Quelltext der Seite Das Euklidische Parallelenaxiom

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.<br /><br />
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai<br />
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.<br />

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

Beweis: [[Lösung von Aufgabe 12.10]]

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.<br />

Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />
Versuch:<br />
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden.  Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.<br />

===== Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel=====
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />
'''Versuch 1:'''<br />
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden.  Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel <s>kongruent</s> supplementär zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />

Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)

Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)

Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)
<br />Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC)

<br />'''Versuch 2:'''<br />
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden.  Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />
<br />Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind.
<br />Winkel <math> \alpha \ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ a </math> und <math> \ c </math>)
<br />Winkel <math> \beta\ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ b </math> und <math> \ c </math>)
<br />Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>
<br />Wenn <math>a \| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ |\beta| + |\beta'| = 180</math>, gilt auch <math>\ |\alpha| + |\beta| = 180</math>.

<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

'''Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel'''

Anmerkung: kopiert aus Ruprik "Üben...Üben...Üben..."

VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br />
Beh: <math> a \|b </math><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.

'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math>  |\beta| = 180 - |\alpha| </math>  
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math>  |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> 
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>  |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:30, 24. Jul. 2010 (UTC)