Lösung von Aufgabe 7.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$ und $\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$.

Lösung --Schnirch 10:14, 1. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset AB^+$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$ und $\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^* \in AB^+$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$	Axiom III.1
(I)	$\overline{AB^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(II)	$\left| AB^{*} \right| < \left| AB \right|$	Rechnen in $\mathbb{R}$ und $\frac{1}{\pi}$ < 1
(III)	$\operatorname{Zw} \left( A, B^*, B \right)$	(III), Def. Zw
(VI)	$\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$	(IV)