Quelltext der Seite Vektorräume 2012 13

=Definition des Begriff des Vektorraums=

Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung

<math>+: V \times V \to V</math>,      <math>(v,v)\mapsto v+v</math>

und der äußeren Verknüpfung

<math> {\cdot}: \mathbb{R} \times V \to V</math>, <math>(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v</math>

heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

A1: Für beliebige <math>u,v \in V</math> gilt <math>u+v=v+u</math> (Kommuntativität der Addition).

A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition)

A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u\cdot e = e\cdot u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)

A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e</math>

S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>.

S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

S3: Für beliebige <math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz) 

S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz)

=Bemerkung:=

Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass <math>(V, +)</math> eine Abelsche Gruppe bildet.

Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.

(Quelle: Filler: Elementare ''Lineare Algebra''. Spektrum Akademischer Verlag)

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[[Kategorie:Linalg]]