Quelltext der Seite Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P)

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit  |AC|< |BC|  < |AB|  sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
'''<br /><br />
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
<br /><br />
Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.


Beweis  2) 
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|   dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />

Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.


b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

Beweis:
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
Bew: Nehmen wir an |α|  = |β|. Wenn |α|  = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|<math>\neq</math> |AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen.
<br /><br />



[[Category:Einführung_P]]