Quelltext der Seite Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)

===Satz 4.1===
:: Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.

=== Beweis von Satz 4.1 ===
====Beweis von [[Shaun15]]====
Die folgende Beweisführung wurde von User [[Shaun15]] am 02.11. in morgentlicher Frühe geführt. Vielen Dank dafür. (Aus Gründen der Übersicht habe ich ein wenig umformatiert (nur ein paar Zeilenumbrüche) . --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:21, 2. Nov. 2010 (UTC))

=====1.Existenz=====
Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte.<br /> Weiter möge gelten A, B  nicht Є g und C Є g.
Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet.<br />
Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`.  <br />Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|.<br />
Bleibt zz: P = P`.<br />
Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. <br /> 
Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. <br />
1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder <br />
2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`|  oder <br />
3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|.<br />
Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue.<br />
Daraus folgt. P = P`<br />
Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)

Ich glaube der Beweis wird ab dem Zeitpunkt hinfällig, wenn man annimmt, dass <math>P \in g</math> gilt. Dadurch gilt nach Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>), dass <math>\ P </math> = <math>\ P' </math> .  --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:03, 2. Nov. 2010 (UTC)

=====2.Bei einer Spiegelung gibt es höchstens eine Fixpunktgerade=====
Es seien zwei Geraden g und h mit A, B Є g und C, D Є h.<br />
Im Folgenden betrachten wir die Spiegelung an g.<br />
Es gibt drei Fälle:<br />
1. g identisch h: g = h also ein und dieselbe und somit eine Fixpunktgerade.<br />
2. g parallel zu h: nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. |CD| verschieden von |C`D`|. also ist h keine Fixpunktgerade. Bleibt nur g. Also auch hier nur eine Fixpunktgerade.<br />
3. g ∩ h ={P}: P ist Fixpunkt auf g und auf h. (Bew.1.Existenz) Nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. Somit ist kein weiterer Punkt von h Fixpunkt. Also bleibt g wieder einzige Fixpunktgerade.<br />

===Satz 4.2===
:: Wenn eine Bewegung <math>\ \phi</math> genau eine Fixpunktgerade <math>\ g</math> hat, so ist sie eine Geradenspiegelung.

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:30, 4. Nov. 2010 (UTC):
Der Beweis wird einfacher, wenn man ein Teiproblem auslagert und im Rahmen eines Hilfssatzes bearbeitet:
====Lemma 4.1====
::Wenn ein Bewegung <math>\ \phi</math>die beiden Fixpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> besitzt, dann ist die Gerade <math>\ AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\ \phi</math>.


Frage: Wenn wir die Fixpunktgeradendefinition von Tja??? verwenden ("Eine Fixgerade f einer Abbildung φ, bei der (mindestens) zwei Punkt der Fixgeraden f bei der Abbildung φ auf sich selbst abgebildet werden, heißt Fixpunktgerade."), können wir uns das Lemma sparen, oder? -[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

====Beweis von Lemma 4.1====
Es sei <math>\ \phi</math> eine Bewegung mit den beiden Fixpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math>.
Ferner sei <math>\ P</math> ein weiterer von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils verschiedener Punkt der Geraden <math>\ AB</math>.

<u>zu zeigen:</u> Der Punkt <math>\ P</math> wird durch <math>\ \phi</math> auf sich selbst abgebildet.

Es können genau drei Fälle auftreten:
# <math>\ Zw(A,P,B)</math>
# <math>\ Zw(P,A,B)</math>
# <math>\ Zw(A,B,P)</math>
Die Abstandserhaltung von <math>\ \phi</math> sowie die Sätze [[Bewegungen_(2010)#Satz_1.3:_.28Zwischenrelation_als_Invariante_von_Bewegungen.29|1.3]] und [[Bewegungen_(2010)#Satz_1.4:_.28Geradentreue.2C_Halgeradentreue.2C_Streckentreue.2C_Schnittpunkttreue_bei_Bewegungen.29|1.4]] helfen den Beweis zu führen.


{| class="wikitable center"
|+ Beweis<br />

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Es sei P Element der Geraden <math>\overline {AB}</math>
| Konstruktion
|-
| 2.
| Es gilt entweder 
|# <math>\ Zw(A,P,B)</math> oder
|# <math>\ Zw(P,A,B)</math> oder
|# <math>\ Zw(A,B,P)</math>
| Umkehrung der Dreiecksgleichung
|-
| 3.
| Also gilt <math>\|AP| + |PB| = |AB|</math> oder ANALOG
| (2), Definition "zwischen"
|-
| 4.
| <math>\|AP| = |A'P'|, |PB| = |P'B'|, |AB| = |A'B'|</math>
| (3), Definition Bewegung
|-
| 5.
| Also gilt: P = P'
| (4), Axiom vom Lineal
|-
| 
|}
P wird also auf sich selbst abgebildet; und wenn (beispielhaft) bei der Bewegung jeder Punkt der Geraden wieder auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Gerade eine Fixpunktgerade bzgl. dieser Bewegung. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 18:20, 25. Dez. 2010 (UTC)

===Beweis von Satz 4.2===
Es sei <math>\ \phi</math> eine Bewegung.
==== Voraussetzung ====
::<math>\ \phi</math> hat genau eine Fixpunktgerade. Es sei dieses die Gerade <math>\ g</math>.

==== Behauptung ====
::<math>\ \phi</math> ist eine Geradenspiegelung.
==== Beweisführung ====
Wir werden zeigen, dass <math>\ \phi</math> die Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math> ist.

Entsprechend [[Geradenspiegelungen#Definition_2.1:_.28Spiegelung_an_der_Geraden_.29|Definition 2.1]] haben wir folgendes zu zeigen:

# Jeder Punkt von <math>\ g</math> wird durch <math>\ \phi</math> auf sich selbst abgebildet: <math>\forall P \in g: \phi (P) =P</math>
# Für alle Punkte, die nicht zu <math>\ g</math> gehören, gilt: Die Gerade <math>\ g</math> ist die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math>.

Der Beweis von 1. ergibt sich unmittelbar aus der Voraussetzung, dass <math>\ g</math> bezüglich <math>\ \phi</math> eine Fixpunktgerade ist.

Es bleibt zu zeigen:<br />
Für jeden Punkt <math>\ P</math> außerhalb der Geraden <math>\ g</math> gilt: (*) <math>\ g</math> ist die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math>.

Es sei <math>\ P</math> ein beliebiger Punkt, der nicht auf der Geraden <math>\ g</math> liegt.

Um (*) zu beweisen werden wir wie folgt vorgehen:

# Wir zeigen, dass die Gerade <math>\ g</math> und die Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math> einen gemeinsamen Schnittpunkt <math>\ M</math> haben.
# Wir zeigen, dass dieser Schnittpunkt <math>\ M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math> ist.
# Wir zeigen, dass die Gerade <math>\ g</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ P \phi (P)</math> steht.
[[Category:Elementargeometrie]]