Übungen 09: Unterschied zwischen den Versionen

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Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.<br />
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Austauschlemma: <br />
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Sei <math>B=(v_1, v_2 .... v_r)</math>Basis und <math>b=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n</math>. Falls <math>\lambda_k \neq 0 </math> ist (für ein <math> k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n)</math>, so ist auch die Menge <math> B'=\{v_1,... v_{k-1}, b, v_{k+1}..., v_n\}</math> eine Basis von V.
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X=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.</math><br />
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Gilt <math><X>=\mathbb{R}^4</math>?
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Beweisen Sie das Lemma.
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(Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.)
  
 
==Aufgabe 7==
 
==Aufgabe 7==
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Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:<br />
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Konstruieren Sie eine Basis für den von
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a) <math>\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}</math><br />
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b)<math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}</math>
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v_1 = (1,-2,0,1)\,,\;\, v_2 = (0,0,2,5)\,, \;\, v_3 = (-2,4,2,3)</math>
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erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis  zu einer Basis von <math>{\mathbb R}^4</math>.
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[[Kategorie:Linalg]]

Aktuelle Version vom 9. Juli 2013, 09:18 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Vektoren \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix} und \vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix} linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.


Aufgabe 2

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6) und v_3 = (3,4,5) ein Erzeugendensystem von {\mathbb R}^3 bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche t \in {\mathbb R} die Vektoren v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0) linear abhängig in {\mathbb R}^3 sind.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
X=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.
Gilt <X>=\mathbb{R}^4?

Aufgabe 4

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) \{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}
b)\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}


Aufgabe 5

Sei V ein reeler Vektorraum und a,b,c,d, e \in V. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
v_1=a+b+c, v_2=2a+2b+2c-d, v_3=a-b-e, v_4=5a+6b-c+d+e, v_5=a-c+3e, v_6=a+b+d+e

Aufgabe 6

Austauschlemma:
Sei B=(v_1, v_2 .... v_r)Basis und b=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n. Falls \lambda_k \neq 0 ist (für ein k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n), so ist auch die Menge B'=\{v_1,... v_{k-1}, b, v_{k+1}..., v_n\} eine Basis von V.

Beweisen Sie das Lemma.

(Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.)

Aufgabe 7

Konstruieren Sie eine Basis für den von v_1 = (1,-2,0,1)\,,\;\, v_2 = (0,0,2,5)\,, \;\, v_3 = (-2,4,2,3)

erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von {\mathbb R}^4.

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