Quelltext der Seite Alle Axiome im Überblick SoSe12

== Axiome ==


=== Inzidenzaxiome ===

=====Axiom I.0:=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

=====Axiom I.2:=====
:Zu jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====Axiom I.3:=====
:Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I.4:=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I.5:=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I.6:=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I.7:=====
:Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, die nicht komplanar sind.
<br />
=== Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0: \Leftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
<br /><br />
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ E </math>. Zu jeder reellen Zahl  <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ E </math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen 

:::# <math>\overline{AB} \tilde= \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \tilde= \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \tilde= \angle FDE</math>
::gelten,<br />
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.