Quelltext der Seite Aus der Vorlesung vom 15.05.2012

== Aufgabe ==

Wir teilen den Vorlesungsraum in '''4 Gruppen''':<br />
Gruppe "Fenster", Gruppe "Mitte Nähe Fenster", Gruppe "Mitte Nähe Wand", Gruppe "Wand".<br /><br />

'''Bitte definieren Sie...'''<br />

* Gruppe '''Fenster: "parallel auf der Menge der Geraden"'''
* Gruppe '''Mitte Nähe Fenster: "parallel auf der Menge der Ebenen"'''
* Gruppe '''Mitte Nähe Wand: "windschief auf der Menge der Geraden"'''
* Gruppe '''Wand: "windschief auf der Menge der Ebenen"'''
<br />
Berabeitungszeit: 3 Minuten. Los geht´s!


= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===


===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.<br />

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
=== Aufgabe ===
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />
a) <math>\left| AB \right| </math> '''= 4''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br />
b) <math>\left| AB \right| </math> '''= 2''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br />
c) <math>\left| AB \right| </math> '''= 1''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 2''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
<br /><br /><br /><br /><br />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt:<br /> 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und 
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
<br /><br /><br /><br /><br />

Es gelten die folgenden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.


===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.


===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

= Strecken und Halbgeraden =
<br />
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<br /><br /><br /><br /><br />

===Aufgabe===
Definieren Sie:

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): ......(ergänzen Sie)
::Definition (Halbgerade <math>AB^-</math>): ......(ergänzen Sie)