height="515" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIABV6KEQAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIABV6KEQAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vzdctu2Er5OnwLDi3MVSQT/ROVI6URqfpw4beY4p9M5NxmIhChEFMmSlH8yfZy+SV/sLACSIiVKlmRZodxqbIMgFljg28XuR9B2/8fbuY+uaZywMBgouK0qiAZO6LLAGyiLdNKylR9f/tD3aOjRcUzQJIznJB0oRltTlv2g1rZU3pm5A0WdTDSHqnbLwdhtGbo+aY1N3W1NyMRwbU3Hlu0oCN0m7EUQ/kzmNImIQ6+cKZ2Ty9AhqRhzmqbRi07n5uamnWtvh7HX8bxx+zZxFQQzD5KBkl28gOEqnW50Ia6pKu789vFSDt9iQZKSwKEK4qtasJc/POvfsMANb9ANc9PpQLHMroKmlHlTWKalwpo6XCiCtUbUSdk1TaBrqSrWnM4jRYiRgLc/k1fIL5ajIJddM5fGgE9bVw0DG6oqSwWFMaNBmkniTGMnH6t/zeiNHJRfCX3QKQ1Df0z4eOiPP5Cmaip6zgssCw0Ky5JNqryn6rLQZGHIwpQyhuxuSFFDyhhSxtDB2CxhY58OlAnxE8CPBZMYbFfUk/TOp2I+2Y3l2vFzWFPCvoGwzgGVgMN9VX3OvwHl50aOdGmRuKQ1jRdblcr2ks5co2X0dteoPWideq5Tq1ulZtbrtB+Gba4TmyWdoEp8ie91XK0tKiWQR9aobwN2VeNGU+6h0DJOvURD7XWPvsguBr/pahuVdtVT4Nrv5BGonwUdlEy5bLYpUzpPeBjSe8js8WiCkQkhx+pC8DAR7kHR1RAEGYRNZJhQxTayeNlFehcaDKQjG3E5rCMRc0wbfhhdMZiFTBiM3+1CqEMYFBnI1BEWocpAEKCQCHcQ+jQdJEwTmdCJq8caH0K3kGFBTbeRAXPkka6LQVCHjlAH9RrSMdJ5Z9xFmoUsPh42eAS1bD51GFJDlooszAeEYAmBUgZJkLeRzlcD2yoKE1agO6V+lIMkcGRBtEgr2DlzN79Mw6iwoZB2Q2c2LLDOWihJ0rIYpIllKpJpo5KpnvV9MqY+5PMr7ggIXROfRyqhYRIGKcqdQJP3vJhEU+YkVzRNoVeCvpJrcklSevsGpJNct1AtEmifLhyfuYwEv4KX8CH4gKjIpzz+5vnU0LtSixOGsXt1l4DroNv/0TiEoKkBgyh/IJzeySbdxtUmQDpxCHd6c6UTBJq7DU2WVE2vi6WRW1osCHkxK2zBry+SYei7RXMUsiAdkShdxIIcwexivqhXgedTga1IH0AznNk4vL2SoOpyrM93EdRUOYGxNwr9MEawJTXTBIGsHMtSyPCZFVKqkFGFhJpbiblFO+5pQkKUY1kKKTC7nFq2UpyvEqu5GpZIzqZU3Uw4DWcti4Cll3klZc4sWyqWHX5ezMfgbxlu1THxscbsd1ZcrD+jcUB96UgB2HIRLhLp2YV3PusvEvqJpNNXgfsf6sGe/ER4XExhaCm6nLJLHTaHjvJ+Bh7hhv0vTFXedakX03yJvuCjElrRqpbdeu22GOpNHM4vguvP4DUrU+138vX0EydmEXdONIZAPaNL/3NZQiDMu+V+sPgEVuHwiANAphxEBZFFOg1jQTlh2wLBQO//+jMIaAyBEtgm37E+nQPhRKlwS+HZhXleCR7L7YDC8VeII0XikO1L1KC51kWFMxM/mhLOdTMIfHIHEyiDIsb7GLqrUIElxHogNkTSJyJKpTvJ+cJFBMOJXVgyt8A+QbcDpaXxR5E7/lwC5Tf5XCNZPF8q35qVMCjvrlgNnE6idA9ew/PHC58QrtH5w6VmcGlHgssJ53MSuCgQrO1T6N95YaAs+QJR+a5EBHNnQ0TjIEqEFmneDnHRh8SDpZgjxQgU+kAZS4WZmhr7SIW5BYqhqhkkBVIwgwfSRKS5NEto4uIdc10qKE9nu3FLcJati01d2NfEWYpbmhfvY97NPphQj9eKiTj3eOH+E93TD9e9Sc+8qYW1YrADwAef8LnvXgQ80VGRGtZT44zSiHOSX4LPMQkSfqpTzYm7Q0maA2Ue9ls4w/K8kBw3B8kig7byIGc0GspqjvlpHcgqBT2DJKOfMCe/Pi1ev0wmCU0F8bBkItVOhSY+AZpvnoD3mStJ6RQU5yfJXV5L7vJmE8XRpNhEirmS4tCDKI52HIpTtW5jOM7kPj88YT7J95+ak5xeo9PJKpRug6AsUvN5ZOZVKGmToMSrLAfjRoNZTTRvn0CiyZ3ZPEFifveE8FLb9iMk5ktw+pWs/Fam23dr6djbnnL5/imA9Q7c9NWD7yPsePFrC+U8ZLeNw/c7/T2QXRJ5fs3mkc8clu7jlBdPwCnzMGo9ClusccoL6ZRv15xyuodTTpvilDl8+cNJq/uQJLSrU1ZB/sjiOIzrDx29NZhf/YtEYfLv+0h35bVC1uX7evsSdGv5fF354Efw4Fpwh5vAHe4P7rBh4GrtXvVjHfUsYwd0R5vQHe2P7qhh6BrLB4Dqxzjd64gMEvlSoqhoFXxrX1CUOzrljqSo8FcWu1mp/sVFyVxP9dne2c0lH3m+Zae027aNu7aBe10IopqpvW5lp3stfYOfntfpPGkc5Lg+yuJ6uFtYPSu8x43Du1UXcBt8ELMLwyuH4+kmnncw29tkwkd84798uWDL3WA+iLIc64XBLoRwuy2Gh9pi+N1sscOB8Ckp4XZ8R4fiO2oivqUXON+ZI9YwxRq+uBNrrOGONQyyhkc+nE3+fThl89LuMlYYhmr3NLVnm6pqaZakmN84+azGbrtReXgnXtk42NX6hJiTHU4nzxf0cUNB38Awa5knN8I5Us57DhW/4AOI5hfcmNOZxh8s7gfwsHEAN/9wcT+ER41DuDkHjF9whTiKqraC8xbCmHd3qt1JqbokifdbbRtB/HKk35duNjm830n/OXI8OjVsFOh/i0PHRiH+dI8d8/C8fhjzfp8E+r4xibMxh4ibkf2wD7IfGoPs9zsv3Azl5T5QXjYGygYcDb6XkH6QdOxyE4vTpZgvxb5KtjY7iKXpT/mv2fyj/+HQP4d19Uh/bQ7ST/p8btYcnM/9SK5T/icBvJ7/N62X/wdQSwcIz7rzQucIAAD9SwAAUEsBAhQAFAAICAgAFXooRNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICAAVeihEz7rzQucIAAD9SwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAH4JAAAAAA==" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 10 (SoSe 26)

