Quelltext der Seite Lösungen zu den Aufgaben 2

==2.1==


==2.2==
Man betrachte den Steigungswinkel <math>\alpha</math> am Steigungsdreieck. Mit der Steigung und dem <math>tan\alpha</math> berechnen Sie den Winkel.<br />
a) <math>3x-y=9 \Leftrightarrow y=3x-9 </math>.<br />
<math>\tan\alpha=3 \Rightarrow \alpha = 71,57^\circ</math> <br />

b) <math> y + \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x-2)</math><br />
<math>\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}</math><br />
<math>\tan\alpha=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 26,57^\circ</math> <br />

c) <math>P(3|1)</math> und <math>Q(-1|\frac{1}{2})</math>
<math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-\frac{1}{2}}{-4}=\frac{1}{8}</math><br />
<math>\tan\alpha=\frac{1}{8} \Rightarrow \alpha = 7,125^\circ </math>

==2.3==

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Punkte in die Gleichung und Umstellen ;-).

==2.4==
<math>ax+by+cz=d</math> bezeichnet eine Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />
Es seien zwei Ebenen gegeben.<br />
<math>e_1: a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 </math><br />
<math>e_2: a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2</math><br />
Die Lösungsmenge, die auf beide Ebenen passt entspricht der Schnittgerade. Damit kann also eine Gerade im <math>\mathbb{R}^3</math> mit zwei Gleichungen dargestellt werden. Allerdings sind diese Gleichungen nicht eindeutig.<br />
Zur Bestimmung des Linearen Gleichungssystems, dass die Gerade durch die Punkte P, Q bestimmt, werden die beide Punkte je in die Gleichung  <math>e_1</math> und <math>e_2</math> eingesetzt.<br />

<math> 5b_1 -2c_1=d_1 </math><br />
<math>14a_1+3b_1 y+2c_1=d_1</math><br />


<math> 5b_2 -2c_2=d_2 </math><br />
<math>14a_2+3b_2 y+2c_2=d_2</math><br />

'''Lösung der LGS'''<br />

Gauß ergibt:<br />
<math>7a_1+4b_1=d_1</math> und <math>7a_2+4b_2=d_2</math><br />
Jeweils zwei Werte können frei gewählt werden, allerdings ist dabei zu achten, dass keine Vielfachen der Gleichungen entstehen. Damit lassen sich die Punkte durch folgedens LGS beschreiben:<br />
<math>2y+z=8</math><br />
<math>x+7y=35</math>