Quelltext der Seite Implikationen SoSe 2018

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Implikationen=
==Generelle Kennzeichnung von Implikationen==
Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:
* Wenn <math>a</math> dann <math>b</math>.
* Aus <math>a</math> folgt <math>b</math>.
* <math>a</math> impliziert <math>b</math>.
* <math>b</math> ist eine Folgerung aus <math>a</math>.
* Unter der Voraussetzung, dass <math>a</math> gilt, gilt auch <math>b</math>.
* <math>a</math> ist hinreichend dafür, dass <math>b</math> gilt.
* <math>a \Rightarrow b</math>

Die Aussage <math>a</math> heißt in der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> Voraussetzung, die Aussage <math>b</math> wird Behauptung genannt.

==Beispiele==
===Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3===
:Wenn die Quersumme <math>\overline{a}</math>einer natürlichen Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar.<br />
:In Formelsprache: <math>\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a</math>
*Voraussetzung: <math>3|\overline{a}</math>
*Behauptung: <math>3|a</math>

=== Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen===
:Für alle natürlichen Zahlen <math>a,b,t</math> gilt:<br />
::Wenn <math>t</math> die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> teilt, dann teilt <math>t</math> auch die Summe <math>a+b</math>.
:In Formelsprache:
:<math>\forall a,b,t \in \mathbb{N}:</math><br />
::<math>t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)</math>
*Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:
::V<sub>1</sub>: <math>t|a</math>
::V<sub>2</sub>: <math>t|b</math>
::V: <math>t|a \land t|b</math>
*Behauptung:<br />
::<math>t|(a+b)</math>
===Implikation 3: Nebenwinkelsatz===
:Wenn <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen <math>180^\circ</math>
In anderer Formulierung ohne wenn-dann:
:Nebenwinkel ergänzen sich zu <math>180^\circ</math>
*Voraussetzung:
:: <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Nebenwinkel
*Behauptung:
::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind supplementär.
===Implikation 4: Scheitelwinkelsatz===
:Wenn die beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.
alternative Formulierung ohne wenn-dann:
:Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder
:Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.
*Voraussetzung
::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Scheitelwinkel
*Behauptung
::<math>|\alpha|=|\beta|</math> bzw. <math>\alpha \cong \beta</math>
===Implikation 5: Nonsens===
:Wenn die Gerade <math>g</math> durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht und jede der drei Seiten <math>\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}</math> geht, dann ist <math>\sqrt{2}</math> eine rationale Zahl.
*Voraussetzung:
:<math>\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty</math>
*Behauptung:
:<math>\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}</math>
===Implikation 6: Satz des Thales===
{{#ev:youtube|yOgu9FAK5AM}}

<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]