2026-06-20T13:23:06Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 10.1== Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math…“

==Aufgabe 10.1==
Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math>\overline{A''B''C''}</math> abgebildet. Konstruieren Sie die beiden Spiegelgeraden. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren] 

<ggb_applet width="649" height="515" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 

[[Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 10.2==
Beweisen Sie Satz IX.2: 
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
[[Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 10.3==
Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beiden Achsen liegen, wenn die Drehung durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugt werden soll? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
 
 

[[Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 10.4==
Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet). Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
[[Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 10.5==
Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Lösung von Aufgabe 10.5P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 10 (SoSe 26)

2026-06-20T13:20:52Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Mandala ganz einfach selbst gemacht!=== '''Erstellen Sie andere Geogebra-Applikationen, mit denen sich Mandalas oder andere interessante Bilder zeichnen la…“

=== Mandala ganz einfach selbst gemacht!===
'''Erstellen Sie andere Geogebra-Applikationen, mit denen sich Mandalas oder andere interessante Bilder zeichnen lassen. ''' 
(Tipp: Wenn Sie mit rechts auf einen Punkt klicken und auf "Spur an" klicken, ergeben sich die dicken blauen Ortslinien.) 
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
Idee und nachfolgendes Mandala stammt von Anne Zähringer - vielen Dank! 
<ggb_applet width="581" height="494" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Der Punkt A und seine Bilder entstanden durch eine mehrfache Geradenspiegelung. Wo müssen diese Geraden liegen und wie viele Spiegelgeraden sind nöitg?

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche SoSe 26, Quiz der Woche SoSe 26, Übungsaufgaben SoSe 26 etc.

2026-06-20T13:20:05Z

Schnirch: /* Woche 9 */

Quiz/Spiel der Woche 9 (SoSe 26)

2026-06-13T10:45:35Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „[https://learningapps.org/display?v=p9qgr5b6a01 Pferderennen durch die Abbildungsgeometrie]“

[https://learningapps.org/display?v=p9qgr5b6a01 Pferderennen durch die Abbildungsgeometrie]

Zusatzaufgaben 9 (SoSe 26)

2026-06-13T10:43:48Z

Schnirch:

==Zusatzaufgabe 9.1==
ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema:
#Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drachen unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Raute unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 

[[Lösung von Zusatzaufgabe 9.1 (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 9.1 (SoSe 26)

2026-06-13T10:42:05Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: #Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an. #…“

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema:
#Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drachen unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Raute unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Zusatzaufgaben 9 (SoSe 26)

2026-06-13T10:40:09Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Zusatzaufgabe 9.1== ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: #Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymme…“

Lösung von Aufgabe 9.5P (SoSe 26)

2026-06-13T10:36:54Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\…“

''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
 Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 9.4P (SoSe 26)

2026-06-13T10:35:53Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung? #Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. Kategorie:Geo_P“

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 26)

2026-06-13T10:34:43Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhalte…“

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.
 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 9.2P (SoSe 26)

2026-06-13T10:33:26Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Kategorie:Geo_P“

Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung.

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 26)

2026-06-13T10:32:50Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des B…“

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 9 (SoSe 26)

2026-06-13T10:29:11Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 9.1== Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete …“

==Aufgabe 9.1==
Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
 
[[Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 9.2==
Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung.
 
[[Lösung von Aufgabe 9.2P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 9.3==
Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.
 
[[Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 9.4==
#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 
[[Lösung von Aufgabe 9.4P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 9.5==
''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
 Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen. 
[[Lösung von Aufgabe 9.5P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 9 (SoSe 26)

2026-06-13T10:27:06Z

Auftrag der Woche SoSe 26, Quiz der Woche SoSe 26, Übungsaufgaben SoSe 26 etc.

2026-06-13T10:25:46Z

Schnirch: /* Woche 8 */

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 26

2026-06-13T10:24:37Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „== Verkettung von Abbildungen == ===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) ===== :Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereina…“

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="633" height="538" version="4.5" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
...

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis: 

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 
 
'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

==== Definition IX.4 (Translation):====
...

[[Category:Geo_P]]

Der Basiswinkelsatz SoSe 26

2026-06-13T10:22:20Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „== Der Basiswinkelsatz == === Gleichschenklige Dreiecke === ===== Definition VIII.1 : (gleichschenkliges Dreieck) ===== Ein Dreieck mit zwei zueinander kongrue…“

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VIII.1 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Ein Dreieck mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis des Dreiecks und die Innenwinkel an der Basis heißen Basiswinkel.

