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Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-25T08:57:18Z

...s...: /* Satz I.7: */

=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum ===
==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ====
Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

=====Axiom I/0=====

::Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====

::Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====

::Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====

::Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

=====Axiom I/4=====

::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST) 
Unter: http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Eigentlich_ganz_einfach_und_doch_kompliziert:_Punkte,_Geraden_SoSe_11 --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:58, 18. Jun. 2011 (CEST)

=====Axiom I/5=====

::Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I/6=====

::Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Definition I/6: (komplanar)=====

::Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Axiom I/7=====

::Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

==== Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome ====
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
::Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
::Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
::In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I/9: (windschief )=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
::Zwei Ebenen ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====
=====Satz I.5:=====
::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

wo ist satz I.4????--[[Benutzer:Liviana|liviana]] 18:55, 17. Jun. 2011 (CEST)

=====Satz I.6:=====
::Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ist dieser Beweis so richtig?

Ann: Es gibt Ebenen, die weniger als 3 Punkte enthalten

Fall 1: Ebene mit keinem Punkt

→ Widerspruch Axiom I.4

Fall 2: Ebene mit nur 1 Punkt A

1. Ǝ B, C. nkoll (A,B,C) (Axiom I.3)

2. Ǝ E. A,B,C ϵ E (1., Axiom I.4)

→ Widerspruch zur Annahme

Fall 3: Ebene mit nur 2 Punkten

1. Ǝ C. nkoll (A,B,C) (Axiom I.3)

2. Ǝ E. A,B,C ϵ E (1., Axiom I.4)

→ Widerspruch zur Annahme

q.e.d. --[[Benutzer:...s...|...s...]] 10:57, 25. Jul. 2011 (CEST)

Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-25T08:04:52Z

...s...: /* Satz I.7: */

=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum ===
==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ====
Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

=====Axiom I/0=====

::Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====

::Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====

::Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====

::Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

=====Axiom I/4=====

::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST) 
Unter: http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Eigentlich_ganz_einfach_und_doch_kompliziert:_Punkte,_Geraden_SoSe_11 --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:58, 18. Jun. 2011 (CEST)

=====Axiom I/5=====

::Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I/6=====

::Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Definition I/6: (komplanar)=====

::Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Axiom I/7=====

::Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

==== Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome ====
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
::Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
::Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
::In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I/9: (windschief )=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
::Zwei Ebenen ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====
=====Satz I.5:=====
::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

wo ist satz I.4????--[[Benutzer:Liviana|liviana]] 18:55, 17. Jun. 2011 (CEST)

=====Satz I.6:=====
::Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Hat jemand eine Idee, wie man diesen Satz beweisen könnte?
Ich habe so angefangen, komme aber nicht mehr weiter…

Ann: Es gibt Ebenen, die weniger als 3 Punkte enthalten

Fall 1: Ebene mit keinem Punkt (Widerspruch Axiom I.4)

Fall 2: Ebene mit nur 1 Punkt

Fall 3: Ebene mit nur 2 Punkten --[[Benutzer:...s...|...s...]] 10:04, 25. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-23T17:47:18Z

...s...:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 
d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

<ggb_applet width="546" height="527" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 15.1 (SoSe 11)

2011-07-23T17:24:17Z

...s...:

Definieren Sie den Begriff "Tangente an einem Kreis"

Es sei k ein Kreis und t eine Gerade. Wenn t und k nur einen Punkt gemeinsam haben, dann ist t Tangente an k. --[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:24, 23. Jul. 2011 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe 11)

2011-07-23T15:48:31Z

...s...: /* Definition XIX.2 (Zentriwinkel) */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt, dann ist der Winkel ein Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:28, 17. Jul. 2011 (CEST) 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt und seine beiden Schenkel denselben Kreis schneiden, dann ist der Winkel ein Peripheriwinkel.--[[Benutzer:Prayush|Prayush]] 21:21, 17. Jul. 2011 (CEST)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt M eines Winkels <math> \angle AMB </math> der Mittelpunkt eines Kreises k ist, dann ist der Winkel ein Zentriwinkel. ''Dieser Kreis sei ein Umkreis eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>'' --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:31, 17. Jul. 2011 (CEST) Das Kursive wurde nachträglcih eingefügt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:46, 17. Jul. 2011 (CEST) 

Bemerkung m.g.: 
::Nach der Definition wäre jeder Winkel ein Zentriwinkel. Der Begriff macht erst Sinn, wenn er als Relationsbegriff aufgefasst wird: Ein bestimmter Winkel ist ''Zentriwinkel von einem bestimmten Kreis''.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:19, 17. Jul. 2011 (CEST)

Definition (Zentriwinkel): Es sei ABC ein Dreieck und M der Mittelpunkt seines Umkreises k. Jeder Winkel mit Scheitelpunkt M heißt Zentriwinkel des Kreises k.

