Quelltext der Seite Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)

===Satz 4.1===
:: Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.

=== Beweis von Satz 4.1 ===
====Beweis von [[Shaun15]]====
Die folgende Beweisführung wurde von User [[Shaun15]] am 02.11. in morgentlicher Frühe geführt. Vielen Dank dafür. (Aus Gründen der Übersicht habe ich ein wenig umformatiert (nur ein paar Zeilenumbrüche) . --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:21, 2. Nov. 2010 (UTC))

=====1.Existenz=====
Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte.<br /> Weiter möge gelten A, B  nicht Є g und C Є g.
Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet.<br />
Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`.  <br />Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|.<br />
Bleibt zz: P = P`.<br />
Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. <br /> 
Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. <br />
1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder <br />
2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`|  oder <br />
3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|.<br />
Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue.<br />
Daraus folgt. P = P`<br />
Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)

=====2.Bei einer Spiegelung gibt es höchstens eine Fixpunktgerade=====
Es seien zwei Geraden g und h mit A, B Є g und C, D Є h.<br />
Im Folgenden betrachten wir die Spiegelung an g.<br />
Es gibt drei Fälle:<br />
1. g identisch h: g = h also ein und dieselbe und somit eine Fixpunktgerade.<br />
2. g parallel zu h: nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. |CD| verschieden von |C`D`|. also ist h keine Fixpunktgerade. Bleibt nur g. Also auch hier nur eine Fixpunktgerade.<br />
3. g ∩ h ={P}: P ist Fixpunkt auf g und auf h. (Bew.1.Existenz) Nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. Somit ist kein weiterer Punkt von h Fixpunkt. Also bleibt g wieder einzige Fixpunktgerade.<br />

===Satz 4.2===
:: Wenn eine Bewegung <math>\ \phi</math> genau eine Fixpunktgerade <math>\ g</math> hat, so ist sie die Spiegelung an <math>\ g</math>.
===Beweis von Satz 4.2===