Quelltext der Seite Lösung von Aufgabe 6.9

====Vorlage====
<u>'''Satz:'''</u>
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.<br />
== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) ==
<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

<u>'''Beweis'''</u><br />

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)


<u>'''Behauptung'''</u><br />
::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es gilt eine der drei Gleichungen:
<br /><math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
<br /><math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| (I), Axiom II/3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
| (II), Def (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
<br /> Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
| (IV), (Axiom II/3)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math>
| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
| (VII), + <math>\left| BC \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
| (VIII), - <math>\left| AB \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. 
<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.
| 
|}


== vorausgegangene Diskussion ==
====Versuch I====
<u>'''Satz:'''</u>
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.<br />
<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

<u>'''Beweis'''</u><br />

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)


<u>'''Behauptung'''</u><br />
::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
|Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
<br /><math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| Axiom II/3.1
<br />Axiom II/3.2
<br />Axiom II/3.3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| 
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| 
| 
|}

...und jetzt?
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
| Def (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
<br /> Annahme: es gilt <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
| (Axiom II/3)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math>
| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
| (VIII), + <math>\left| BC \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
| (IX), - <math>\left| AB \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(XI)
| Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann. 
<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.
| 
|}
--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)


==== Versuch II ==== ===

<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

<u>'''Beweis'''</u><br />

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
<u>'''Voraussetzungen:'''</u>

<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

<u>'''Behauptung'''</u><br />
::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> paarweise verschieden
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| (1.) <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math><br /> (2.) <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math><br /> (3.) <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| I., Axiom II/3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| (1.)<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math><br />(2.) <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B  \right \}</math><br />(3.) <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>
| III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Behauptung ist wahr
| 
|}
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)