Quelltext der Seite Der Basiswinkelsatz

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:


[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:


{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \cong \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SSS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>. 

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?
===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.
======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.


[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
<ggb_applet width="1272" height="836"  version="3.2" 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== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

Bezug zur Schule:
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

<u>Konstruktionsvorschrift:</u>

<u>gegeben:</u> Strecke <math>\overline{AB}</math>

<u>gesucht:</u> <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>


{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math>  in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

<u>Frage:</u> ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür dass ein Punkte zur Mittelsenkrechten gehört) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.