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VIII.1: (Basiswinkelsatz) =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
Beweis: 
Voraussetzung: Dreieck ist gleichschenklig 

Behauptung: Basiswinkel sind kongruent 
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:gleichschenklig_2.png| 200 px]]
| <math>\left| AC \right|=\left| BC \right|</math>
|
|
|-
| (2)
| [[Bild:gleichschenklig_3.png| 200 px]]
| <math>C\in m</math> mit <math>m</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
|
|
|-
| (3)
| 
| <math>B=S_{m}(A)</math>
|
|
|-
| (4)
| 
| <math>C=S_{m}(C)</math>
|
|
|-
| (5)
| 
| <math>M=S_{m}(M)</math>
|
|
|-
| (6a)
| 
| <math> S_{m} (\angle MAC ) = \angle MBC </math>
|
|
|-
|-
| (6b)
| 
| <math>\angle MAC \tilde {=} \angle MBC </math>
|
|
|-
|}

[[Category:Geo_P]]

Die WIKI-Seiten für die Geometrie

2026-06-13T10:21:03Z

Schnirch: /* Materialien für das Studium */

=== Wöchentlich ===
* [[Auftrag der Woche_SoSe_26, Quiz der Woche_SoSe_26, Übungsaufgaben_SoSe_26 etc.‎]]

=== Materialien für das Studium ===
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_26]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_26]]
* [[Relationen_SoSe_26]]
* [[Grundbegriffe der Geometrie - exemplarisch am Beispiel der Begriffe: Punkte und Geraden_SoSe_26]]
* [[Strecken und Halbgeraden_SoSe_26]]
* [[Halbebenen und der Satz von Pasch_SoSe_26]]
* [[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel SoSe_26]]
* [[Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel_SoSe_26]]
* [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26]]

Abbildungsgeometrie
:*[[Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe_26]]
:*[[Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe_26]]
:*[[Die Kongruenzrelation, Geradenspiegelung als Kongruenzabbildung SoSe_26]]
:* [[Der Basiswinkelsatz SoSe_26]]
:* [[Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe_26]]
[[Kategorie:Geo_P]]

===Fragen zur Vorlesung===
*[[Ist etwas unklar? Bitte fragen Sie hier!]]

===Hilfestellung für ersten Wikieintrag===
*[[Mein erster Wikieintrag]]

[[Category:Geo_P]]

Die Kongruenzrelation, Geradenspiegelung als Kongruenzabbildung SoSe 26

2026-06-05T16:32:35Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „== Streckenkongruenz == ===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) ===== :: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. :: In Zeichen …“

== Streckenkongruenz ==
===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen. 

Aufgrund der Strecken- und Längentreue der Geradenspiegelung sind Strecken und ihre bei einer Geradenspiegelung entstehenden Bildstrecken kongruent zueinander. 

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \tilde {=} \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen. 

Aufgrund der Winkeltreue der Geradenspiegelung und der Eigenschaft winkelmaßerhaltend zu sein, sind Winkel und ihre bei einer Geradenspiegelung entstehenden Bilder kongruent zueinander. 

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \tilde {=} \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \tilde {=} \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \tilde {=} \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

===== Satz VII.4: =====
Bei einer Geradenspiegelung sind ein Dreieck und sein Bilddreieck kongruent zueinander. 
Beweis: ergibt sich unmittelbar aus der Winkel- und Streckenkongruenz der Geradenspiegelung und der Definition Dreieckskongruenz. 

[[Category:Geo_P]]

Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe 26

2026-06-05T16:31:48Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Mittelsenkrechte === Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.<br …“

=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht. 
Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte: Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

=== Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung ===
Es sei ''g'' eine Gerade und <math>P\not\in g</math>, ein beliebiger Punkt der mit ''g'' in der gleichen Ebene liegt. ''P''' sei der Bildpunkt von ''P'' bei der Geradenspiegelung <math>S_{g}</math>. 
Nach der Definition Mittelsenkrechte und der Definition Geradenspiegelung ist die Spiegelgerade ''g'' Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math>.