Ist das so richtig, oder ist nur der Winkel AMB Zentriwinkel? --[[Benutzer:...s...|...s...]] 17:48, 23. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:40, 17. Jul. 2011 (CEST)

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:39, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.4 (SoSe 11)

2011-06-18T09:28:10Z

...s...:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden. 

----

2. '''Beweis:''' Voraussetzung: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>) Behauptung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden Annahme (für indirekten Beweis): zwei der drei Punkte sind NICHT verschieden, also identisch, sagen wir mal, o.B.d.A. <math>A</math> und <math>B</math> 
Aus Axiom I/1 folgt, dass es genau eine Gerade gibt, der <math>A</math> und der dritte Punkt <math>C</math> angehören. 
Da <math>A</math> aber mit <math>B</math> identisch ist (Annahme), gehört <math>B</math> auch dieser Geraden <math>AC</math> an. 
Da es also eine Gerade gibt, der alle drei Punkte angehören, sind sie kollinear, was ein '''Widerspruch''' zur Voraussetzung ist. 
Das gleiche gilt, wenn ich <math>B</math> und <math>C</math> oder <math>A</math> und <math>C</math> in der Annahme identisch setze.
Ich habe das Gefühl, hier viele Schritte gemacht zu haben, die gar nicht notwendig sind - und auch beim nächsten bin ich mir unsicher, ob der überhaupt gebraucht wird:
Falls <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> identisch sind, kann ich einen vierten Punkt wählen, durch den und die drei identischen eine Gerade legen und schon wieder gibt es eine Gerade, die alle drei Punkte enthält und damit einen Widerspruch zur Voraussetzung erzeugt. 

----

3. Kontraposition: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind , dann sind sie kollinear. 

----

keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder? WikiNutzer hat an dieser Stelle schon viel gearbeitet und wir wollen ja nicht, dass er die Simpsons verpasst :) Vllt. könnte an dieser Stelle jemand anderes den Beweis führen... oder ist der Beweis wirklich identisch zu dem Beweis unter Punkt 2? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:50, 26. Mai 2011 (CEST) 

........

Die Beweisführung ist fast identisch zu der in 2.
Die Annahme aus 2 wird in 3 zur Voraussetzung und am Schluss kommt es zu keinem Widerspruch. Es ist also ein direkter Beweis und nicht wie in 2 ein indirekter.

Vor.: A,B,C sind nicht paarweise verschieden → (oBdA) A=B, Fall 1: B ≠ C, Fall 2: B = C

Beh:: koll (A,B,C)

BEWEIS:

Fall 1:

1. A=B, B≠C (Vor. Fall 1)

2. Ǝg: B,C ϵ g (Schritt 1, Axiom I.1)

3. A ϵ g (Schritt 1: A=B)

4. A,B,C ϵ g (Schritt 2, 3)

5. koll (A,B,C) (Schritt 4, Def. Koll)

Fall 2:

1. A=B=C (Vor. Fall 2)

2. ƎP≠C (Axiom I.2)

3. Ǝg: P,C ϵ g (Schritt 2, Axiom I.1)

4. A,B ϵ g (Schritt 1: A=B=C)

5. A,B,C ϵ g (Schritt 3, 4)

6. koll (A,B,C) (Schritt 5, Def. Koll)

q.e.d

--[[Benutzer:...s...|...s...]] 11:28, 18. Jun. 2011 (CEST)

----

5. Umkehrung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear. 
6. Nein, gilt nicht: drei verschiedene Punkte auf einer Geraden sind das Gegenbeispiel --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 20:26, 24. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-06-17T11:25:23Z

...s...: table+

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> <math> a\not\|c </math>
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
<s>Behauptung:</s> Annahme: <math> a\not\|c </math> 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) 

 Informiert euch über die Verwendung/ Bedeutung der Wörter Vorraussetzung, Behauptung, Annahme. In den vorrigen Beweisen wurden die falschen Dinge damit bezeichnet und auch deshalb klappten die Beweise nicht bzw. sie sind nicht korrekt. Unten folgt noch ein guter Ansatz.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:00, 13. Mai 2011 (CEST) 

 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)
 Meine Lösung zu a) sieht so aus: Nach der Vorraussetzung (besser: Annahme)schneiden sich die Geraden a und c in einem beliebigen Punkt A. Die Gerade b jedoch ist parallel zu a und zu c. Nach dem Parallelenaxiom gibt es aber in A höchstens eine Gerade die parallel zu b ist. => Widerspruch. Ist das verständlich? 

