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      <page pageid="14247" ns="0" title="Rechtecke und Quadrate">
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          <rev contentformat="text/x-wiki" contentmodel="wikitext" xml:space="preserve">Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

&lt;ggb_applet
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'''Übungsaufgabe:''' https://learningapps.org/watch?v=pfhhv49dj26</rev>
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      </page>
      <page pageid="1484" ns="0" title="Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen">
        <revisions>
          <rev contentformat="text/x-wiki" contentmodel="wikitext" xml:space="preserve">==Drei nicht kollineare Punkte reichen aus==
===Satz:=== 
::Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.&lt;br /&gt;
Seien dies die Punkte A, B, C mit den Bildern A', B', C'.
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
Dazu nehmen wir an, dass es einen vierten Punkt D gibt, der zwei Bilder D' und D* mit D' &lt;math&gt;\neq&lt;/math&gt; D*.
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
Der Beweis bietet sich in klassischer Tabellenform an.
&lt;br /&gt;

{| class=&quot;wikitable sortable&quot; 
!Schritt!!Begründung
|- 
| 1. &lt;math&gt;Es \ gilt: \ |AD| = |A'D'| = |A'D*| \ ; \ |BD| = |B'D'| = |B'D*| \ , \ |CD| = |C'D'| = |C'D*|&lt;/math&gt; || Annahme D hat zwei Punkte, Definition Bewegung
|- 
| 2. Alle Punkte, für die gilt, dass sie von den Endpunkten einer Strecke je ein und denselben Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte. D. h. A', B' und C' liegen auf dieser Mittelsenkrechten von &lt;math&gt;\overline{D'D*}&lt;/math&gt; || Definition Mittelsenkrechte, (1)
|-
| 3. Es gilt also: koll(A', B', C'). Da eine Gerade immer auf eine Gerade abgebildet wird, gilt auch koll(A, B, C) und das ist Widerspruch zur Voraussetzung - Annahme ist zu verwerfen. || (2), Geradentreue bei Bewegung, Definition kollinear
|}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:20, 13. Mai 2012 (CEST)

==Der Reduktionssatz==
===Satz: Reduktionssatz===
::Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen.
===Beweis===
Es seien &lt;math&gt;A, B, C&lt;/math&gt; drei nicht kollineare Punkte und &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; eine Bewegung.&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;A'=\varphi(A), B'=\varphi(B), C'=\varphi(C)&lt;/math&gt; seien die Bilder von &lt;math&gt;A, B, C&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;
====Fall 1====
&lt;math&gt;A=A', B=B', C=C'&lt;/math&gt;
====Fall 2====
o.B.d.A.
&lt;math&gt;A=A', B=B'&lt;/math&gt;

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=====Wo muss C`liegen=====

&lt;math&gt;C'&lt;/math&gt; muss auf dem Kreis um &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; liegen.&lt;br /&gt;
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.

&lt;math&gt;C'&lt;/math&gt; muss auf dem Kreis um &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; liegen.&lt;br /&gt;
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.

&lt;math&gt;C'&lt;/math&gt; liegt damit in der Schnittmenge der beiden Kreise.

=====Warum wird &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; durch eine Spiegelung an &lt;math&gt;AB&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;C'&lt;/math&gt; abgebildet?=====
Es genügt zu zeigen, dass &lt;math&gt;AB&lt;/math&gt; die Mittelsenkrechte von &lt;math&gt;\overline{CC'}&lt;/math&gt; ist.

&lt;math&gt;AB&lt;/math&gt; ist die Mittelsenkrechte von &lt;math&gt;\overline{CC'}&lt;/math&gt; weil 

&lt;math&gt;|AC|=|AC'|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|BC|=|BC'|&lt;/math&gt;.

====Fall 3====
o.B.d.A.
&lt;math&gt;A=A'&lt;/math&gt;

[[Bild:Reduktionssatz_fall_2.png|400px]]&lt;br /&gt;


Spiegelung an der Mittelsenkrechten von &lt;math&gt;\overline{BB'}&lt;/math&gt; führt auf Fall 2 zurück.

====Fall 4====
&lt;math&gt;A \not= A', B\not=B', C\not=C'&lt;/math&gt;
=====Fall 4.1=====
Umlaufsinn bleibt erhalten
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&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
Hier nochmal mit Bearbeitungsmöglichkeit (Einfügen von Mittelsenkrechten, Strecken etc.)
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 14:11, 29. Apr. 2012 (CEST)
=====Fall 4.2=====
Umlaufsinn bleibt {{Schrift_orange|nicht}} erhalten
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 14:11, 29. Apr. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Elementargeometrie]]</rev>
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