Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2019

Aufgabe 01 Es sei $\mathbb{𝕃}$ die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ $y=mx+n$ beschreibbar sind $(m,n\in \mathbb{ℝ},m\ne 0)$. Unter $\circ$ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: $[\mathbb{𝕃},\circ ]$ ist eine Gruppe. Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen. Aufgabe 02 Es sei $\mathbb{\mathbb{P}}$ die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ $y=mx$ beschreibbar sind $(m\in \mathbb{ℝ},m\ne 0)$. Unter $\circ$ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: $[\mathbb{\mathbb{P}},\circ ]$ ist eine Untergruppe von $[\mathbb{𝕃},\circ ]$. Aufgabe 03 Untergruppenkriterium 1: Es sei $[G,\circ ]$ eine Gruppe und $U\subseteq G$. $[U,\circ ]$ ist Untergruppe von $[G,\circ ]\iff$ $\mathrm{\forall }a,b\in U:a\circ b\in U$, $\mathrm{\forall }a\in U:a^{-1}\in U$. Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1 Aufgabe 4 Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind. Geben Sie 3 konkrete Kleinsche Viergruppen an, und betten Sie diese als ein Untergruppe in jeweils eine Obergruppe ein. Aufgabe 5 Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung $4$ hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe. Aufgabe 6 Wir definieren $F:=\{(r,g,b)|r,g,b\in \mathbb{\mathbb{N}},0\le r\le 255,0\le g\le 255,0\le b\le 255\}$. Auf $F$ legen wir eine Operation $\oplus$ wie folgt fest: $\mathrm{\forall }(r_1,g_1,b_1),(r_2,g_2,b_2)\in F:(r_1,g_1,b_1)\oplus (r_2,g_2,b_2):=(Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256))$. Beweisen Sie: $[F,\oplus ]$ ist eine Gruppe Aufgabe 7 Wir definieren $G:=\{(g,g,g)|g\in \mathbb{\mathbb{N}},0\le g\le 255\}$. Beweisen Sie: $[G,\oplus ]$ ist Untergruppe von $[F,\oplus ]$. Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Ordnungen der beiden Gruppen aus den Aufgaben 6 und 7. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz von Lagrange. Aufgabe 9 Geben Sie drei weitere Untergruppen von $[F,\oplus ]$ an. Aufgabe 10 Es sei $Q$ die Menge aller quadratischen Funktionen vom Typ $y=a{x}^2$. Wir definieren für alle Funktionen dieses Typs eine Addition $\oplus$ wie folgt: $y=a_1{x}^2\oplus y=a_2{x}^2:=y=(a_1+a_2)x^2$. Beweisen oder widerlegen Sie: $[Q,\oplus ]$ ist eine Gruppe.