=== Konstruktion eines Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math> mit Zirkel und Lineal ===
Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math> Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="908" height="528" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAO1YzkAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAO1YzkAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vrrjts2Fv6dPgUhFP0V2+JVUmK38KQoNthJM9jJLopFgECWaJsZWXIk2eNJm//7Kvta+yR7SEq25Fs8t2IaJx5K5OHlfOc755CS+z+tZglayrxQWTpwcNd1kEyjLFbpZOAsynHHd3768bv+RGYTOcpDNM7yWVgOHKYlVTxwhEtGMYtYJxyLoMOwH3XCmONOEONxTIMIR9HYQWhVqBdp9ms4k8U8jORlNJWz8DyLwtJMPC3L+Yte7/r6ultP1c3ySW8yGXVXRewgWGZaDJzq4gUM1+p0TY04cV3c++3NuR2+o9KiDNNIOkirsFA/fvesf63SOLtG1youpwMnwMJBU6kmU9BJCOqgnhaaAyBzGZVqKQvo2rg1OpezuWPEwlS3P7NXKFmr46BYLVUs84HjdomPBQ+o7wsmiO8TB2W5kmlZyeJqzl49Wn+p5LUdVl+ZGZmDyixLRqEeEf3xByIucdFzXWBbECiEsE2urXOpLYgtmC24lWG2O7OizMowK8MAh6Uq1CiRA2ccJgUgqNJxDtZb3xflTSLNeqqKjfb4OehUqM8gTF2giYUc6l33uf4K+DLd0GsriRuzlvnilpPWUwauf/qU5F6K0npOwvfMSfgBNcWRSa3ep+iJeQNamMr8N9+dGekxNbdntPf3m1CwP0XFfq92lX7lHaiYatmKPaWcFdpfaIB4oGmPEQffEB6wnCMcQOERBN6AMEeMwy32kdClh6gHDQxR5CMthykyzsF9+MM8M5hAHAbTtR74JMIwEUOcImx8iiHwJGT8EnyUUJDgHHHopKfHRA9BBWIC7qiPGKxRu6SHQZBCR7iH6QmiGFHdGXuICCT0eJhpVxe+XjoMSZBwkcB6QPBq8GjrzSDvI6q1ERVcKp0vyhZE0SyuL8tsvrYFSEM82kQ9G59aQfFZPwlHMoE8caktidAyTLRHmInGWVqi2ojE1k3ycD5VUXEpyxJ6FehjuAzPw1KufgHpop7byEZZWlzkWfkqSxaztEAoyhJ3veYswY1rsl413NBGA2s28EaDaFx7e+fNoAUtCgnzZ3lRi4dx/FpLbEIDIPk2TW7OchlezTPVVqPfMymnLxdRomIVpv8CsupZNC5onYF0uKozkGZ2tZAsjy9vCmAwWv1b5hnEGB9ybvMDVr2xTYzsNhVRqJ2PBd2g+YHJbqom7rY7VbaTy7WFwpXcKDvJtWc3bl4XZ1myqTL6vwrn5SI3mwcIjrnWaphOEmk4YsItZOboapStLi05qB3r3c0c7irlRxODO8p1YOUgUJUjWxoZvbS1lGtkXCPh1mxT8bodB8RImHJkSyMF9LVLq1TFtZrYradRhYlorlP5TR2tNPl1ol+kqjyvb0oVXVWqYtvh18VsJNcUao+JH2rMfm+LY/0rmacyqSgNxlxki8J6aIPtsYzUDG5tQwVJqM31T1iArY3lJJf1whOzMbOAmdYWW3eqzVC/5Nnsdbp8B1zYWkC/V6+yX0S5mmvOoRGkgSu5YVWsihCySNzsp30QVI90tgB4Sg0NeOeinGa52XtBUIFSu14iZ7DTQqWhl2HoGuYLs4XTeKJs9BHi2jr12faNwaB5L9UMKcNkPg31Nq9SOglvZN6CwYz3Jou3wQHsjQbg5HNr27mUlhZ2vXAxh+GMN7WCFKBdoNXA6ZAug0x7A0vpukDtz3YHb7ewWlntZK3AbGu3LAX0sTh9BbHrXcTazP0rQOZ2hW8g41366Ih9+gYQgwOM5Zjb9cSDIBZls1mYxig128FziMHOZncSuppoKMQaPYvMoqwbJnaoaoAd8HU4X0M7ubd/u3cHfgMf6/IavsC6aAd3Pd/3G5l3JxuVsFG6gtNgYVJmWSVHc/E3FcfSbJJttv6U2i6FTRFqNk9UpMrjmL9SeZRso35hUac7qF99wMdxh4CsojWwWvxU6KFnrCxB9V6qEh49lF3ejseFLLUZhGuM0CHimNnuZAE1kekS1g07RYRWbvUU5ca1y0Of65oVNuFHt+Gq6jNueBN4aq5WaFjLD2upITEXlG5t5Ia0mmLIdAbQqWDITVaoGbXNDr1/V2Ow1VF2vE5L2F6ARlsE0YY1FJnsUGRoG86O86QdHIcPzxJ97pzYYmSL+zswmIx5TFDOmOcSgX2fGyqxLvEF91zucc4I8fxHzyZnp2eTx0ds41o2vOET4YR0wokIWICJSzzuizo6isCjnFLhB65HGX+Y5HxC2BseDnvkdmGP3JPQ413z1OcfG/g4vjuhn25oC7oc4pkQ2BXC84U+vLYi2z7/M3Fu1wPvEfT2cuPsMDfo7bhB78mNyQe8yw7NB304dtmd82KnOkB0MP1rsqfjQ+ILfEa5cKnrB8zbok9nX8Qx/NkTcx4la1LLoiqetHj0yjb9DAUxh1hY+W1y6Ku7HTAeJU+2DqOtJ0v80VPjz08HB9Il2Hd5wAR3XUwDr8IkEDQgNGDwCQR5jPT2RuV5lu/f1e9u2S5+COdZ8fI2bKu73C+UTR/xwHvYDP4jmqGN2SjLEhmmazxGBi/ouZA7j+AOo9gQeshzEPcCu10jwWEcT9dt/CR1E0c4crpuk+oc+1S08+0RFgf8IbSbPkXdyLHj+eHAdyknun5/5GvEuVb8U8cjX1GNWWuuvhL12m+R9oS9j4dg07u4h4t7sKsJWDPEEb86rgq+FQ/Nsyjc9TBhHP5RD/bhsJU8vOGjd38WZaBP9GPG9T4JANp9J3El5Vy/DHqbvsvDtNA/N7EyjXcdJzL845NkuMAneu9qngPomkXVyt7JVQlUgYaB88OnRVa+/HsuVYHev0To6gNG+mIxM8WF+TtTJTIX/whjtbCCeddWQYf//ee/k8H734fPz95/QXZAs4g2qiXM6rSX8CcCuEN0VZyH7+RvbU5UL5wLmavx5uWsecHoOjUbqwGKMszLC53RkXku2GXNJ7H6LYp5N+B7Ww/bNtuEr1uJHLQSaVppeMxKpxvka48dvg2DENx6j307g9CDBqFNg5w9jEG+dtb/FgzCuvw+BmEtg2jHgGgE1oB4VOXr919OB5x9Y4Bzdxdw2vVbeAf8dojzFuLfo/fZUuY6y/9+USH+BX1/OuT8qUNe/crsVMTJPsRJ641LQA8h3mv+IsH88Kf6DeuP/wdQSwcI1g6BliwJAABgKwAAUEsBAhQAFAAIAAgA7VjOQNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACADtWM5A1g6BliwJAABgKwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAMMJAAAAAA==" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt? 
'''Ihre Antwort:'''