-->Ja ich finde das ist verständlich und würde sagen es ist auch richtig.
Müsste man dann als das zu zeigen folgendes schreiben: Es ist zu zeigen, dass es nur eine Gerade gibt, die parallel zu b verläuft und durch A geht? ...könnte jemand diesen letzten Gedanken nochmal in Tabellenform schreiben?--[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 22:53, 10. Mai 2011 (CEST) 
 Ja, versucht doch diese Idee noch in einer Tabelle festzuhalten:--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:51, 13. Mai 2011 (CEST) 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: <math> a\|c </math> 
Annahme: <math> a\not\|c </math> 

{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || <math>\ a \| b </math> || Vor
|-
| (2) || <math>\ b \| c </math> || Vor
|-
| (3) || A ε a, A ε c || Annahme
|-
| (4) || a = c || Euklid. Parallelenaxiom ; Widerspruch: a,b,c paarweise verschieden
|-
|}

--[[Benutzer:Hallelli|Hallelli]] 18:59, 4. Jun. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]
Gut! Besser ist allerdings noch, wenn man genauer begründet. Was ist A? Aus welchen Schritten folgt (4)?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:10, 6. Jun. 2011 (CEST)

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ist das so richtig?

Voraussetzung: a,b,c paarweise verschieden, a ║ b, c ║ b

Behauptung: a ║ c

Annahme: a ⌐║c

BEWEIS:

{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || c ∩ a ={S}, also S ϵ a, S ϵ c|| Annahme
|-
| 2 || a ║ b, c ║ b|| Voraussetzung
|-
| 3 || a ≡ c|| Schritt 1 und 2, Parallelenaxiom
Widerspruch zu Voraussetzung: a,b,c paarweise verschieden
|}
--[[Benutzer:...s...|...s...]] 13:25, 17. Jun. 2011 (CEST)

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Lösung von Aufgabe 2.7 (SoSe 11)

2011-06-15T10:01:04Z

...s...:

Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

Gegeben sei ein Winkel <math>\angle {BAC}</math> und der Strahl AP+, der im Inneren des Winkels <math>\angle {BAC}</math> liegt. Die WH des Winkels <math>\angle {BAC}</math> ist der Strahl AP+, der den Winkel <math>\angle {BAC}</math> in zwei gleich große Winkel einteilt. In Winkel <math>\angle {PAC}</math> und <math>\angle {PAB}</math> .--[[Benutzer:Celebino|Celebino]] 09:22, 20. Apr. 2011 (CEST) 
OK, kann man so durchgehen lassen--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:00, 10. Mai 2011 (CEST)

Es gibt im Wiki die Möglichkeit mathematische Formeln oder Formelzeichen zu verwenden. Ich habe an dieser Stelle das Winkelzeichen eingefügt und verweise auf folgenden Link, der eine Sammlung an Formelschreibweisen bietet. http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:50, 20. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

2.7
Es sei α ein Winkel mit dem Scheitelpunkt S.
Die Halbgerade, die in S beginnt und α in zwei gleich große Winkel teilt heißt Winkelhalbierende.--[[Benutzer:...s...|...s...]] 12:01, 15. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 11)

2011-06-15T09:33:06Z

...s...:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

2.3

[[Category:Einführung_Geometrie]]
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, welches zwei Paralelle Seiten hat, und die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:40, 20. Apr. 2011 (CEST)
ja, das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:50, 10. Mai 2011 (CEST)
2.3
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, dass ein paar paralleler Seiten hat und bei dem die anderen zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 23:19, 3. Mai 2011 (CEST)
könnte das nicht auch ein Parallelogramm sein?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:50, 10. Mai 2011 (CEST)

weitere Vorschläge?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:40, 6. Mai 2011 (CEST)

2.3
* Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez mit Umkreis.
* Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, bei dem die Mittelsenkrechte der Basis eine Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:...s...|...s...]] 11:33, 15. Jun. 2011 (CEST)