Quelltext der Seite Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 12

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>.<br />Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>.<br /><br />
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>.<br />
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: <br /><br />
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br /><br />
<ggb_applet width="649" height="538"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br /><br />

===== Satz IX.1 :  =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''.<br />
'''Beweis:'''<br /><br />

===== Satz IX.2 :  =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP''  \right| =2\cdot\left| \angle ASB  \right|</math>.<br />  
'''Beweis:'''<br /><br />

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung:<br /><br />
===== Definition IX.2 (Drehung):  =====
Eine Drehung ist ... (Ergänzen Sie)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung):  =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht.<br /><br />

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. <br />
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''.<br /> 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist?<br />
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf?<br /><br />

<ggb_applet width="543" height="538"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br /><br />
===== Satz IX.3 :  =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=a\circ b(P) </math>.<br />
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 :  =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.<br />
'''Beweis:''' Übungsaufgabe