 
Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt <math>P'</math>, den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math>? Wenn wir beweisen könnten, dass <math>g</math> tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, ''P''' tatsächlich Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}</math>. 
Nach unserer Konstruktion gilt: <math>\left| AP \right| =\left| AP' \right|</math> und <math>\left| BP \right| =\left| BP' \right|</math>. Wir können also sagen, die beiden Punkte ''A'' und ''B'' haben zu den beiden Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass ''A'' und ''B'' auf der Spiegelachse ''g'' liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass ''g'' die Mittelsenkrechte von <math>\overline{PP'}</math> ist.
Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze: 

===== Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>.

===== Satz VI.1 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> ein und denselben Abstand.
 
Beweisen werden wir die beiden Sätze in der Vorlesung bzw. in der Übung! 

Wir können nun die beiden Sätze VI.1 a und VI.1 b zu einem neuen Satz zusammenfassen:
===== Satz VI.2: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
...

 

[[Category:Geo_P]]

Die WIKI-Seiten für die Geometrie

2026-06-05T16:30:49Z

Schnirch: /* Materialien für das Studium */

=== Wöchentlich ===
* [[Auftrag der Woche_SoSe_26, Quiz der Woche_SoSe_26, Übungsaufgaben_SoSe_26 etc.‎]]

=== Materialien für das Studium ===
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_26]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_26]]
* [[Relationen_SoSe_26]]
* [[Grundbegriffe der Geometrie - exemplarisch am Beispiel der Begriffe: Punkte und Geraden_SoSe_26]]
* [[Strecken und Halbgeraden_SoSe_26]]
* [[Halbebenen und der Satz von Pasch_SoSe_26]]
* [[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel SoSe_26]]
* [[Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel_SoSe_26]]
* [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26]]

Abbildungsgeometrie
:*[[Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe_26]]
:*[[Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe_26]]
:*[[Die Kongruenzrelation, Geradenspiegelung als Kongruenzabbildung SoSe_26]]
[[Kategorie:Geo_P]]

===Fragen zur Vorlesung===
*[[Ist etwas unklar? Bitte fragen Sie hier!]]

===Hilfestellung für ersten Wikieintrag===
*[[Mein erster Wikieintrag]]

[[Category:Geo_P]]

Quiz/Spiel der Woche 8 (SoSe 26)

2026-06-05T16:28:58Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „[https://learningapps.org/display?v=p7hkxg61k17 Quiz zu Spiegelungen] Es lohnt sich mehrmals zu spielen, da per Zufallsgenerator unterschiedliche Fragen erzeu…“

[https://learningapps.org/display?v=p7hkxg61k17 Quiz zu Spiegelungen]

Es lohnt sich mehrmals zu spielen, da per Zufallsgenerator unterschiedliche Fragen erzeugt werden!

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (SoSe 26)

2026-06-05T16:28:13Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun übe…“

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun über '''drei''' Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
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[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (SoSe 26)

2026-06-05T16:27:39Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Las…“

Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Laserlicht im LWL wird jeweils an den Grenzflächen (Glas, Luft) total reflektiert. Die beiden Grenzgeraden ''AB'' und ''CD'' können als ideale Spiegel betrachtet werden. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal den weiteren Weg des Lichts vom Punkt ''P'' aus bis zur Begrenzungslinie <math>\overline{BC}</math>. 

[[Datei:lwl.jpg|500px]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Zusatzaufgaben 8 (SoSe 26)

2026-06-05T16:27:18Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 8.1 == Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt …“

==Aufgabe 8.1 ==
Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Laserlicht im LWL wird jeweils an den Grenzflächen (Glas, Luft) total reflektiert. Die beiden Grenzgeraden ''AB'' und ''CD'' können als ideale Spiegel betrachtet werden. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal den weiteren Weg des Lichts vom Punkt ''P'' aus bis zur Begrenzungslinie <math>\overline{BC}</math>. 

[[Datei:lwl.jpg|500px]]

[[Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.2 (Sternchenaufgabe)==
Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun über '''drei''' Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.4P (SoSe 26)

2026-06-05T16:25:16Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle '…“

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Datei:Baum.png|300px]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.3P (SoSe 26)

2026-06-05T16:24:12Z

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.2P (SoSe 26)

2026-06-05T16:23:44Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie…“

Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.1P (SoSe 26)

2026-06-05T16:23:11Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines…“

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 8 (SoSe 26)

2026-06-05T16:22:40Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „===Anwendungsorientierte Aufgaben im Kontext "Spiegelungen"=== ==Aufgabe 8.1== Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B''…“

===Anwendungsorientierte Aufgaben im Kontext "Spiegelungen"===
==Aufgabe 8.1==
Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

 
[[Lösung von Aufgabe 8.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.2==
Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.

[[Lösung von Aufgabe 8.2P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.3==
Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
[[Lösung von Aufgabe 8.3P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.4==
Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Datei:Baum.png|300px]]

[[Lösung von Aufgabe 8.4P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]