Quelltext der Seite Lösung von Aufgabe 7.10

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.



 A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{MB}</math>
:(gemeint ist: <math>\vert AM \vert = \vert MB \vert</math>) --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
 
<math>\overline{AM}</math> ist eindeutig für <math>\overline{AB}</math> definiert
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)


noch ein Versuch:<br />Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.<br />1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.<br />2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.<br /> Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte <math> M_1 </math> und <math> M_2 </math>, die Element von <math> \overline { AB } </math> sind. <br/>

{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right| </math><br/><math>\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right| </math>
| Annahme
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> zw (A, M_1, B)</math><br/><math> zw (A, M_2, B) </math>
| (I), Existenzbeweis, Def. (zw)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right| </math> <br/> <math> \left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right| </math>
| Def (zw), (II)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|</math> <br/> <math> 2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right|</math>
| (I), (III), Rechnen in <math> \mathbb{R}  </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math> <br/> <math> \left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math> 
| Rechnen in <math> \mathbb{R}  </math>, (IV)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \left| AM_1 \right|= \left| AM_2 \right|</math>
| (V), Rechnen in <math> \mathbb{R}  </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> M_1 \equiv M_2 </math><br/> Widerspruch zur Annahme<math> M_1 \not\equiv  M_2 </math><br/> Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke <math> 	\overline { AB } </math>.
| (VI)
|}
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)