Quelltext der Seite Lösung von Aufgabe 4.1 (WS 17 18)

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes?<br />
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
<br />
[[Lösung von Aufgabe 4.1 (WS_17_18)]]

==Aufgabe 4.2==
'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit  |AC|< |BC|  < |AB|  sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
'''<br /><br />
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
<br /><br />
Beweis 2) 
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|   dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

[[Lösung von Aufgabe 4.2 (WS_17_18)]]

==Aufgabe 4.3==
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).<br />
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?<br />
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
[[Lösung von Aufgabe 4.3 (WS_17_18)]]

==Aufgabe 4.4==
Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
[[Lösung von Aufgabe 4.4 (WS_17_18)]]

==Aufgabe 4.5==
Vergleichen Sie die Wahrheitswerte von<br />

<math>(\ A \Rightarrow B) </math> und <math>(\ A  \wedge \neg B)</math>.<br />

Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Ihrer Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis durch Widerspruch.<br />

[[Lösung von Aufgabe 4.5 (WS_17_18)]]



[[Category:Geo_P]]