Quelltext der Seite Übungsaufgabe zur Vorbereitung

Eine Strecke möge durch den Punkt derart in zwei Teilstrecken zerlegt werden, dass &nbsp;die längere der beiden Teilstrecken ist. Man spricht davon, dass der Punkt die Strecke &nbsp;im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt, wenn &nbsp;gilt. Man bezeichnet dieses Verhältnis mit dem griechischen Buchstaben <math>\Phi</math> .

Es ist bekannt, dass sich zwei Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen.

# Formulieren Sie eine Konstruktionsbeschreibung zur Generierung eines regelmäßigen Fünfecks mit der Seitenlänge der Einheitsstrecke und begründen Sie Ihre Beschreibung.
# Beweisen Sie: .

# Beweisen Sie, dass eine Diagonale &nbsp;des regelmäßigen Fünfecks zu dessen Seitenlänge &nbsp;im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. Sie dürfen die oben angegebene Aussage zum Schnitt zweier Diagonalen eines solchen Fünfecks als wahr voraussetzen.

# Das Fünfeckin Abbildung 1 hätte auch durch eine zentrische Streckung an aus dem Fünfeck generiert werden können. Bestimmen Sie den Streckfaktor dieser zentrischen Streckung.Bemerkungen: Sie dürfen das Verhältnis des Goldenen Schnittes hinsichtlich Diagonalen- und Seitenlängen im regelmäßigen Fünfeck voraussetzen. Die Suche nach geeigneten Strahlensatzfiguren kann bei der Lösung des Problems hilfreich sein.
# Beweisen Sie, dass sich die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks wirklich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen.
# Wie beim Quadrat ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks proportional zum Quadrat der Seitenlänge. Formulieren und beweisen Sie einen „Satz des Pythagoras“ entsprechend Abbildung 2. Den üblichen Satz des Pythagoras dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.